直線的方程（教師版）

2.2直線的方程目錄TOC\o"13"\h\u?知識(shí)清單?1.直線的點(diǎn)斜式方程 32.直線的斜截式方程 43.直線的兩點(diǎn)式方程 44.直線的截距式方程 55.直線方程的一般式 66.直線方程幾種表達(dá)方式的選取 67.直線方程的綜合應(yīng)用 7?典型例題?母題1：點(diǎn)斜式方程 811：點(diǎn)斜式方程的形式 812：求直線方程 8母題2：斜截式方程 1021：求直線方程 1022：斜截式方程的圖象應(yīng)用 1223：根據(jù)斜截式方程求參數(shù)取值 13母題3：兩點(diǎn)式方程 1531：求兩點(diǎn)式直線方程 1532：根據(jù)兩點(diǎn)式求參數(shù)取值 1633：光線折射問題 17母題4：截距式方程 1841：截距式方程的概念理解 1842：求截距式直線方程 19母題5：一般式方程 2451：直線的一般式方程 2452：五種方程形式的互化 25母題6：直線過定點(diǎn)問題 28母題7：兩條直線的位置關(guān)系 29母題8：由直線平行與垂直求直線 31母題9：由直線的平行與垂直求參數(shù) 32母題10：直線方程的綜合問題 342.2直線的方程?知識(shí)清單?直線的點(diǎn)斜式方程（1）定義：如圖，直線過定點(diǎn)，斜率為，把直線叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式。（2）兩種特殊的直線：①垂直于軸的直線：如圖，過定點(diǎn)，傾斜角為90°，斜率不存在，沒有點(diǎn)斜式，其方程為或。②平行于軸（或與軸重合）的直線：如圖，過定點(diǎn)，傾斜角為0°，斜率為0，其點(diǎn)斜式方程為。（3）求直線點(diǎn)斜式方程的一般步驟：①求直線點(diǎn)斜式的步驟為：定點(diǎn)定斜率寫出方程②點(diǎn)斜式方程可表示過點(diǎn)的所有直線，但除外。知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2．當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；3．當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：．4．表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線．直線的斜截式方程（1）定義：如圖，直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，則直線叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。（2）斜截式的幾種特例表示過原點(diǎn)的直線，表示與軸平行的直線，表示軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2．斜截式方程可由過點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；3．當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4．斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5．斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．直線的兩點(diǎn)式方程（1）定義：如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，（其中，），則方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式。（2）兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用用兩點(diǎn)式返程寫出直線的方程時(shí)，要特別注意橫坐標(biāo)相等或者縱坐標(biāo)相等時(shí)，不能用兩點(diǎn)式。已知直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，也可先求出斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線方程。知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2．當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．3．直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4．在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．直線的截距式方程（1）定義：如圖，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是，（其中，），則方程，叫做直線的截距式方程，簡稱截距式。（2）截距的概念①橫截距：直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在直線方程中，令，解出的值即可；②縱截距：直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在直線方程中，令，解出的值即可。（3）截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)①問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可；②選用截距式方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直；③要注意截距式方程的逆向應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．截距式的條件是，即截距式方程只能表示在軸、軸上的截距都存在且不為0的直線，不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2．求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．直線方程的一般式（1）定義：關(guān)于、的二元一次方程（其中、不同時(shí)為0）叫做直線的一般方程。（2）適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示。（3）系數(shù)的幾何意義：當(dāng)時(shí)，（斜率），（軸上的截距）當(dāng)時(shí)，則（軸上的截距），此時(shí)斜率不存在。直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識(shí)點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．直線方程的綜合應(yīng)用（1）已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．（2）根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．（3）對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．①從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．②從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，（4）直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．?典型例題?母題1：點(diǎn)斜式方程11：點(diǎn)斜式方程的形式直線的點(diǎn)斜式方程y?yA．任何一條直線

