數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義不是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義不是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)

1集合論與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)自20世紀(jì)80年代以來，隨著西蒙泰羅、哈特曼和帕森斯的推進(jìn)，數(shù)學(xué)哲學(xué)的結(jié)構(gòu)主義一直是數(shù)學(xué)哲學(xué)出版的焦點(diǎn)。然而，本文試圖質(zhì)疑，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義以及圍繞它的熱烈辯論是否如之前的數(shù)學(xué)哲學(xué)議題那樣深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展，或者實(shí)實(shí)在在地促成了許多數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義起源于對集合論基礎(chǔ)主義（set-theoreticfoundationalistposition）的批評。以一階邏輯為代表的現(xiàn)代謂詞邏輯起源于弗雷格（G.Frege）為數(shù)學(xué)尋找基礎(chǔ)的努力。而策梅洛–弗蘭克爾公理化集合論（Zermelo-Fraenkelsettheory），在某種意義上，起源于弗雷格邏輯主義的災(zāi)難——羅素悖論。自那以后，公理化集合論被廣泛接受為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們是在下述意義上稱公理化集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的。首先，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念都可以在集合論語言在應(yīng)該說，貝納賽拉夫關(guān)于特定的自然數(shù)不應(yīng)該被作為對象等同于特定的集合這一觀點(diǎn)本身是沒什么爭議的。早期邏輯學(xué)家逐漸接受馮·諾依曼序數(shù)作為自然數(shù)更多是基于準(zhǔn)確、方便等實(shí)用上的考慮。弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中將自然數(shù)0定義為所有與“不等于自身”這個概念等數(shù)的概念組成的類，而自然數(shù)1是所有與“等于0”這個概念等數(shù)的概念組成的類。弗雷格的這個定義可能在本體論上是有嚴(yán)肅的考慮的。從現(xiàn)代集合論的觀點(diǎn)來看，弗雷格定義的自然數(shù)作為集合過于龐大以至于其存在性會導(dǎo)致矛盾。現(xiàn)代集合論在處理過大的等價類時往往會采取被稱作斯科特技巧（Scott’strick）的方法，取等價類中在馮·諾依曼層譜（vonNeumannhierarchy）下最低層的代表組成的集合來代替整個等價類。這是一個純技術(shù)的操作。應(yīng)該沒有集合論學(xué)家會嚴(yán)肅地認(rèn)為等價類的這一替代會有什么特別的本體論意義。人們對于馮·諾依曼序數(shù)的偏好在一定程度上也是基于類似的考慮。除此以外，還有可以直接將集合論初始符號∈來表示自然數(shù)上的小于關(guān)系以及更便于推廣到超窮等方面的考量。因此，即使持柏拉圖主義的集合論學(xué)家也未必真的認(rèn)為自然數(shù)1作為實(shí)體就是且只能是集合{0}。事實(shí)上，作為數(shù)學(xué)哲學(xué)柏拉圖主義者的代表的哥德爾（K.G?del）心目中客觀存在的抽象實(shí)體是“概念”等。然而，人們關(guān)于“概念”這樣的抽象實(shí)體的認(rèn)識是相當(dāng)有限的。集合論可以看作是試圖描繪概念世界的某些面向的一些努力。例如，集合論只關(guān)心概念的外延。哥德爾哲學(xué)的一個核心就是其對于概念理論的若干設(shè)想（參見總之，結(jié)構(gòu)主義者所想象的他們哲學(xué)立場上的對手似乎并不確切地存在?；蛘哒f，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義在哲學(xué)上似乎是一種無關(guān)痛癢的立場。這個觀點(diǎn)或許還有待商榷。而本文所關(guān)心的是，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義作為一個具有相當(dāng)影響力的數(shù)學(xué)哲學(xué)思潮在數(shù)學(xué)上是否也是一種基本無效的立場。