變分原理與變分法

變分原理與變分法1.1關(guān)于變分原理與變分法（物質(zhì)世界存在的基本守恒法則）大自然總是以可能最好的方式安排一切，似乎存在著各種安排原理：晝/夜，日/月，陰/陽(yáng)，靜止/運(yùn)動(dòng)等矛盾/統(tǒng)一的協(xié)調(diào)體；對(duì)靜止事物：平衡體的最小能量原理，對(duì)稱/相似原理；對(duì)運(yùn)動(dòng)事物：能量守恒，動(dòng)量（矩）守恒，熵增原理等。變分原理是自然界靜止(相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài))事物中的一個(gè)普遍適應(yīng)的數(shù)學(xué)定律，獲稱最小作用原理。Examples:①光線最短路徑傳播；②光線入射角等于反射角，光線在反射中也是光傳播最短路徑（Heron）；③光線折射遵循時(shí)間最短的途徑（Fermat）；BABAv1v1v2v2CECESummary:實(shí)際上光的傳播遵循最小能量原理；在靜力學(xué)中的穩(wěn)定平衡本質(zhì)上是勢(shì)能最小的原理。二、變分法是自然界變分原理的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法（求解約束方程系統(tǒng)極值的數(shù)學(xué)方法），是計(jì)算泛函駐值的數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)上的泛函定義定義：數(shù)學(xué)空間（集合）上的元素（定義域）與一個(gè)實(shí)數(shù)域間（值域）間的（映射）關(guān)系特征描述法：{J:}Examples:①矩陣范數(shù)：線性算子（矩陣）空間數(shù)域‖A‖1=；；②函數(shù)的積分：函數(shù)空間數(shù)域Note:泛函的自變量是集合中的元素（定義域）；值域是實(shí)數(shù)域。Discussion：①判定下列那些是泛函：；；3x+5y=2；E、JconstsE、Jconstsq(x)q(x)x物理問題中的泛函舉例xx=0,x=0,固支；x=l,自由i.梁的彎曲應(yīng)變能：ii.彈性地基貯存的能量：iii.外力位能：iv.系統(tǒng)總的勢(shì)能：泛函的提法：有一種梁的撓度函數(shù)（與載荷無(wú)關(guān)），就會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)勢(shì)能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數(shù)中，找一個(gè)w(x),使系統(tǒng)勢(shì)能泛函取最小值。②最速降線問題問題：已知空間兩點(diǎn)A和B,A高于B，要求在兩點(diǎn)間連接一條曲線，使得有重物從A沿此曲線自由下滑時(shí)，從A到B所需時(shí)間最短（忽略摩擦力）。作法：i.通過A和B作一垂直于水平面的平面，取坐標(biāo)系如圖。B點(diǎn)坐標(biāo)(a,b),設(shè)曲線為y=y(x),并已知：x=0,y=0；x=a,y=bii.建立泛函：1.2.1定積分的駐值（變分）問題目的：通過簡(jiǎn)單泛函的極值分析，獲得建立變分法的基本概念、計(jì)算步驟（把變分解轉(zhuǎn)化成微分方程）問題：在自變量x的區(qū)間[a，b]內(nèi)決定一個(gè)函數(shù)y(x)，使它滿足邊界條件：，并使泛函：取極值。計(jì)算方法1：先用變分觀點(diǎn)解釋G.H曲線的增量yβHDBCαAG abxabxxdx設(shè)想已取得了一條曲線GACH方程為：y=y(x)在GACH附近另取一條曲線GBDH，令該曲線無(wú)限接近GACH，其方程為：是一個(gè)無(wú)窮小量，稱為自變函數(shù)的變分（若x不變，即為曲線縱坐標(biāo)的增量）（注意與函數(shù)微分的區(qū)別，這里函數(shù)的變分仍然是一個(gè)函數(shù)）相應(yīng)兩條曲線，獲得兩個(gè)泛函值：基本引理：證：推廣：另一條認(rèn)識(shí)的思路：DHβyx：DHβyxBCA：BCAGα：Gαba：badxdx＝因?yàn)槭堑倪B續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（工程上一般如此），故很小時(shí)，也很小，即取等式兩端的一階無(wú)窮小量，即：（可以從Tailor展開式去理解）稱為泛函V的一階變分，簡(jiǎn)稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分（把自變函數(shù)的變分作為一階小量）所以，變分的運(yùn)算服從無(wú)窮小量的運(yùn)算規(guī)則。計(jì)算方法2：（把求泛函的極值轉(zhuǎn)化成求普通函數(shù)的極值）記：(固定)當(dāng)在y0上取極值，則相應(yīng)于的泛函值現(xiàn)在成為普通的函數(shù)極值條件：（先不管該條件，現(xiàn)僅研究其導(dǎo)數(shù)計(jì)算）上兩式中出現(xiàn)，和并不能獨(dú)立變化，可設(shè)法把項(xiàng)轉(zhuǎn)換成只與有關(guān)的項(xiàng)。取分步積分：?。捍胍浑A變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件，所以：，計(jì)算若方括號(hào)內(nèi)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不為0，則可任選使大于零或小于零，即使V不能獲得極值，故需方括號(hào)的項(xiàng)為零。即：（Euler方程）此即與泛函駐值等價(jià)的微分方程。或：令由變分基本定理：任意連續(xù)函數(shù)，方括號(hào)中函數(shù)連續(xù)。Example最速降線問題：（注不顯含x）代入Euler方程，并乘以函數(shù)Q可得：由于(F中不顯含x)，上式中只要令,把上式配成全微分形式：這是因?yàn)椋?)（代回原Euler方程，即得全微分）

由全微分方程代入F的具體表達(dá)式：令：上式積分得：注意