B．不過原點(diǎn)的直線C．不與y軸垂直的直線

D．不與x軸垂直的直線【答案】D直線y＝k（x﹣1）（k∈R）是（）A．過點(diǎn)（﹣1，0）的一切直線 B．過點(diǎn)（1，0）的一切直線 C．過點(diǎn)（1，0）且除直線x＝1外的一切直線 D．過點(diǎn)（1，0）且除x軸外的一切直線【解答】解：方程y＝k（x﹣1）（k∈R）表示經(jīng)過點(diǎn)（1，0）且不垂直于x軸的一切直線．故選：C．直線l的點(diǎn)斜式方程為，則（）A．直線l過點(diǎn)，斜率為B．直線l過點(diǎn)，斜率為C．直線l過點(diǎn)，斜率為2D．直線l過點(diǎn)，斜率為2解析：∵直線l的方程為，∴直線l的斜率為2，且經(jīng)過定點(diǎn)．故選：C直線的傾斜角和所過的定點(diǎn)分別為（）A．60°，（1，2）B．120°，（－l，2） C．60°，（－1，2）D．120°，（－1，－2）【答案】B【解析】由直線的點(diǎn)斜式方程可知：該直線的斜率為，其傾斜角為120°，過定點(diǎn)（－1，2）．12：求直線方程過點(diǎn)A2,1且斜率為2A．2x?y+3=0 B．2x?y?3=0C．x?2y+1=0 D．x?2y=0解析：由題意可知所求直線的方程為y?1=2x?2，即2x?y?3=0經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)樗笾本€的傾斜角為45°，所以所求直線的斜率，所以直線方程為．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.求經(jīng)過點(diǎn)D(－1,1)，傾斜角為0°的直線方程解析：直線斜率為0，∴直線方程為y－1＝0×(x＋1)．求過點(diǎn)C(－2，3)，與x軸垂直的直線方程解析：由于直線與x軸垂直，所以斜率不存在，又過點(diǎn)(－2，3)，故方程為x＝－2.與直線平行，且過點(diǎn)（－4，3）的直線的點(diǎn)斜式方程是________．【答案】【解析】所求直線的斜率為，又所求直線過點(diǎn)（－4，3），由直線方程的點(diǎn)斜式可得．過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的倍。解析：設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－×3＝－.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.求直線l的傾斜角是直線y＝x－3的傾斜角的兩倍，且經(jīng)過點(diǎn)(2，4)的直線方程解析：直線y＝x－3的斜率為1，其傾斜角等于45°，于是直線l的傾斜角等于90°，其斜率不存在，又因?yàn)樗^點(diǎn)(2，4)，故l的方程為x＝2.直線過點(diǎn)P（2，－3），且與過點(diǎn)M（－1，2），N（5，2）的直線垂直，求直線的方程．【答案】x=2【解析】直線MN的斜率，所以該直線平行于x軸．又直線垂直于直線MN，因此直線的傾斜角為90°，又直線過點(diǎn)P（2，－3），所以直線的方程為x－2=0，即x=2．母題2：斜截式方程21：求直線方程根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：（1）斜率為2，在y軸上的截距是5；解析：由直線方程的斜截式可知，所示直線方程為y＝2x＋5.（2）寫出斜率為－1，在y軸上截距為－2的直線方程的斜截式；解析：斜率k＝－1，在y軸上的截距b＝－2，所求直線方程為y＝－x－2.（3）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；解析：∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.（4）傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.解析：∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)傾斜角求出斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，化為斜截式可得答案.【詳解】斜率，點(diǎn)斜式方程為，斜截式方程為.故選：A已知直線方程為y=2x－1，求直線的斜率、在y軸上的截距以及與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】k=－2，b=1，（0，1）【解析】直線方程2x+y－1=0，可化為y=－2x+1，由直線方程的斜截式知，直線的斜率k=－2，在y軸上的截距b=1，直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）。直線l：的斜率和在x軸上的截距分別為（

）A．，3 B．， C．，3 D．，【答案】B【分析】由可得，據(jù)此可得答案.【詳解】，則直線斜率為，又令，則，故直線在x軸上的截距分別為.故選：B直線的傾斜角及在y軸上的截距分別是（

）A．，2 B．， C．， D．，2【答案】C【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.【詳解】直線化成斜截式，可知直線的斜率，故傾斜角為，直線在y軸上的截距為，故選：C22：斜截式方程的圖象應(yīng)用（1、3象限斜率為正，2、4象限斜率為負(fù)；y軸正半軸b為正，y軸負(fù)半軸b為負(fù)）如圖中直線的方程是，則下列結(jié)論中成立的是（）A．且B．且C．且D．且解析：由圖可知，直線的斜率為為負(fù)數(shù)，該直線在軸上的截距為正數(shù)，即且.故選：B.直線y＝kx＋b通過第一、三、四象限，則有()A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0解析：∵直線經(jīng)過一、三、四象限，∴圖形如圖所示，由圖知，k＞0，b直線l不經(jīng)過第三象限，l的斜率為k，在y軸上的截距為b(b≠0)，則有()A．k·b>0B．k·b<0C．k·b≥0 D．k·b≤0解析：由題意知k≤0，b>0，∴k·b≤0.故選D在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y＝ax與y＝x＋a正確的是()解析：選C.