筆者在2數(shù)學(xué)哲學(xué)立場與數(shù)學(xué)實(shí)踐的互動本節(jié)中，筆者將簡單回顧自弗雷格邏輯主義以來一些主要的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場如何與數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生真實(shí)的互動，以展示它們何以至少是數(shù)學(xué)有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)。2.1弗雷格及其所處的數(shù)學(xué)環(huán)境黑格爾（G.W.F.Hegel）曾以“密涅瓦的貓頭鷹只在黃昏的時候起飛”為哲學(xué)的遲到辯護(hù)。而今，哲學(xué)的聲譽(yù)甚至遠(yuǎn)不及它在黑格爾的時代。今天的哲學(xué)逐漸淪為一個個學(xué)術(shù)團(tuán)體內(nèi)部的智力游戲，不僅無法為現(xiàn)實(shí)問題提供參考意見（這或許是可辯護(hù)的），甚至發(fā)展出成套的技巧和說辭來回避人們的問題。筆者希望接下來的討論能夠讓讀者認(rèn)同數(shù)學(xué)哲學(xué)自十九世紀(jì)末以來的許多工作至少在試圖回應(yīng)數(shù)學(xué)工作者真實(shí)的困惑?，F(xiàn)代邏輯起源于弗雷格為數(shù)學(xué)尋找基礎(chǔ)的努力。為數(shù)學(xué)尋找基礎(chǔ)的需求來源于無窮與極限在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用以及由此帶來的對嚴(yán)格性的懷疑和更高的要求。許多數(shù)學(xué)結(jié)果可以被運(yùn)用于工程、科學(xué)和其他場合，它們的成功運(yùn)用反過來為這些數(shù)學(xué)結(jié)果提供了經(jīng)驗(yàn)證據(jù)，甚至讓數(shù)學(xué)獲得了嚴(yán)格和普遍有效的聲譽(yù)。但當(dāng)數(shù)學(xué)更多地踏入無窮的領(lǐng)域，遠(yuǎn)離了來自經(jīng)驗(yàn)世界的評價標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)工作者會面對來自兩方面的困惑。一是，（這部分）數(shù)學(xué)工作的意義，即這些數(shù)學(xué)證明和結(jié)果意味著什么，它們是人類對未知世界探索的發(fā)現(xiàn)，抑或只是人類自己劃定規(guī)則的游戲。二是，這些數(shù)學(xué)工作是否是可靠的。如果數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)，那么它的成果是否是可信的；如果數(shù)學(xué)是游戲，那么這個游戲規(guī)則本身是否是有漏洞的。這些疑問可能針對全部數(shù)學(xué)或者一部分?jǐn)?shù)學(xué)工作，對這些問題的看法會直接影響數(shù)學(xué)工作者或潛在的數(shù)學(xué)工作者對智力資源的分配。弗雷格的工作直接針對這兩方面的困惑。首先，弗雷格希望能夠?qū)⑺袛?shù)學(xué)工作建立在嚴(yán)格的邏輯的基礎(chǔ)之上。弗雷格的邏輯主義計劃自始就面對挑戰(zhàn)與反對。龐加萊（J.H.Poincaré）是弗雷格同時代較有影響的反對者。作為一名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)愛好者，龐加萊的哲學(xué)論述雖然顯得難以把握，卻更直接地源于數(shù)學(xué)實(shí)踐中的思考。他反對弗雷格將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歸為邏輯。明顯受到康德的影響，龐加萊認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺為數(shù)學(xué)提供了認(rèn)識論上的先天基礎(chǔ)。龐加萊在幾何學(xué)上采取了一種約定論（conventionalism）的立場，這明顯是應(yīng)對非歐幾何帶來的沖擊。也因此，龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)直覺的理解相對康德有所調(diào)整。后者認(rèn)為數(shù)學(xué)真的先天性來源于時間直覺和空間直覺。布勞威爾（L.E.J.Brouwer）的直覺主義和羅素（B.Russell）類型論中體現(xiàn)的直謂主義（predicativism）某種意義上都是對龐加萊想法的澄清與修正。一般認(rèn)為，羅素悖論（Russell’sparadox）的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著弗雷格的失敗，盡管它對弗雷格邏輯主義立場來說并不是根本的挑戰(zhàn)。（哥德爾的兩個不完全性定理，在其廣泛被接受的解釋下，幾乎宣判了希爾伯特綱領(lǐng)注定失敗。即，任何滿足作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)候選的基本要求的公理系統(tǒng)既不能是完全的，也無法證明自己的一致性。