廈門大學(xué)高等代數(shù) 考研模擬五套卷與答案解析

目錄

Ⅰ模擬五套卷.............................................................................................................................

2

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷一.....................................2

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷二.....................................4

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷三.....................................6

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷四.....................................9

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷五...................................11

Ⅱ答案解析與思路點(diǎn)撥.........................................................................................................13

模擬卷一答案解析與思路點(diǎn)撥.............................................................................................13

模擬卷二答案解析與思路點(diǎn)撥.............................................................................................20

模擬卷三答案解析與思路點(diǎn)撥.............................................................................................29

模擬卷四答案解析與思路點(diǎn)撥.............................................................................................37

模擬卷五答案解析與思路點(diǎn)撥.............................................................................................44

《2021廈大高等代數(shù)考研模擬五套卷與答案解析》

1/51

Ⅰ模擬五套卷

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷一

科目代碼：825

科目名稱：高等代數(shù)

招生專業(yè)：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌

學(xué)與控制論、計(jì)算科學(xué)

考生須知：答案必須使用墨（藍(lán)）色墨水（圓珠）筆；不得在試卷（草稿）紙上作答；

凡未按規(guī)定作答均不予評(píng)閱、判分。

一、填空題（共48分，8題，每題6分）

2

1

|

1.行列式Dn=0

|?

0

0

1

2

1

?

0

0

0

1

2

?

0

0

?

?

?

?

?

?

0

0

0

?

2

1

0

0

0|=______。

?|

1

2

2.f(x),g(x)在有理數(shù)域上互素，在復(fù)數(shù)域上______（一定或不一定）互素。

3.實(shí)對(duì)稱矩陣A正定，則A的主對(duì)角線上的元素______（全，不全）為正；A的主對(duì)

角線上的元素全為正，則實(shí)對(duì)稱矩陣A______（一定，不一定）正定。

4.設(shè)A,B均為2階矩陣，A,B分別為A,B的伴隨矩陣，若|A|=2,|B|=3，則分塊矩陣

[OA]的伴隨矩陣為______。

BO

5.設(shè)1=2+3+?+r,2=1+3+?+r,?,r1=1+?+r2+r,r=

1+?+r1,則1,?,r之秩s與1,?,r之秩t的關(guān)系式是______。

6.反對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣的特征值是______。

131616

7.[576]的行列式因子是______。

687

8.兩個(gè)矩陣是否相似與數(shù)域的大小______，兩特征矩陣等價(jià)與數(shù)域大小______；

（填"有關(guān)"或"無(wú)關(guān)"）

。

二、15分）

（

設(shè)T為R3R3的線性變換，已知：

T1,0,01,0,1,T0,1,02,1,1，T0,0,11,1,2

《2021廈大高等代數(shù)考研模擬五套卷與答案解析》

2/51

（1）用矩陣A表示此變換T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A；

（2）設(shè)T(R3)=U，求U的一個(gè)基底；

（3）求出使?jié)M足Tx=0(xR3)的點(diǎn)的全體。

三、（15分）

設(shè)n為正整數(shù)，f1(x)，f2(x)，?，fn(x)都是多項(xiàng)式，并且xn+xn1+?+x2+x+

1|f1(xn+1)+xf2(xn+1)+?+xn1fn(xn+1)，證明：(x1)n|f1(x)f2(x)?fn(x)。

四、（15分）

設(shè)Aaij

nn

的秩為n，求其次線性方程組Bx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。其中

Baij,rn。

rn

五、15分）

（

設(shè)f(x),g(x)為數(shù)域上的互素多項(xiàng)式，C為數(shù)域P上的n級(jí)方陣，A=f(c),B=g(c)，證

明：方程組ABx0的每個(gè)解x均可唯一的表示為xyz的形式，其中y,z分別為方程

組By0與Az0的解。

六、12分）

（

設(shè)A,B為是對(duì)稱矩陣，C為是反對(duì)稱矩陣，且A2B2C2，證明：A=B=C=0。

七、15分）

（

n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為rrn，當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成ACBC，其中B為r級(jí)可

逆矩陣，C為nr的列滿秩矩陣。

八、15分）

（

設(shè)1,2,

,n是n維線性空間V的一組基，是V上的線性變換。

證明：可逆當(dāng)且僅當(dāng)1,2,

,n也是V的基。

《2021廈大高等代數(shù)考研模擬五套卷與答案解析》

3/51

廈門大學(xué)2021年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試模擬試卷二

科目代碼：825

科目名稱：高等代數(shù)

招生專業(yè)：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌

學(xué)與控制論、計(jì)算科學(xué)

考生須知：答案必須使用墨（藍(lán)）色墨水（圓珠）筆；不得在試卷（草稿）紙上作答；

凡未按規(guī)定作答均不予評(píng)閱、判分。

一、填空題（共48分，8題，每題6分）

4

1|，則A+A+A+A=______。

2

11

21

31

41

2

2.給定三維向量：1=(3,1,1);2=(1,1,2);3=(1,3,3);4=(4,0,5)；則

1,2,3,4線性______，1,2,4線性______。

1

1.D=|3

4

1

2

4

1

4

3

3

3

3

3．A為實(shí)矩陣，若對(duì)任意實(shí)矩陣M，有tr(AM)=0，則A=______。

4.設(shè)矩陣A=[11]，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則|B|=______。

2

2

5.若二次型f=2x12+x22+4x32+2x1x2+2tx2x3正定，則t的取值范圍是______。

6.設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)n×n矩陣,則A與AT______（相似或不相似）

。

1

2

0

7.[0

2

0]的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是______。

221

8.歐氏空間中不同基的度量矩陣是______（合同，相似，等價(jià)）。

二、20分）

（

0111

1011

設(shè)A110

，求一正交矩陣T使TAT成對(duì)角形。

1

1110

三、15分）

（

如果f1(x),f2(x),f3(x)是線性空間P[x]中三個(gè)互素的多項(xiàng)式，但其中任意兩個(gè)都不互素，

則它們線性無(wú)關(guān)。

《2021廈大高等代數(shù)考研模擬五套卷與答案解析》

4/51

四、15分）

（

設(shè)APmn,r1,

,nr是線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系，B1,

,nr。

證明：如果AC0，那么存在唯一的矩陣D，s.tCBD，其中CPnt。

五、15分）

（

設(shè)是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：

（1）P[x]中一定有次數(shù)不超過n2的多項(xiàng)式f(x)，s.tf()=0。

（2）如果f()=g()=0，那么d()=0，其中d(x)=(f(x),g(x))。

（3）可逆的充要條件是，有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f(x)使得f

0。

六、15分）

（

如果1,2,

,s是線性空間V的s個(gè)兩兩不同的線性變換，

那么在V中存在向量，

s.t1,2,

七、