十　空間中直線、平面的垂直

11十空間中直線、平面的垂直【基礎(chǔ)必會(huì)練】1.已知平面α的法向量n=(1,2,-2),平面β的法向量m=(-2,3,k),若α⊥β,則k的值為 ()A.2 B.4 C.1 D.1【解析】選A.由題意,得m·n=0,所以-2+6-2k=0,得k=2.2.已知點(diǎn)A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)【解析】選C.由題意知,=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z).因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以解得x故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0,2).3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則 (A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面【解析】選B.建立以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則=(1,0,1),=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,=13,13,-13,所以·=0,·=0,所以EF⊥A1D,EF⊥AC,所以A錯(cuò)誤,B正確;=(-1,-1,1)=-3,所以EF∥BD1,所以C錯(cuò)誤,D錯(cuò)誤.4.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點(diǎn),F是AD上一點(diǎn),當(dāng)BF⊥PE時(shí),AFFD的值為 (A.12 B.1 C.3 D.【解析】選B.如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,PA=a,則B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,y,0),0≤y≤1,則=(-1,y,0),=12,1,-a.因?yàn)锽F⊥PE,所以·=0,即-12+y=0,解得y=1所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,12,0,所以F為AD的中點(diǎn),所以AFFD=15.(多選題)在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,則以下結(jié)論中一定成立的是 ()A.⊥ B.⊥C.⊥ D.⊥【解析】選ABC.由題意知PA⊥平面ABCD,所以PA與平面上的線AB,CD都垂直,A,B正確;又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,可推得對(duì)角線BD⊥平面PAC,故⊥,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng)不一定成立.6.(多選題)已知直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則能使l⊥α的是 ()A.m=(1,2,1),n=(1,0,1)B.m=(0,1,0),n=(0,3,0)C.m=(1,-2,1),n=-12,1,-12D.m=(1,-2,3),n=(-2,2,2)【解析】選BC.因?yàn)橹本€l的方向向量為m,平面α的法向量為n,要使l⊥α,只需m∥n.對(duì)于A:m=(1,2,1),n=(1,0,1).因?yàn)?1≠02≠11,所以m,n不平行.故對(duì)于B:m=(0,1,0),n=(0,3,0).因?yàn)閙=13n,所以m∥n.故B正確對(duì)于C:m=(1,-2,1),n=-12,1,-12.因?yàn)閙=-2n,所以m∥n.故C正確;對(duì)于D:m=(1,-2,3),n=(-2,2,2).因?yàn)??2≠?22≠32,所以m,n不平行.故7.下列命題中:①若u,v分別是平面α,β的法向量且α⊥β?u·v=0;②若u是平面α的法向量且向量a與α共面,則u·a=0;③若兩個(gè)平面的法向量不垂直,則這兩個(gè)平面一定不垂直.正確命題的序號(hào)是________.

【解析】?jī)善矫娲怪眲t它們的法向量垂直,反之亦然.答案:①②③8.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PD⊥底面ABCD且PD=1,若E,F分別為PB,AD中點(diǎn),則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是________.