在哥德爾定理之后，仍然有努力試圖局部地推進(jìn)希爾伯特綱領(lǐng)。例如，根岑（G.K.E.Gentzen）對皮亞諾算術(shù)的一致性證明。其證明使用到超窮序數(shù)ε形式主義的這一困難對柏拉圖主義者來說是不存在的。弗雷格與希爾伯特（盡管二者都試圖為全部經(jīng)典數(shù)學(xué)辯護(hù)）的分歧在于，弗雷格作為實(shí)在論者認(rèn)為數(shù)學(xué)命題關(guān)于抽象世界的敘述是否為真才是關(guān)鍵的，一組真命題自然是一致的。哥德爾的柏拉圖主義與弗雷格在精神上是一致的，卻面對來自數(shù)學(xué)的不同的挑戰(zhàn)——獨(dú)立性現(xiàn)象。哥德爾證明諸如ZFC這樣的公理系統(tǒng)如果是一致的，那么是不完全的。進(jìn)一步，哥德爾與科恩的結(jié)果表明存在自然的數(shù)學(xué)命題（如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)），它們無法被ZFC等集合論公理系統(tǒng)證明或證否。這是關(guān)于業(yè)已被數(shù)學(xué)工作者接受的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——集合論公理系統(tǒng)的一個結(jié)果，它召喚著一個哲學(xué)的說明。圍繞連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性結(jié)果，其發(fā)現(xiàn)者哥德爾與科恩的觀點(diǎn)就區(qū)分為柏拉圖主義與基于公理集合論的形式主義。前者認(rèn)為獨(dú)立性結(jié)果無非揭示了以現(xiàn)有公理系統(tǒng)為代表的人們關(guān)于數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識是不完全的，因此需要并且可以更進(jìn)一步地理解數(shù)學(xué)世界，其表現(xiàn)就是為數(shù)學(xué)尋找到新的公理來判定獨(dú)立于現(xiàn)有公理系統(tǒng)的命題。而科恩認(rèn)為，相對ZFC的獨(dú)立性結(jié)果就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等問題的最終解決。其前提是，全部的數(shù)學(xué)就是在ZFC下做證明。隨著科恩發(fā)明的技巧的廣泛應(yīng)用，現(xiàn)代集合論產(chǎn)生了大量獨(dú)立性命題。集合論學(xué)家傾向于把這些結(jié)果表述為，這些獨(dú)立命題分別在不同的集合論宇宙中成立。隨著積累，人們在各種集合論宇宙中工作的這些經(jīng)驗(yàn)愈來愈強(qiáng)健，這對柏拉圖主義者帶來了新的挑戰(zhàn)。后者認(rèn)為存在客觀的集合論宇宙，而公理集合論就是對那個客觀世界（尚不完全）的描述。因此，任何集合論命題終有一個真假。人們的經(jīng)驗(yàn)與這種又被稱作集合論單一宇宙觀（Universeview）的柏拉圖主義立場似乎形成了一定的沖突。集合論的多宇宙觀正是應(yīng)這種困惑而產(chǎn)生的新的哲學(xué)立場。（以上，我們簡單回顧了邏輯主義、直覺主義、形式主義、柏拉圖主義與新進(jìn)的集合論多宇宙觀等數(shù)學(xué)哲學(xué)思想如何起源于數(shù)學(xué)研究中實(shí)際產(chǎn)生的困惑。2.2直覺主義對數(shù)學(xué)的應(yīng)用筆者在與多數(shù)數(shù)學(xué)柏拉圖主義者或形式主義者試圖捍衛(wèi)數(shù)學(xué)工作者現(xiàn)有的做法或捍衛(wèi)“數(shù)學(xué)自治”不同，一些數(shù)學(xué)哲學(xué)立場試圖宣稱某些數(shù)學(xué)工作是合法的，而另一些是不合法的，從而試圖改造或規(guī)范數(shù)學(xué)工作的樣態(tài)。它們被稱作數(shù)學(xué)的修正主義（revisionism）。直覺主義是其中的代表。龐加萊基于其哲學(xué)上的考量，反對康托的實(shí)無窮理論，反對非直謂的定義。布勞威爾基于直覺主義的立場反對排中律以及基于排中律的反證法不加限制的使用。盡管在事后看來，修正主義沒能廣泛地影響數(shù)學(xué)工作者的工作方式，但這些哲學(xué)立場無疑是試圖實(shí)際影響數(shù)學(xué)研究的。直覺主義以及更廣泛的構(gòu)造主義的繼承者們，如海廷（A.Heyting）、特魯爾斯特拉（A.S.Troelstra）等人的一項重要工作就是將直覺主義等哲學(xué)立場所認(rèn)可的數(shù)學(xué)以公理化或其他形式化的方式嚴(yán)格地刻畫出來。在此基礎(chǔ)之上，人們可以嚴(yán)格地驗(yàn)證哪些經(jīng)典數(shù)學(xué)的工作是可以在諸如直覺主義數(shù)學(xué)中被接受的，哪些必須被放棄。