法一：(1)當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為銳角，直線y＝x＋a在y軸上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為0°，所以A，B，C，D都不成立；(3)當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為鈍角且過原點(diǎn)，直線y＝x＋a的傾斜角為銳角，且在y軸上的截距a<0，C項(xiàng)正確．法二：(排除法)A選項(xiàng)中，直線y＝ax的傾斜角為銳角，所以a>0，而直線y＝x＋a在y軸上的截距a<0，所以不滿足．同理可排除B，D，從而得C正確．直線y＝ax－eq\f(1,a)的圖像可能是()解析：由y＝ax－eq\f(1,a)可知，斜率和截距必須異號(hào)，故B正確．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是()解析：對于A選項(xiàng)，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于B選項(xiàng)，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；對于C選項(xiàng)，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；對于D選項(xiàng)，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故選D.23：根據(jù)斜截式方程求參數(shù)取值直線y＝kx＋2(k∈R)不過第三象限，則斜率k的取值范圍是________．解析：如圖，直線y＝kx＋2過定點(diǎn)(0，2)，若直線不過第三象限，則k≤0.答案：(－∞，0]已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍．解析：由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2).所以，k的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))k≥eq\f(3,2)}.方程y＝a|x|和y＝x+a（a＞0）所確定的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．0＜a＜1 C．? D．0＜a＜1或a＞1【解答】解：根據(jù)題意畫出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：∵方程y＝a|x|和y＝x+a（a＞0）所確定的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且a＞0，∴根據(jù)圖形可得a＞1時(shí)，兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足題意的a的范圍為a＞1．故選：A．母題3：兩點(diǎn)式方程31：求兩點(diǎn)式直線方程過(1,1),(2,?1)兩點(diǎn)的直線方程為（

）A．2x?y?1=0 B．x?2y+3=0C．2x+y?3=0 D．x+2y?3=0解析：∵直線過兩點(diǎn)(1,1)和(2,?1)，∴直線的兩點(diǎn)式方程為y?(?1)1?(?1)＝x?21?2，整理得過兩點(diǎn)(－2,1)和(1,4)的直線方程為解析：由兩點(diǎn)式方程可得，eq\f(y－1,4－1)＝eq\f(x＋2,1＋2)，即y＝x＋3.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（6，－7），B（－2，3），C（2，1），求AC邊上的中線所在的直線方程．【答案】x+y－1=0【解析】設(shè)AC的中點(diǎn)為M（x，y），則，，即M（4，－3）．由于直線BM過B（－2，3），M（4，－3）兩點(diǎn)，∴直線方程的兩點(diǎn)式為，化簡，得x+y－1=0．∴AC邊上的中線所在的直線方程為x+y－1=0．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分別求BC邊上的高和中線所在的直線方程．【答案】3x－5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC邊上的高與邊BC垂直，由此求得BC邊上的高所在直線的斜率，由點(diǎn)斜式得方程；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式得BC邊上的中線所在的直線方程．設(shè)BC邊上的高為AD，則BC⊥AD，∴，∴，解得，∴BC邊上的高所在的直線方程是，即3x－5y+15=0．設(shè)BC的中點(diǎn)是M，則，∴BC邊上的中線所在直線方程是，即x+13y+5=0．∴BC邊上的高所在的直線方程是3x－5y+15=0，BC邊上的中線所在的直線方程為x+13y+5=0．32：根據(jù)兩點(diǎn)式求參數(shù)取值已知直線l經(jīng)過?2,?2、2,4兩點(diǎn)，點(diǎn)1348,m在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024解析：由題意知l不與x,y軸平行，故由直線l的兩點(diǎn)式方程可得m+21348+2=m?4若點(diǎn)P（3，m）在過點(diǎn)A（2，―1），B（―3，4）的直線上，則m的值為________【答案】（2）―2【解析】（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)A（2，―1），B（―3，4），所以直線方程是：，即，把點(diǎn)P（3，m）代入得，。已知兩點(diǎn)，.（1）求直線AB的方程；（2）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)在直線AB上，求a的值.【答案】（1）；（2）－8.【解析】（1）由題意可得直線的斜率，∴直線的方程為：，即直線的方程為：；（2）由(1)可得：，∴，∴實(shí)數(shù)的值為．33：光線折射問題一束光線從A（1，0）點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)B（0，2）后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A．x+2y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．x﹣2y+2＝0 D．2x+y﹣2＝0【解答】解：由反射定律可得點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′（﹣1，0）在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)B（0，2）也在反射光線所在的直線上，用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為＝1，即2x﹣y+2＝0，故選：B．