數(shù)理方程-總結(jié)復(fù)習(xí)及練習(xí)要點

第二篇

數(shù)學(xué)物理方程12基本知識定解問題的確立及分析定解問題求解之行波法定解問題求解之分離變量法定解問題求解之Green函數(shù)法定解問題求解之積分變換法數(shù)理方程基本知識3數(shù)學(xué)物理方程主要是指數(shù)學(xué)物理所涉及的偏微分方程，有時也包括相關(guān)的積分方程、微分積分方程，或者說物理規(guī)律用數(shù)學(xué)語言描述出來的偏微分方程就是數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)物理方程研究一些物理量在某些特定條件下按照物理規(guī)律變化的情況。這些物理量所滿足的物理規(guī)律具有共性,它反映的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。物理量受某些特定條件約束，所產(chǎn)生的物理問題又各具有自身的特殊性，即個性。4具有共性的物理規(guī)律可以用偏微分方程的形式描述，這些方程在不附加個性條件的情況下稱為泛定方程。約束物理量的特定條件可以使符合共性物理規(guī)律的物理量確定，或者說，也能夠使?jié)M足泛定方程的解確定下來，這些特定條件都可以稱為定解條件。我們研究數(shù)理方程的目的就是為了確定方程的解，進而研究特定條件下物理量確定值或變化情況。數(shù)理方程基本知識數(shù)理方程基本知識5我們研究的這些定解條件或者約束物理量的特定條件大體可以分為兩大類，一類關(guān)乎于環(huán)境對物理量發(fā)展過程的約束，這類約束主要體現(xiàn)于物理環(huán)境周圍邊界的物理狀況，即邊界條件。另一類關(guān)乎于物理量發(fā)展的歷史狀況，或者說這個物理量之前是什么樣的，這類約束主要體現(xiàn)于時間上我們?nèi)藶槎x從何時開始針對于物理量的研究，或者說這個物理量研究初始時的狀況，即初始條件。數(shù)學(xué)上邊界條件和初始條件也統(tǒng)稱為定解條件。數(shù)理方程基本知識6由泛定方程、定解條件構(gòu)成的研究數(shù)學(xué)物理方程的問題稱為數(shù)學(xué)物理定解問題，準(zhǔn)確地說就是在給定定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程。偏微分方程的基本概念偏微分方程的階數(shù)最高的求導(dǎo)次數(shù)偏微分方程的齊次與非齊次不含有研究函數(shù)的非零項偏微分方程的線性與非線性數(shù)理方程基本知識7

劈形算符符合矢量運算Laplace算符數(shù)理方程基本知識8場的概念物理量在空間或一部分空間上的分布就稱為場數(shù)量場和矢量場如果描寫場的量是數(shù)量函數(shù)，也就是沒有方向性，只有大小之分，這個場就是數(shù)量場，如溫度場，壓力場；如果描寫場的量是矢量函數(shù)就稱這個場為矢量場，如速度場、電磁場、引力場數(shù)理方程基本知識9場的表示除用點的函數(shù)來描寫場的物理、力學(xué)性質(zhì)外，常在場中按一定規(guī)則繪出曲面或曲線來表示場中物理量分布；數(shù)量場矢量場其中A中各個分量代表了場矢量在x,y,z三個方向的分量數(shù)理方程基本知識10方向?qū)?shù)數(shù)量場函數(shù)沿射線的差商的極限存在，則稱此極限為數(shù)量場在點沿方向方向?qū)?shù)，記作如同一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)反應(yīng)的是函數(shù)變化率一樣，方向?qū)?shù)反應(yīng)的是數(shù)量場在點出沿方向e對距離的變化率。數(shù)理方程基本知識11梯度gradu稱為數(shù)量場u的梯度，它的方向與u在M點上升的最快的方向同向數(shù)理方程基本知識12發(fā)散量對于一般的矢量場和封閉曲面，我們稱向著的外法矢量方向流過的流量為發(fā)散量散度單位體積的發(fā)散量在點M0處的極限稱為矢量場在點M0的散度，用于描述場發(fā)散或匯聚的快慢，記作數(shù)理方程基本知識13Gauss定理對于一般的矢量場14基本知識定解問題的確立及分析定解問題求解之行波法定解問題求解之分離變量法定解問題求解之Green函數(shù)法定解問題求解之積分變換法泛定方程的建立15如何獲得給出問題的泛定方程？將各類不均勻的非線性的物理問題以微分轉(zhuǎn)化為均勻的線性的符合已知物理規(guī)律的問題；例如：線的振蕩問題通過分析線元受力獲得；

桿的縱振動通過分析桿微元受力獲得；

濃度擴散通過分析微小均勻體積內(nèi)的擴散獲得；

溫度擴散通過分析微小均勻體積內(nèi)溫度獲得泛定方程的建立16

泛定方程的建立17如何獲得給出問題的泛定方程？擴散方程結(jié)合高斯定律熱傳導(dǎo)定律結(jié)合高斯定律泛定方程的建立18從物理角度看三大類泛定方程波動方程(描述波的傳播、桿振動、電路中電流傳播等物理現(xiàn)象的泛定方程)

其中齊次情況下f(M,t)=0輸運方程(描述溫度傳播、濃度擴散的泛定方程)

其中齊次情況下f(M,t)=0穩(wěn)態(tài)方程(描述靜電場、穩(wěn)定濃度分布的泛定方程)其中齊次情況為拉普拉斯方程泛定方程的建立19從數(shù)學(xué)角度看三大類泛定方程波動方程屬于雙曲型輸運方程屬于拋物型穩(wěn)態(tài)方程屬于橢圓型雙曲型拋物型橢圓型判定依據(jù)定解條件的確定20初始條件t=0時刻物理量的狀況，數(shù)學(xué)上可以是物理量本身的值也可以是對時間變量的導(dǎo)數(shù)或者兩者皆有(視偏微分方程中對時間變量求導(dǎo)的階數(shù)而定)注：1.初始條件描述物理量的狀態(tài)為整個系統(tǒng)并非單個點;

2.穩(wěn)定場問題沒有初始狀態(tài)；定解條件的確定21邊界條件邊界上物理量的狀況，數(shù)學(xué)上可以是物理量本身的值也可以是物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的值，或上述兩種情況的線性組合，具體分為三種邊界條件：第一類狄里希利問題第二類諾依曼問題第三類注：邊界問題同樣需要與階數(shù)相同的條件個數(shù)來確定解定解問題的形成及分析22泛定方程的齊次與非齊次；邊界條件的類型；是否有初始條件；可用的方法：行波法(達朗貝爾公式)，分離變量法+傅里葉級數(shù)法+沖量定理法+疊加原理，Green函數(shù)(+沖量定理)，積分變換法；23基本知識定解問題的確立及分析定解問題求解之行波法定解問題求解之分離變量法定解問題求解