例如，源于自然主義立場的有窮主義者試圖論證，在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中用到的涉及無窮的數(shù)學(xué)都可以在有窮主義數(shù)學(xué)中找到相應(yīng)的結(jié)果。（2.3希爾伯特綱領(lǐng)的不確性判斷一種數(shù)學(xué)哲學(xué)立場是否是數(shù)學(xué)有效的一個充分的標(biāo)準(zhǔn)是，它能否提出相應(yīng)的測試問題（testproblem）。此外，能否提出測試問題也是一個哲學(xué)上的想法是否成熟的標(biāo)志之一。所謂測試問題是一個或一組具體的（在提出時的）數(shù)學(xué)開問題，這些問題可能的答案指向?qū)δ繕?biāo)哲學(xué)觀點(diǎn)的佐證、證否或其反面的佐證、證否。例如，希爾伯特為貫徹其形式主義的立場提出的希爾伯特綱領(lǐng)。希爾伯特綱領(lǐng)本身可以被看作是一組相對明確的數(shù)學(xué)問題。它要求給出一個形式化的公理系統(tǒng)，希望這是一個完全的公理系統(tǒng)，即任何數(shù)學(xué)命題要么可以該系統(tǒng)中被證明，要么可以被證否；更關(guān)鍵的是要證明該系統(tǒng)是一致的，并且一致性證明只能在有窮數(shù)學(xué)中給出?？陀^地說，希爾伯特綱領(lǐng)作為測試問題仍然留有些許不精確的地方。它要求完全性卻無法明確全部數(shù)學(xué)的范圍，它要求一致性證明在有窮數(shù)學(xué)中被給出，但也沒有明確有窮數(shù)學(xué)的定義。后來的故事前文已提及，哥德爾的兩個不完全性定理在很強(qiáng)的意義上宣告了希爾伯特綱領(lǐng)是不可能實(shí)現(xiàn)的。任何擴(kuò)張了基本算術(shù)能力的形式化公理系統(tǒng)如果是一致的，就不是完全的，（并且如果能表示基本的邏輯句法事實(shí)）也無法證明自己的一致性。因此，在一般的理解下，無論是要求涵蓋所有數(shù)學(xué)（至少得包括基本的一階算術(shù)）還是要求基于有窮數(shù)學(xué)（至少帶完整一階算術(shù)歸納的皮亞諾算術(shù)很難被認(rèn)可是有窮數(shù)學(xué)）的一致性證明都難以實(shí)現(xiàn)。盡管希爾伯特綱領(lǐng)的模糊之處使得希爾伯特式的形式主義在哥德爾定理之后仍有一定的生存空間，但哥德爾不完全性定理作為純數(shù)學(xué)的結(jié)果幾乎終結(jié)了希爾伯特綱領(lǐng)，這一事實(shí)至少說明希爾伯特形式主義提出了有效的測試問題。類似的贊許也可以被給與弗雷格的邏輯主義。邏輯主義要求為經(jīng)典數(shù)學(xué)提供邏輯的基礎(chǔ)。類似希爾伯特綱領(lǐng)，邏輯主義關(guān)于邏輯的或分析的界定尚未達(dá)到我們對一個數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)格性標(biāo)準(zhǔn)。我們也提到羅素悖論的發(fā)現(xiàn)是對弗雷格邏輯主義的重要打擊，而后續(xù)包括公理化集合論在內(nèi)的數(shù)理邏輯的發(fā)展使得邏輯主義逐漸被冷落。羅素悖論讓人們意識到弗雷格的所謂邏輯基礎(chǔ)也是需要被懷疑的，后續(xù)的數(shù)理邏輯發(fā)展，讓人們能夠清晰地區(qū)分狹義的（一階）邏輯公理與算術(shù)公理、類型論或集合論公理。邏輯主義的主要挑戰(zhàn)變成為如何論證，例如部分集合論公理也應(yīng)被納入邏輯或分析真的范疇。無論弗雷格的邏輯主義的最終命運(yùn)如何，其興衰明顯受具體數(shù)學(xué)工作的影響，這一事實(shí)說明弗雷格的邏輯主義至少是足夠成熟且數(shù)學(xué)有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場。關(guān)于測試問題更晚近的例子來自于武?。╓.H.Woodin）的終極L(UltimateL）計劃。武丁繼承哥德爾綱領(lǐng)，希望為數(shù)學(xué)尋找新的公理以判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)等獨(dú)立于已有集合論公理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)命題。終極L計劃也是試圖為大基數(shù)公理提供辯護(hù)的內(nèi)模型計劃的終極版本。武丁發(fā)現(xiàn)，一旦構(gòu)造出兼容超緊基數(shù)（supercompaccardinal）的內(nèi)模型，那么所有已知通過初等嵌入構(gòu)造的大基數(shù)性質(zhì)3數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義與數(shù)學(xué)實(shí)踐的互動本節(jié)中，筆者試圖論證數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義不是有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)。