線性代數(shù) 對(duì)稱矩陣的相似矩陣

線性代數(shù)對(duì)稱矩陣的相似矩陣第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣．第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月于是有兩式相減，得第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1的意義第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月證明于是第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月證明它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)定理1（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理3(如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理2知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個(gè).故這個(gè)單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月解例對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月于是得正交陣第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(1)特征值為實(shí)數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月思考