一條光線從點(diǎn)A（3，2）發(fā)出，經(jīng)x軸反射，通過點(diǎn)B（﹣1，6），則反射光線所在直線的方程為．【解答】解：∵一條光線從點(diǎn)A（3，2）發(fā)出，經(jīng)x軸反射，通過點(diǎn)B（﹣1，6），則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（3，﹣2）在反射光線所在直線上，則由兩點(diǎn)式求得反射光線（BA′）所在直線的方程為＝，即2x+y﹣4＝0，故答案為：2x+y﹣4＝0．一條光線從點(diǎn)P（6，4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2，0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的方程．【解答】解：一條光線從點(diǎn)P（6，4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2，0），可得入射光線所在直線方程為，化為x﹣y﹣2＝0．由于點(diǎn)P（6，4）關(guān)于直線x＝2對稱點(diǎn)為P′（﹣2，4），可得反射光線所在直線方程為，化為x+y﹣2＝0．母題4：截距式方程41：截距式方程的概念理解下列四個(gè)命題中真命題是()A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示；B.經(jīng)過任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)＝(xx1)(y2y1)表示；C.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示；D.經(jīng)過定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx+b表示.直線過第一、三、四象限，則（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0【解答】解：根據(jù)題意，直線+＝1與x軸交點(diǎn)為（a，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），若直線過第一、三、四象限，則有a＞0，b＜0，故選：B．直線：如圖所示，則，的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用直線在坐標(biāo)軸上的截距的正負(fù)判斷.【詳解】解：由，令，得，令，得，則，故選：B如下圖，若A（2，2）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三點(diǎn)共線，則的值等于________．【答案】【解析】由題設(shè)可知，設(shè)直線的截距式方程易于解題．設(shè)直線BC的方程為．∵A（2，2）在直線BC上，∴，即．兩條直線與的圖像可能是如圖中的（）A． B． C． D．【解答】解：由于兩條直線與的斜率分別為、，故這兩條直線的斜率同號(hào)，而選項(xiàng)A、C、D中的兩條直線的斜率異號(hào)，只有B中的兩條直線的斜率同號(hào)，故選：B．42：求截距式直線方程例1：已知截距求方程已知直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2)，(3,0)，則直線l的方程為________。解析：由直線方程的截距式，得eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1.根據(jù)條件求下列各題中直線的截距式方程：（1）在x軸上的截距為－3，在y軸上的截距為2；（2）在x軸上的截距為1，在y軸上的截距為－4?！敬鸢浮浚?）（2）例2：已知截距關(guān)系求方程已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．則直線l的方程為解析：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，所求直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)P(2,3)，所以eq\f(2＋3,a)＝1，即a＝5.直線方程為eq\f(x,5)＋eq\f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0.直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(5,?2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為.【答案】【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)，代入A（5，2）解得，即當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)，代入A（5，2）解得，即綜上，直線方程為或已知直線過點(diǎn)P（2，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，求直線的方程?！敬鸢浮縳+y－5=0或x－y+1=0或3x－2y=0【解析】當(dāng)截距都為0時(shí)，設(shè)直線為，把點(diǎn)P（2，3）代入得：3x－2y=0當(dāng)截距都不為0時(shí)，設(shè)直線為，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，得，所以或，把點(diǎn)P（2，3）代入得x+y－5=0或x－y+1=0。過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程是解析：當(dāng)截距都為零時(shí)滿足題意要求，直線為y＝－eq\f(1,3)x，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(－1,b)＝1，,|a|＝|b|，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4，))即直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1，∴滿足條件的直線為y＝－eq\f(1,3)x、eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1、eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1已知直線經(jīng)過點(diǎn)，其縱截距為正，且縱截距比橫截距大1，則直線的方程為__________.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，解出，進(jìn)而即可求解.【詳解】由題意知，直線的斜率存在，由題意設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，可得，解得或（舍去），所以直線的方程為，即.