上一節(jié)中，筆者已經(jīng)展示了一種數(shù)學(xué)哲學(xué)立場如何與實(shí)際數(shù)學(xué)工作產(chǎn)生互動，從而能夠被認(rèn)可為有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)。本節(jié)意在從幾個主要的方向來說明數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義在這些方面都尚未與數(shù)學(xué)實(shí)踐形成上述意義上的互動。這是一項非常困難的任務(wù)。首先，這是一則全稱判斷，無法通過例證，或必須窮盡一類相關(guān)情況才能得出有限的結(jié)論。其次，筆者既非構(gòu)造主義者，亦非許多構(gòu)造主義者所推崇的，例如范疇論等數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的專家。筆者所知相對于該論證的要求明顯欠缺。因此，讀者應(yīng)該將本節(jié)的內(nèi)容視作對結(jié)構(gòu)主義者發(fā)起的一個挑戰(zhàn)。筆者樂見更多關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義如何切實(shí)影響數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的有關(guān)討論。3.1對結(jié)構(gòu)主義的質(zhì)疑正如引言中提到的，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義是作為集合論基礎(chǔ)主義的競爭立場而被提出的。且不論數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義所描繪的極端的集合論基礎(chǔ)主義的支持者是否真實(shí)存在，以哥德爾為代表的數(shù)學(xué)柏拉圖主義，以及由柏拉圖主義衍生出來的諸多集合論哲學(xué)立場，甚至包括集合論形式主義之間的爭論的確推動了集合論的發(fā)展。以直覺主義為代表的構(gòu)造主義，試圖限制經(jīng)典數(shù)學(xué)使用的部分方法，同時發(fā)展出成套的構(gòu)造主義數(shù)學(xué)系統(tǒng)，并產(chǎn)生了有趣的成果。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義對于集合論的發(fā)展是否存在類似的影響？首先，結(jié)構(gòu)主義批評集合論基礎(chǔ)主義者將數(shù)學(xué)對象定義為具體的集合。例如，自然數(shù)不應(yīng)就被看作就是有窮馮·諾依曼序數(shù)。那么結(jié)構(gòu)主義是否如直覺主義一樣，明確提出哪些數(shù)學(xué)研究或集合論的研究方法是不合法的，或者對邏輯公理或數(shù)學(xué)公理提出他們的見解？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義不僅未給出這樣的限制，甚至從未企圖給出這樣的限制。多數(shù)結(jié)構(gòu)主義者與直覺主義者不同，是持反修正主義立場的。毋寧說，結(jié)構(gòu)主義對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)調(diào)基于結(jié)構(gòu)主義者對數(shù)學(xué)實(shí)踐的觀察。的確，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中，同構(gòu)關(guān)系或許是除等同關(guān)系外最強(qiáng)的且最重要的等價關(guān)系。數(shù)學(xué)工作者也的確不怎么關(guān)心同構(gòu)關(guān)系下的非不變量（invariant）。貝納賽拉夫正是觀察到了這點(diǎn)，提出策梅洛序數(shù)就數(shù)論學(xué)家所關(guān)注的不變量而言與馮·諾依曼序數(shù)沒什么不同?？梢哉f，這是一個數(shù)學(xué)哲學(xué)家所能做出的盡可能安全的，甚至顯得平凡的關(guān)于數(shù)學(xué)的非數(shù)學(xué)論述。從當(dāng)代結(jié)構(gòu)主義主要代表人物夏皮羅關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)角色的分類和自白中（也因此，結(jié)構(gòu)主義者似乎放棄了對集合論研究中產(chǎn)生的實(shí)際困惑的回應(yīng)。與其他數(shù)學(xué)工作不同，集合論研究無疑更多地牽涉哲學(xué)問題。就結(jié)構(gòu)主義所關(guān)心的問題而言，集合論研究的對象，按照一般的理解，是集合論宇宙(V,∈)。但與數(shù)論的標(biāo)準(zhǔn)模型(N,≤,+,·)不同，我們關(guān)于集合論宇宙的知識非常有限。