【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則E12,12,12,F12,0,0,所以=0,-12,-12,易知,平面PBC的一個(gè)法向量n=(0,1,1),因?yàn)?-12n,所以∥n,所以EF⊥平面PBC.答案:垂直9.如圖所示,已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求證:BD⊥平面ADC.【證明】不妨設(shè)AD=BD=CD=1,則AB=AC=2,由空間向量數(shù)量積的定義可得·=·cos60°=1,因?yàn)锳D=CD=1且∠CAD=45°,所以,·=·cos45°=1,所以·=(-)·=·-·=1-1=0,所以BD⊥AC,又因?yàn)锽D⊥AD,AC∩AD=A,AD?平面ACD,AC?平面ACD,因此,BD⊥平面ACD.10.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.【證明】由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,則=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=-2,0,12.設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1).則?z1令x1=1,得y1=1.所以n1=(1,1,0).設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2).則??2x令z2=4,得x2=1,y2=-1.所以n2=(1,-1,4).因?yàn)閚1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0.所以n1⊥n2,所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.【能力進(jìn)階練】11.已知直線l1的方向向量a=(2,4,x),直線l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,則x+y的值是 ()A.-3或1 B.3或-1C.-3 D.1【解析】選A.因?yàn)閨a|=22所以x=±4,又因?yàn)閍⊥b,所以a·b=2×2+4y+2x=0,所以y=-1-12x,所以當(dāng)x=4時(shí),y=-3,當(dāng)x=-4時(shí),y=1,所以x+y=1或-312.(2022·周口高二檢測(cè))已知梯形CEPD如圖所示,其中PD=8,CE=6,A為線段PD的中點(diǎn),四邊形ABCD為正方形,現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊,使得平面PABE⊥平面ABCD,得到如圖所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)F滿足=λ(0<λ<1)時(shí),平面DEF⊥平面PCE,則λ的值為 ()A.12 B.23 C.35 【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,且平面PABE⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD兩兩垂直,且PA∥BE,所以建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),又因?yàn)镻D=8,CE=6,所以P(0,0,4),C(4,4,0),E(4,0,2),D(0,4,0),B(4,0,0),則F(4λ,0,0),=(4,-4,2),=(4λ,-4,0),=(0,-4,2),=(-4,0,2),設(shè)平面DEF的法向量為m=(x,y,z),則由得4x?4y+2z=0取m=(1,λ,2λ-2),設(shè)平面PCE的法向量為n=(a,b,c),則由得?4b+2c=0因?yàn)槠矫鍰EF⊥平面PCE,所以m·n=1+λ+2(2λ-2)=5λ-3=0,解得λ=3513.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直線OP與OQ垂直,則x的值為__________.

【解析】由題意得⊥,所以·=0.所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=12又x∈[0,π],所以x=π2或x=π答案:π2或14.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E,要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長(zhǎng)為________.

【解析】以C1為原點(diǎn),C1A1所在直線為x軸,C1B1所在直線為y軸,C1C所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意A1(1,0,0),B1(0,1,0),D12,12,0,C1(0,0,0),A(1,0,2),設(shè)F(0,1,t),0≤t≤2,則=12,12,0,=(-1,1,-2),=(0,1,t),因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,所以所以1-2t=0,解得t=12所以線段B1F的長(zhǎng)為12答案:115.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CD.(2)已知點(diǎn)G在平面PAD內(nèi),且GF⊥平面PCB,試確定點(diǎn)G的位置.【解析】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),設(shè)AD=a,則D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,P(0,0,a),Fa2,a2,a2,所以=-a2,0,a2,=(0,a,0),所以·=-a2,0,a2·(0,a,0)=0,所以EF⊥CD.(2)因?yàn)镚∈平面PAD,設(shè)G(x,0,z),所以=x-a2,-a2,z-a2.由(1)知=(a,0,0),=(0,-a,a).因?yàn)镚F⊥平面PCB,所以·=x-a2,-a2,z-a2·(a,0,0)=ax-a2=0,·=x-a2,-a2,z-a2·(0,-a,a)=a22+az-a2=0,所以x=a2,z=0所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為a2,0,0,即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).【創(chuàng)新拓展練】16.(多選題)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總是保持AP⊥BD1,則以下四個(gè)結(jié)論正確的是()A.VP?B.點(diǎn)P必在線段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D【解析】選BD.對(duì)于A,因?yàn)镻在平面BCC1B1上,平面BCC1B1∥平面AA1D,所以P到平面AA1D的距離即為C到平面AA1D的距離,即為正方體棱長(zhǎng),所以VP?AA1D=13S△AA1D·CD=13×則A(1,0,0),P(x,1,z),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),所以=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1),因?yàn)锳P⊥BD1,所以·=1-x-1+z=0,所以x=z,即P(x,1,x),所以=(x,0,x),所以=-