第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

第2節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試要求1理解命題的概念，了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；2理解充分條件、必要條件與充要條件的含義知識梳理判斷真假1命題用語言、符號或式子表達的，可以__________的陳述句叫做命題，其中__________的語句叫做真命題，__________的語句叫做假命題判斷為真判斷為假2四種命題及其相互關(guān)系1四種命題間的相互關(guān)系若綈p,則綈q若q,則p若綈q,則綈p2四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有_______的真假性②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性___________相同沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的_______條件，q是p的_______條件p是q的______________條件p?q且q

pp是q的______________條件pq且q?pp是q的_______條件p?qp是q的_____________________條件p

q且q

p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要1否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論的充分不必要條件A?B且BA，與A的充分不必要條件是BB?A且AB兩者的不同的充分不必要條件?綈B是綈A的充分不必要條件診斷自測1判斷下列結(jié)論正誤在括號內(nèi)打“√”或“×”1“2＋2－3<0”是命題2當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件3“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”4若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真解析1錯誤該語句不能判斷真假，故該說法是錯誤的答案1×2√3√4√A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案D3老教材選修2－1P2例1改編下面有4個命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②若－a不屬于N，則a屬于N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④2＋1＝2的解可表示為{1，1}其中真命題的個數(shù)為________答案042017·北京卷能夠說明“設(shè)a，b，>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，則a＋b＝－6<c答案－2，－4，－5答案不唯一52019·鄭州模擬已知p：>a是q：2<<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________解析由已知，可得{|2<<3}{|>a}，∴a≤2答案－∞，2]62020·青島二中檢測直線－y－＝0與圓－12＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________答案－1<<3考點一命題及其關(guān)系【例1】1下列說法正確的是22018·北京卷能說明“若f>f0對任意的∈0，2]都成立，則f在上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________解析1對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，A錯；對于B項，若“am2<bm2，則a<b”的逆命題為“若a<b，則am2<bm2”，因為當(dāng)m＝0時am2＝bm2，所以其逆命題為假命題，B錯；對于C項，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，?∈0，＋∞，都有4>3，C錯；2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念，只要找到一個定義域為的不單調(diào)函數(shù)，滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點，且fmin＝f0規(guī)律方法1寫一個命題的其他三種命題時，需注意：1對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；2若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提2判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例3根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易時，可間接判斷【訓(xùn)練1】12020·石家莊模擬下列說法中正確的是B錯，an＝0為常數(shù)列，但{an}不是等比數(shù)列；C正確，由于A>B?a>b?sinA>sinB2命題≥sin，則m>a－2恒成立，它是真命題時a－2<－1，解得a<1綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，1答案1C2[0，1考點二充分條件與必要條件的判定【例2】12019·浙江卷若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件2已知條件p：>1或<－3，條件q：5－6>2，則綈p是綈q的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2由5－6>2，得2<<3，即q：2<<3所以q?p，p?/q，所以綈p?綈q，綈q?/綈p，所以綈p是綈q的充分不必要條件，故選A答案1A2A規(guī)律方法充要條件的三種判斷方法1定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷2集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷3等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷這個方法特別適合以否定形式給出的問題【訓(xùn)練2】12019·天津卷設(shè)∈R，則“2－5<0”是“|－1|<1”的解析1由“2－5<0”可得“0<<5”；由“|－1|<1”可得“0<<2”由0<<5?/0<<2；但0<<2?0<<5，所以“2－5<0”是“|－1|<1”的必要不充分條件答案1B2充要考點三充分、必要條件的應(yīng)用 典例遷移【例3】經(jīng)典母題已知≤≤1＋m}若∈的取值范圍解由2－8－20≤0，得－2≤≤10，∴P＝{|－2≤≤10}∵∈P是∈S的必要條件，則S?P又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0綜上，m的取值范圍是【遷移1】本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使∈P是∈S的充要條件？并說明理由解由例題知P＝{|－2≤≤10}若∈P是∈S的充要條件，則P＝S，這樣的m不存在【遷移2】設(shè)≤≤1＋m}，且綈的取值范圍解由例題知P＝{|－2≤≤10}∵綈p是綈q的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件∴p?q且q?p，即PS∴m≥9，又因為S為非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[9，＋∞規(guī)律方法充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上解題時需注意：1把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解2要注意區(qū)間端點值的檢