現(xiàn)代集合論通過司寇倫殼（Skolemhull）、超積、內(nèi)模型和力迫法等工具，構(gòu)造出各種各樣ZF或ZFC的模型。其中，有些模型是可數(shù)的，有些構(gòu)造是保持一階性質(zhì)的，更多的構(gòu)造則會改變一階性質(zhì)。這里似乎有大量與結(jié)構(gòu)相關(guān)的問題，但結(jié)構(gòu)主義者要么回避了這些問題，要么沒有給出相比其他集合論哲學(xué)更精細(xì)的分析。例如，作為一種結(jié)構(gòu)主義的普特南的如果那么主義（if-then-ism）。它將一則數(shù)學(xué)命題，如“2+3=5”解釋為：對任意結(jié)構(gòu)M，如果M是皮亞諾公理的模型，那么按照一階邏輯完全性與可靠性定理提供的字面解釋，這等價于PA?2+3=5。如果那么主義由此退化為樸素的形式主義。這種立場對于上述來源于集合論實(shí)踐的困惑能夠提供的見解也就不會比集合論的形式主義更多。那么，結(jié)構(gòu)主義是否會基于其哲學(xué)立場提出或推動一些數(shù)學(xué)研究規(guī)劃，或提出相應(yīng)的測試問題以激勵某些方面的數(shù)學(xué)研究呢？蒯因（W.V.Quine）在1937年提出了被稱作新基礎(chǔ)（NewFoundations，簡記為NF）的公理集合論以更好地刻畫羅素的類型論。（夏皮羅理解的結(jié)構(gòu)并非數(shù)理邏輯中定義的特定形式語言的某個特定的解釋。夏皮羅將數(shù)理邏輯中定義的結(jié)構(gòu)（包括一個具體的集合作為論域和論域上的關(guān)系與函數(shù)）稱作系統(tǒng)（system），而夏皮羅的結(jié)構(gòu)是對那些互相同構(gòu)的系統(tǒng)的抽象。讀者或許可以將結(jié)構(gòu)理解為，例如馮·諾依曼序數(shù)和策梅洛序數(shù)背后共同的東西，抑或從外延上來看是所有同構(gòu)于(N,≤,+,·)的（一階語言的）結(jié)構(gòu)組成的類。如果以形式化公理系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)來要求夏皮羅的結(jié)構(gòu)理論，會有許多令人疑惑的地方。例如，替換公理中的跨結(jié)構(gòu)的函數(shù)f的所指令人生疑。按結(jié)構(gòu)主義的立場，函數(shù)只能是某個結(jié)構(gòu)上的函數(shù)。因而，看似跨結(jié)構(gòu)的函數(shù)f實(shí)際上是某個結(jié)構(gòu)上的函數(shù)。那么下述命題（在諸如子類公理等其他公理存在的情況下）與替換公理等價：給定結(jié)構(gòu)S，如果每個S中的位置x也是某個結(jié)構(gòu)S夏皮羅把自己關(guān)于“協(xié)調(diào)性”的立場比作丘奇論題（Church’sthesis）。這仍然是不恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)榍鹌嬲擃}有著明確的對于能行可計算性概念的候選的形式化刻畫——圖靈可計算性?；蛟S更恰當(dāng)?shù)谋日諏ο笫遣紕谕栮P(guān)于直覺主義數(shù)學(xué)的描述。布勞威爾也反對任何將直覺主義數(shù)學(xué)形式化的努力。盡管如此，海廷等人仍然嘗試將直覺主義數(shù)學(xué)形式化，并由此得到豐富的數(shù)學(xué)成果。那么，夏皮羅的結(jié)構(gòu)理論是否有可能引導(dǎo)出類似的發(fā)展？首先，夏皮羅在關(guān)于結(jié)構(gòu)理論的介紹中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，結(jié)構(gòu)理論是“二階策梅洛–弗蘭克爾集合論的重做（reworking）”。例如，夏皮羅宣稱，上述公理中到冪集結(jié)構(gòu)公理為止的公理集的標(biāo)準(zhǔn)模型是V3.2范疇論與結(jié)構(gòu)主義范疇結(jié)構(gòu)主義（categoricalstructuralism）是近二十年來興起的結(jié)構(gòu)主義流派。奧德（S.Awodey）是其主要推動者。（由于所有范疇性質(zhì)都是結(jié)構(gòu)性質(zhì)，因而給定范疇中的給定對象，即作為那個范疇中的對象，可能具有的性質(zhì)就只能是結(jié)構(gòu)的了。（因此，范疇論是比集合論或其他基礎(chǔ)理論更適合的框架。這顯然是一種限制性的論述，與直覺主義者試圖限制數(shù)學(xué)的合法范圍類似。范疇論始于艾倫伯格（S.Eilenberg）和麥克蘭恩（S.MacLane）上世紀(jì)四十年代的工作（早在上世紀(jì)六十年代勞威爾（B.Lawvere）就試圖推動范疇論取代集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。