故答案為：.過點(diǎn)(0,3)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于5的直線方程是解析：設(shè)方程的截距式為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,b)＝1，,a＋b＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))所以直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1.過點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為解析：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－eq\f(5,3)x；②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a.代入點(diǎn)(－3,5)，得a＝－8.即直線方程為x－y＋8＝0.答案：y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0若直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，那么直線的方程為解析：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線在x軸、y軸上的截距都是0，符合題意，設(shè)其方程為y＝kx，又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，所以4＝k，即方程為y＝4x；當(dāng)直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，所以eq\f(1,2a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝eq\f(9,2)，此時(shí)直線方程為eq\f(x,9)＋eq\f(y,\f(9,2))＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直線方程為y＝4x或x＋2y－9＝0.例3：面積問題設(shè)直線在，軸上的截距分別為，，且滿足，則直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為______.【答案】3【分析】所圍成的圖形為三角形，則所求面積為.【詳解】直線在，軸上的截距分別為，，則直線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形為三角形，則所求面積為.故答案為：3.直線l過定點(diǎn)A(－2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，則直線l的方程為____________．解析：解法一：設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|a||b|＝4，,\f(－2,a)＋\f(3,b)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝－6，))所以直線l的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,－\f(4,3))＋eq\f(y,－6)＝1，即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.解法二：由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則直線l的方程為y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)－2，則S＝eq\f(1,2)|2k＋3|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,k)－2))＝4，所以(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝±8.若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝8，即4k2＋4k＋9＝0，無解．若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝－8，即4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－eq\f(9,2)或－eq\f(1,2).所以直線l的方程為y－3＝－eq\f(9,2)(x＋2)或y－3＝－eq\f(1,2)(x＋2)．即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.已知直線l過點(diǎn)P(1，3)，且與x軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則直線l的方程是()【解析】設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))故直線l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程．【答案】或.【分析】由題意可得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等且不為0，設(shè)直線方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，∴直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0，若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為，則直線方程為，即.，即，，∴直線方程為.若在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，故直線方程為，即.∵，即，，直線方程為.綜上所述，直線的方程為或.已知直線的傾斜角的正弦值為，且它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程．解析：設(shè)直線的方程為，傾斜角為，由，得．∴，解得．故所求的直線方程為或母題5：一般式方程51：直線的一般式方程根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；(2)斜率為4，在y軸上的截距為－2；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(4)在x軸，y軸上的截距分別為－3，－1；(5)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸.解(1)由點(diǎn)斜式，得直線方程為y－3＝eq\r(3)(x－5)，即eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0.