線段公理的運(yùn)用

線段公理的運(yùn)用——數(shù)學(xué)組課外輔導(dǎo)材料儲(chǔ)王水幾何中線段公理簡述為“兩點(diǎn)之間，線段最短”。由此得到推論：“三角形兩邊之和大于第三邊”，這是學(xué)生都很熟悉的公理和推論?？墒谴蟛糠謱W(xué)生并不會(huì)靈活的運(yùn)用這個(gè)公理。這里我主要介紹一些該公理的運(yùn)用方法.首先，哪類數(shù)學(xué)題型適用線段公理呢？我總結(jié)是：所有線段和之間的大小關(guān)系比較、線段和的最小值等問題都運(yùn)用這個(gè)公理。其次，如何運(yùn)用這個(gè)公理呢？很多問題一般不能運(yùn)用這個(gè)公理直接解答，而是要運(yùn)用圖形變換，借助平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、表面展開圖等將分散的線段集中起來，組成平面內(nèi)某兩點(diǎn)之間的一條線段與其它折線和間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的。一、運(yùn)用平移例1:在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且ZAOD二60,AC二BDED.COB求證：AD+BC2ACED.COB解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于：將AD、BC以及AC移到同一個(gè)三角形中從而構(gòu)成三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系。考慮到AC與BD相等，且夾角為60度，我們將AD平移到CE的位置，AC同時(shí)就平移到DE處，此時(shí)，由于△DBE恰好是等邊三角形，即BE=BD=AC，于是問題得至U解決。BC+CE〉BE,而當(dāng)AD平行于BC時(shí)，BC與CE共線，且與BE重合，即BC+CE=BE,再代換即得到AD+BC2AC。例2：在厶ABC中，D、E是BC上的兩點(diǎn)，且BD=CE,求證：AB+AC〉A(chǔ)D+AE求證：AB+AC〉A(chǔ)D+AE這里可以將△ACE平移到△FBD處，使FD交AB于點(diǎn)G,于是有AG+DG〉A(chǔ)D、FG+BG〉BF,兩式相加得至UAB+DF〉A(chǔ)D+BF，再彳將DF換成AC,BF換成AE,從而有AB+AOAD+AE問題得到解決。二、運(yùn)用軸對(duì)稱例3：在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，已知：AB=4,BE=1,點(diǎn)P為AC上的點(diǎn)，求：BP+EP的最小值。本題中求BP+EP的最小值，我們只要將它轉(zhuǎn)變?yōu)槟硟牲c(diǎn)間的一條線段就可以了，根據(jù)軸對(duì)稱性，BP=DP，因而，連接DE,DE的值就是BP+EP的最小值。即;BP+EP的最小值等于DE=爲(wèi)2耳=5ACOBD例4；如圖：0O的半徑為6厘米，zaob=600，點(diǎn)c是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為半徑OB上一點(diǎn)，貝ij：AM+CM的最小值是多少？ACOBD本題同例2如出一轍，作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D,則MD=MC,因而AM+CM的最小值就是AM+DM的最小值，既線段AD的長，連接OD,易知厶AOD=900AD=J0A2+0D2二+浴2+62二^2例5：在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A(6,2)、點(diǎn)B(2,4)、點(diǎn)C(0,m)、點(diǎn)D(n,0),試問：當(dāng)m、n各為多少時(shí),四邊形ABCD的周長最小,最小值是多少?

I這里四邊形ABCD的周長即AB+BC+CD+AD,由于AB是一個(gè)確定的值,實(shí)際上就要求BC+CD+AD最小,所以我們就需要將這三條邊變換成某兩點(diǎn)見的一條線段，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)CDBE稱點(diǎn)M(6,-2)，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N(—2,4),于是總有AD=MD,BC=NC,則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M、D、C、N四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的周長最小，這時(shí)可用過M、N的直線函數(shù)解析式求m.n的值，用勾股定理求MN和AB的長，從而求周長的最小值。三：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)CDBE例6：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，求證：AB+AC〉2AD要證明AB+AO2AD，只需要將AB、AC、2AD組成一個(gè)三角形,則可運(yùn)用三角形兩邊之和大于第三邊解決,根據(jù)已知條件，不妨將厶ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180度到AEBD處，于是有AB+BE〉A(chǔ)E,其中BE=AC,AE=2AD,從而解決了問題。例7：如圖：在厶ABC中，，AB=AC，點(diǎn)D、E是BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，在點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)過程中ZDAE等于ZBAC的一半，求證：BD+CE〉DE。這里BD、CE、DE三條線段在一條直線上,我們必須將它們通過變換位置,組成一個(gè)三角形,從而就可解決問題,由條件知"I二已zB，于是，可以將ABAD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△CAF處，并可得到厶DAE今厶FAE，這樣在厶CEF中,CE+CF〉EF，又因?yàn)镃F=BD,EF=DE,于是BD+CE〉DE的結(jié)論得到證明。四、幾何體表面展開例8：9如圖，有一圓柱，其高為12cm，它的底面半徑為3cm，在圓柱下底面A處有一只螞蟻，它想得到上面B1處的食物，則螞蟻經(jīng)過的最短距離為 cm。（n取3）本題實(shí)際上是圓柱表面點(diǎn)A到點(diǎn)B1的最短距離，只須將圓柱沿母線AA1剪開，將側(cè)面展開，線段AB1的長就是這個(gè)最短距離。A1AA1A線段和間的大小比較、最小值等問題，通常用“線段公理”為解決問題的切入點(diǎn)，“圖形變換”是構(gòu)造“兩點(diǎn)間線段”的手段。只要你抓住了這個(gè)規(guī)律，你就可以快捷的找到解決問題的方法。練習(xí)題1、一只螞蟻在一塊長方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長方體上和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)C1處，如圖，已知長方體長6cm，寬5cm，高3cm。蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方形的表面向上爬，它要從A點(diǎn)爬到C1點(diǎn)，有很多路線，它們有長有短，蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去，所走的距離最短？你能幫蜘蛛求出最短距離嗎？

A1D1B1CAC1AA1D1B1CAC1A2、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,3)、B(4,1),點(diǎn)C為X軸上的點(diǎn)，AC+BC最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。3、.已知點(diǎn)A(1,3)，B(5,-2),在x軸上找一點(diǎn)P,使|AP-BP|最大，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是4、在四邊形ABCD中，ZB=60度，AB=BC,ZBAD=90度,AB=5,AD=12,點(diǎn)P是形內(nèi)一點(diǎn)，且ZAPD=120度，求PA+PC+PD的最小值。5、在/ABC中，ZA=30度，AB=8,AC=6，點(diǎn)P是/ABC內(nèi)的點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值。當(dāng)e= 。時(shí)，ep長度最大，最大值為 8CBCBC當(dāng)e= 。時(shí)，ep長度最大，最大值為 8CBCBCB團(tuán)圖3@26?在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30。，將△ABC繞頂點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為e(o°<e<180°),得到△A