由于范疇論公理總是針對某個范疇的，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)候選的范疇理論有若干個，其中比較有代表性的是對集合范疇的公理化——ETCS(theElementaryTheoryoftheCategoryofSets,應(yīng)該說，無論是來自哲學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義還是來自數(shù)學(xué)的范疇論關(guān)于結(jié)構(gòu)主義優(yōu)于集合論基礎(chǔ)主義或范疇論由于集合論的論點(diǎn)基本是一致的。但歷史上，兩者的確是各自獨(dú)立發(fā)生的（此外，或許恰恰是那些在范疇論鼓吹者看來的冗余信息（如集合內(nèi)部結(jié)構(gòu)）使得集合論可以被用來澄清、比較各種數(shù)學(xué)哲學(xué)立場。而范疇論能否提供這樣一個話語系統(tǒng)，不僅僅適合結(jié)構(gòu)主義，還能用來討論不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場？如果答案是否定的，便可部分解釋為什么結(jié)構(gòu)主義的哲學(xué)討論難以在范疇論中啟發(fā)更多的新問題，從而促進(jìn)后者的發(fā)展。3.3結(jié)構(gòu)主義的分類即使在支持集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論學(xué)家內(nèi)部，也存在哲學(xué)立場的顯著分歧。諸如，集合論的實(shí)在論者、集合論的形式主義者和近年來興起的多宇宙觀立場。甚至實(shí)在論者內(nèi)部的爭論亦十分激烈。集合實(shí)在論者往往繼承了哥德爾關(guān)于為集合論尋找新公理的想法，但他們關(guān)于集合論宇宙的理解非常不同，這直接表現(xiàn)為他們力推的新公理的候選各不相同。例如，弗里德曼考慮到一階語言的限制，希望考察由所有ZFC可數(shù)傳遞模型構(gòu)成的超宇宙，并且依據(jù)極大化原則等有待嚴(yán)格化的標(biāo)準(zhǔn)從中挑選更令人喜歡的模型，以此來決定V的一階真。武丁則強(qiáng)調(diào)著眼于V的全局性質(zhì)，為此他不惜放棄了早些時候基于多宇宙真理觀的?-邏輯計劃（后者被證明具有局部性），并啟動了尋找大基數(shù)的終極內(nèi)模型的計劃。這些基于集合論哲學(xué)上的考量推動了包括大基數(shù)與內(nèi)模型、力迫公理以及內(nèi)模型假設(shè)（InnerModelHypothesis）的研究，可以說構(gòu)成了當(dāng)代集合論發(fā)展動力的主要來源。結(jié)構(gòu)主義內(nèi)部同樣存在諸多分歧，這些分歧之間的碰撞是否也能促進(jìn)相關(guān)的數(shù)學(xué)研究？首先，結(jié)構(gòu)主義內(nèi)部有可消去（eliminative）結(jié)構(gòu)主義與不可消去（non-eliminative）結(jié)構(gòu)主義之分。不可消去結(jié)構(gòu)主義者，如貝納賽拉夫和夏皮羅把結(jié)構(gòu)或抽象結(jié)構(gòu)視作獨(dú)立的存在，它們是數(shù)學(xué)研究的對象。而可消去結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為結(jié)構(gòu)只是一種說話方式，在對數(shù)學(xué)命題意義的解釋中是可消去的。例如，前文提到的如果那么主義。顯然，不可消去結(jié)構(gòu)主義者更接近于實(shí)在論，而可消去結(jié)構(gòu)主義更接近唯名論。按照實(shí)在論–唯名論的維度，我們可以簡單地分類結(jié)構(gòu)主義。首先是結(jié)構(gòu)主義者構(gòu)想的集合論基礎(chǔ)主義，這種立場認(rèn)為自然數(shù)這樣的數(shù)學(xué)對象存在，它們是特定的集合，而數(shù)學(xué)命題就是關(guān)于這些數(shù)學(xué)對象，也即特定的集合的謂述。其次是不可消去結(jié)構(gòu)主義，他們認(rèn)為存在抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，抽象結(jié)構(gòu)中有位置，抽象結(jié)構(gòu)被具體的系統(tǒng)例示，抽象結(jié)構(gòu)的位置被系統(tǒng)中的對象填充，而數(shù)學(xué)命題應(yīng)該被理解為關(guān)于這些抽象結(jié)構(gòu)的謂述。特別地，夏皮羅認(rèn)為抽象結(jié)構(gòu)中的位置也能被看作是對象，因此抽象結(jié)構(gòu)也是例示自己的具體的系統(tǒng)。在可消去結(jié)構(gòu)主義中又根據(jù)反實(shí)在論的程度分成若干類型。比較溫和的不承認(rèn)抽象結(jié)構(gòu)的存在，但認(rèn)可例示抽象結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)的存在，對他們來說數(shù)學(xué)命題是關(guān)于一個或一類系統(tǒng)的謂述。