(2)由斜截式，得直線方程為y＝4x－2，即4x－y－2＝0.(3)由兩點(diǎn)式，得直線方程為eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0.(4)由截距式，得直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0.(5)y－2＝0.根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式.①斜率是－eq\f(1,2)，且經(jīng)過點(diǎn)A(8，－6)的直線方程為________________；②在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)和－3的直線方程為________________；③經(jīng)過點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4)的直線方程為________________.答案①x＋2y＋4＝0②2x－y－3＝0③x＋y－1＝052：五種方程形式的互化在直角坐標(biāo)系中，直線x＋eq\r(3)y－3＝0的傾斜角是()A.30°B.60°C.150°D.120°答案C解析直線斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，所以傾斜角為150°，故選C.已知直線l過點(diǎn)(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為()A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0答案D解析由題意可設(shè)直線l0，l的傾斜角分別為α，2α，因?yàn)橹本€l0：x－2y－2＝0的斜率為，則tanα＝，所以直線l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.直線Ax+By+C=0，當(dāng)A＞0，B＜0，C＞0時(shí)，必經(jīng)過的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限【答案】A【解析】令x=0，得；令y=0，得，如右圖，知直線Ax+By+C=0經(jīng)過第一、二、三象限．如果A·C<0且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是()答案B解析當(dāng)a>0，b>0時(shí)，－a<0，－b<0.選項(xiàng)B符合．若ac＜0，bc＜0，則直線ax+by+c＝0的圖形只能是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意知，函數(shù)的解析式即y＝﹣x﹣，∵ac＜0，bc＜0，∴a?b＞0，∴﹣＜0，﹣＞0，故直線的斜率小于0，在y軸上的截距大于0，故選：C．直線方程為，若直線不過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】解析：不過第二象限,，解得，故答案為：已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．解析：直線OA的斜率k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)l不經(jīng)過第二象限，需它在y軸上的截距不大于零，即令x＝0時(shí)，y＝－eq\f(a－3,5)≤0，則a≥3，即a的取值范圍是[3，＋∞)．若直線與直線平行，且在軸上的截距比在軸上的截距大，求直線的方程.【答案】【分析】由平行可設(shè)直線方程為，分和兩種情況，并結(jié)合題意列等式即可【詳解】直線與直線平行，則設(shè)其方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為，故可得在軸上的截距和在軸上的截距都是為，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程化為截距式為，因?yàn)橹本€在軸上的截距比在軸上的截距大，所以，解得，直線的方程為.已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()答案：－2或1已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的傾斜角的2倍，則a，b的值分別為()A.－eq\r(3)，－1B.eq\r(3)，－1C.－eq\r(3)，1D.eq\r(3)，1答案A解析原方程化為eq\f(x,\f(1,a))＋eq\f(y,\f(1,b))＝1，∴eq\f(1,b)＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)＝a，且eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的傾斜角為60°，∴k＝tan120°＝－eq\r(3)，∴a＝－eq\r(3)，故選A.若直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角是45°，則實(shí)數(shù)m的值是________.答案3解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________．解析：若方程不能表示直線，則m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3時(shí)，方程表示一條直線．如果ax＋by＋c＝0表示的直線是平行于y軸的直線，則系數(shù)a，b，c滿足條件()A．bc＝0 B．a(chǎn)≠0C．bc＝0且a≠0 D．a(chǎn)≠0且b＝0解析：選D.y軸方程表示為x＝x0，所以a，b，c滿足條件為a≠0且b＝0.母題6：直線過定點(diǎn)問題直線kx?y+1?3k=0，當(dāng)k變化時(shí)，所有直線都恒過點(diǎn)()A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)【答案】C【解析】直線方程可化為y－1＝k(x－3)，∴無論k為何值時(shí)，都過定點(diǎn)(3,1)．無論a、b(ab≠0)取何實(shí)數(shù)，直線ax＋by＋2a－3b＝0都過一定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】(－2,3)【解析】由ax＋by＋2a－3b＝0得a(x＋2)＋b(y－3)＝0，∴直線過定點(diǎn)P(－2,3)．直線2m?1x?m+3【答案】(2,3)【解析】原方程可化為m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0.∵對任意m∈R，方程恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))∴直線恒過定點(diǎn)(2,3)．