《兩角差的余弦公式》教案

§3.1.1《兩角差的余弦公式》教學(xué)設(shè)計(jì)巴中市巴州區(qū)第四中學(xué)衛(wèi)金娟教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)：通過兩角差的余弦公式的探究，讓學(xué)生在初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能的基礎(chǔ)上記憶公式，并用其解決簡單的數(shù)學(xué)問題，為后面推導(dǎo)其他和（差）角公式打好基礎(chǔ)；2、能力目標(biāo)：通過利用同角三角函數(shù)變換及向量推導(dǎo)兩角差的余弦公式，讓學(xué)生體會(huì)利用聯(lián)系的觀點(diǎn)來分析問題、解決問題，提高學(xué)生邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力；3、情感目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，體驗(yàn)成功探索新知的樂趣，獲得對數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情.學(xué)情分析：1、知識分析：必修4前兩章剛學(xué)習(xí)了《平面向量》和《三角函數(shù)》的知識,學(xué)生對前兩章知識尚記憶深刻，為第三章第一節(jié)“兩角差的余弦公式”的學(xué)習(xí)做了充足的知識準(zhǔn)備；但“兩角差的余弦公式”中所涉及的用三角函數(shù)線推導(dǎo)公式部分比較難，學(xué)生獨(dú)立探究有一定的困難，需要老師合理引導(dǎo)、并讓學(xué)生小組討論合作學(xué)習(xí)來完成.2、能力分析：從平時(shí)的課堂教學(xué)中，我已經(jīng)培養(yǎng)學(xué)生具備了一定的小組討論和探究合作學(xué)習(xí)的能力，但由于部分學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱，課堂參與程度不高，所以我合理分組，讓學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好且課堂積極活躍的學(xué)生帶動(dòng)小組內(nèi)其他學(xué)生一起完成新課學(xué)習(xí)；從學(xué)生的歸納總結(jié)和語言表達(dá)能力來看，學(xué)生具有了一定的歸納總結(jié)的能力,但對數(shù)學(xué)中邏輯嚴(yán)密的一般結(jié)論，還不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來表達(dá).3、學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度：所帶班級屬于文科班，學(xué)習(xí)紀(jì)律性比較好，聽課認(rèn)真,動(dòng)筆演算等能力比較好，但作為文科班女生膽子小，回答問題方面不是很活躍，需要合理分組合作學(xué)習(xí).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：通過探究得到兩角差的余弦公式。 難點(diǎn)：兩次探究過程的組織和引導(dǎo)。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體、圓規(guī)，三角板教學(xué)流程:

引入問題，提出探究

明確途徑，組織和引導(dǎo)學(xué)生自主探究例題、練習(xí)講解，深化公式的理解與運(yùn)用教學(xué)過程一、設(shè)置懸念、引入課題（1分鐘）問題：在初中時(shí)，我們知道cos45°=—，cos30°=—，jflj2 2cosl5°=cos（45°-30°）,那么大家猜想一下，cosl5。等于多少呢是不是等于cos450-cos300呢這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：兩角差的余弦公式.二、探究新知，共同學(xué)習(xí)根據(jù)剛才的設(shè)想，我們把問題一般化，首先來做一個(gè)猜想：（1分鐘）猜想：設(shè)a、戶是任意角，貝Ijcos（a-p）=cosa-cos/7恒成立嗎反例驗(yàn)證.結(jié)論:cos(a-p)=cosa-cos)不恒成立結(jié)論:探究途徑：提示學(xué)生聯(lián)系與角的余弦相關(guān)的知識點(diǎn)，明確以向量運(yùn)算中的數(shù)量積與三角函數(shù)線作為研究途徑。探究1:借助向量知識來推導(dǎo)cos（a-尸）公式（5-6分鐘）如右圖，在單位圓中作出角。它們的終邊與1y單位圓分別交于48兩點(diǎn)，先假設(shè)尸），且a弋/?―終力a>p,提出以下問題： J問題1：圖中哪個(gè)角可以表示月問題2：此時(shí)的取值范圍是多少問題:3：a-/可以看作是哪兩個(gè)向量的夾角問題4：向量)、畫的坐標(biāo)分別是什么(3-4分鐘)=(cosa,sina)OB=(cos/?,sin/7)由向量數(shù)量積的概念，有方?仍=|倒|麗卜os6=cose ①由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有QA?05=cosacos尸+sinasin/7 ②比較①②，可得cos(or-/?)=cosacosfl+sinasin0(2)由圖(1)知，a=/3+e+2k兀,由由圖(2)知a=/7—e+2Qr,所以，a-p=±?+2k&keZ所以，cos(a—/7)=cos(±8+2Z/r)=cos(±6)=cos0.結(jié)論：對任意角。、夕有cos(a-fi)=cosacosfl+sinasinp探究2:借助三角函數(shù)線來推導(dǎo)cos（a-夕）公式（10-11分鐘）首先，我們從最簡單的情況進(jìn)行討論：設(shè)/都為銳角，且力作單位圓。，設(shè)角。的終邊與單位圓。交于點(diǎn)R,即作/0。4=尸,則ZxOP=a-尸.作PM_Lx軸，垂足為亞問題1:那么cos（a-0表示哪條線段長問題2：如何用線段分別表示sinP和cosP問題3：8580$々=。4＜：0$2,它表示哪條線段長5也/75111（7=4%由々，它表示哪條線段長問題4：利用QM=08+80=08+6,你能得到什么結(jié)論探究過程：①作「M_Lx軸,垂足為M,則OM=cos（a-。。（即就是角a￡l勺余弦線，我們要設(shè)法用。、尸的正弦、余弦線來表示OW）②作PA_LO/垂足為4,貝ljAP=sin/7,O4=cos/?；作48_1_您由，垂足為6,則OB=04cosa=cosflcosa。③作尸C_LA8垂足為C,則/為會(huì)打，進(jìn)而得上/Psina二sinpsine?。④所以則有OM=0B+BM=OB+CP=cosacos/3+sinasin/3.B|J： cos（6Z-P）=cosacQsp+sinasinp）結(jié)論歸納：兩角差的余弦公式（公式及其特征分析，-2分鐘）cos((7-P)=cosacos/3+sinasin(3此公式稱兩角差的余弦公式，簡記Cd0注意：（1）公式中的。、?是“任意角”；（2）公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):“同名積,符號反”;結(jié)構(gòu)簡記“CC+SS”.（3）對于1、夕，只要知道其正弦、余弦，就可以求出cos（a-P）.三、小試身手、鞏固新知（6-8分鐘）例1.利用差角的余弦公式求cosl50的值.（提示思路，學(xué)生獨(dú)立完成，并由2名學(xué)生分別板演兩種拆法，糾錯(cuò)講評，3-4分鐘）分析：15°可以拆為兩個(gè)特殊角之差，如15°二45°-30°或者15°=60°-45°.總結(jié)：一般的，對于非特殊角，我們將其拆分成兩個(gè)特殊角之差，靈活運(yùn)用公式求值即可，注意角拆分的多樣性.變式訓(xùn)練1：（分析特征，師生共同完成，3-4分鐘）（1）cos60°cos150+sin60°sin15° （2）cos70cos40+cos20cos50總結(jié)：求值化簡時(shí)，要注意差角公式的逆用，通常觀察三角式的結(jié)構(gòu)特征,利用誘導(dǎo)公式作適當(dāng)變形，再靈活應(yīng)用公式.四、當(dāng)堂訓(xùn)練，共同提高（提示思路，學(xué)生獨(dú)立完成，8分鐘）l.cos(T0°)cos20°+sin(T(f)sin20。=g2.cos75°cos150-sin75°sin195°的值為(B)3.計(jì)算：(1)cos仁+esin3.計(jì)算：(1)cos五、課堂小結(jié)（1分鐘）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲.先后用向量與三角函數(shù)線的相關(guān)知識，探索并證明了兩角差的余弦公式:cos(cr-P)=cosacos/7+sinasin(5.所涉及的數(shù)學(xué)思想方法：化歸與轉(zhuǎn)