更極端的可消去結(jié)構(gòu)主義也不認(rèn)可具體系統(tǒng)的存在，尤其是自然界不存在的無窮系統(tǒng)。正如如果那么主義所展示的，極端的可消去結(jié)構(gòu)主義幾乎退化為樸素的形式主義。在前兩種可消去形式主義之間較有影響的還有赫爾曼的模態(tài)結(jié)構(gòu)主義。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義將算術(shù)命題φ解釋為：存在自然數(shù)系統(tǒng)S是邏輯可能的；同時，邏輯必然地，在任何自然數(shù)系統(tǒng)S上，φ成立。模態(tài)結(jié)構(gòu)主義的這個解釋是為了避免不承認(rèn)抽象結(jié)構(gòu)存在但承認(rèn)具體系統(tǒng)存在的溫和的可消去結(jié)構(gòu)主義的困難：如果不存在某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的例示系統(tǒng)（例如物理世界中不存在自然數(shù)結(jié)構(gòu)的例示系統(tǒng)），那么關(guān)于這個系統(tǒng)的任何謂述都空洞地成立。顯然，模態(tài)邏輯主義解釋的關(guān)鍵是其中模態(tài)詞“邏輯可能”與“邏輯必然”的涵義。顯然，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義者不會將“邏輯可能”解釋為ZFC可證存在或其存在與ZFC一致。類似夏皮羅在結(jié)構(gòu)理論中對協(xié)調(diào)性概念的處理，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義者也將這些模態(tài)詞列為初始概念。赫爾曼在近年來，在有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的發(fā)表中又出現(xiàn)進(jìn)一步細(xì)分的不同立場。相對結(jié)構(gòu)主義（relativiststructuralism）試圖迎合數(shù)學(xué)家們的樸素想法：實(shí)用主義地選取例示結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，由于這些系統(tǒng)彼此同構(gòu)，這些選擇不會產(chǎn)生任何問題。概念結(jié)構(gòu)主義（conceptstructuralism）強(qiáng)調(diào)對于現(xiàn)代公理化數(shù)學(xué)來說，重要的不是數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而是諸如“自然數(shù)系”這樣的概念。各種抽象主義的結(jié)構(gòu)主義（abstractioniststructuralism）或直接將結(jié)構(gòu)等同于例示這些結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)組成的模同構(gòu)的等價類，或是聲稱結(jié)構(gòu)是通過抽象掉具體系統(tǒng)中對象的特殊屬性只保留結(jié)構(gòu)屬性得到的東西。這些細(xì)分立場大多是基于前述立場通過哲學(xué)術(shù)語的細(xì)微調(diào)整得到的。筆者同樣未能發(fā)現(xiàn)上述細(xì)分立場之間的辯論能夠像集合論哲學(xué)諸立場之間的辯論那樣，頻繁引用相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)果，并且能夠促進(jìn)有關(guān)數(shù)學(xué)問題的研究或提出具體的測試問題。4結(jié)構(gòu)的同構(gòu)性在本節(jié)中，筆者試圖結(jié)合包括集合論多宇宙觀和潛在主義（potentialism）在內(nèi)的集合論多元論（pluralism）的一些結(jié)果，向數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義發(fā)起挑戰(zhàn)，試圖論證：結(jié)構(gòu)主義要么已經(jīng)被一些數(shù)學(xué)結(jié)果證明是錯的或至少是部分錯的，要么不接受對這些數(shù)學(xué)結(jié)果的解釋，因而進(jìn)一步被證實(shí)是數(shù)學(xué)中性的。對結(jié)構(gòu)主義者來說，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)最重要的屬性是范疇性。無論對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作怎樣的解釋，一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的各個例示或一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)概念下的各個標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)之間