不論為何實(shí)數(shù)，直線恒通過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原方程可化為，由直線恒過定點(diǎn)可知，，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故選：B已知點(diǎn)P(m，n)在直線3x＋y＋2＝0上，直線y＝mx＋n恒過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為________．解析：由點(diǎn)P(m，n)在直線3x＋y＋2＝0上得3m＋nn＝－3m－2.代入直線方程得y＝mx－3m－2，即y＋2＝m(x－3)．故直線恒過點(diǎn)(3，－2)．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)。(1)求證：不論a取何值，直線l必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)；(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(3)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)直線l的方程可變形為(a＋1)x＋y＋3－(ay＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不論a取何值，直線l恒過定點(diǎn)(1，－3)．(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距都為零，當(dāng)然相等．則(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即3x＋y＝0；若a≠2，由題設(shè)l在兩軸上的截距相等，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.∴l(xiāng)的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(3)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴欲使l不經(jīng)過第二象限，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1>0,a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0))∴a≤－1.綜上可知a的取值范圍是a≤－1.母題7：兩條直線的位置關(guān)系（多選）已知直線（）A．直線與直線平行B．直線與直線平行C．直線與直線垂直D．直線與直線垂直【答案】AD【解析】對于A，與斜率相同，但截距不同，與平行，A正確；對于B，，與不平行，B錯(cuò)誤；對于C，，與不垂直，C錯(cuò)誤；對于D，，與垂直，D正確.故選：AD.直線：和直線：（）的位置關(guān)系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，直線：與直線：相互垂直；當(dāng)時(shí)，直線方程可化為，直線方程可化為因?yàn)?，所以直線與直線相互垂直故選：B直線：與直線：（實(shí)數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（）A．與相交B．與平行C．與重合D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)【答案】B【解析】由：，可得，因?yàn)榍遥耘c平行，故選：B下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對是(

)A．與 B．與C．與 D．與解析：A：a＝0時(shí)，兩直線分別為：，此時(shí)它們垂直；當(dāng)a≠0時(shí)，它們斜率之積為，則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；B：兩直線斜率之積為：，故兩直線垂直；C：兩直線斜率之積為：，故兩直線不垂直；D：兩直線斜率之積為：，故兩條直線不垂直；故選：B.母題8：由直線平行與垂直求直線與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得．故選：C過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所求直線與直線平行，所以，所求直線為，整理得．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【解析】直線的斜率為，直線與之垂直，則，又過點(diǎn)，所以直線方程為，即．母題9：由直線的平行與垂直求參數(shù)若直線和直線平行，則的值為（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】直線和直線平行，可得，得.故選：A.直線與直線垂直，則的值為（）A．B．1C．D．9【答案】B【解析】由題意，得，解得.故選：B.已知l1：x+my+6=0，l2：(m?2)x+3y+2m=0，分別求m的值，使得l1【解析】(1)若l1和l2垂直，方法1把直線化為斜截式，由斜率k1當(dāng)m=0時(shí)，l1:x=?6，當(dāng)m≠0時(shí)，k1=?1m，k2方法2從一般式來看，可得1?(m?2)+3?m=0，∴m=1(2)若l1和l2平行，則∴m2?2m?3=0(3)若l1和l2重合，則m?21(4)若l1和l2相交，則由(2)(3)可知m≠3且已知直線l1：x+2ay?1=0，與l2：【答案】0或14【解析】當(dāng)a=0時(shí)，兩直線的斜率都不存在，(注意a是否為0，直線的斜率不一定存在的.)它們的方程分別是x=1，x=－1，顯然兩直線是平行的．當(dāng)a≠0時(shí)，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，由2a?1a=?a2a≠?1?1求滿足下列條件的m的值：（1）直線l1：y＝﹣x+1與直線l2：y＝（m2﹣2）x+2m平行；（2）直線l1：y＝﹣2x+3與直線l2：y＝（2m﹣1）x﹣5垂直．【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴兩直線斜率相等．∴m2﹣2＝﹣1．∴m＝±1．（2）∵l1⊥l2，∴2m﹣1＝．∴m＝．直線，，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：①充分性：當(dāng)時(shí)，，，所以與斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：，，當(dāng)時(shí)，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去，當(dāng)時(shí)，兩直線斜率相等且截距不相等，符合題意，所以必要.所以“”是“”的充要條件故選：C.“”是“直線與直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要【分析】由可得直線與直線平行，即充分條件成立；由直線與直線平行，求得的值為，即必要條件成立；解