最優(yōu)扁擔(dān)及最佳使用方式

關(guān)于“最優(yōu)扁擔(dān)及最正確使用方式〞的探究摘要“扁擔(dān)〞是一種簡單實用且省力的運(yùn)輸工具，但其本身的固有屬性，使用者的行進(jìn)方式等都將對省力的程度造成影響。本文即針對扁擔(dān)的參數(shù)及使用者的舒適程度等建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而討論分別在平地行走與上樓時，扁擔(dān)行進(jìn)的最正確方式。文中首先根據(jù)簡化的扁擔(dān)示意圖進(jìn)展受力分析，以建立扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型為根底，進(jìn)而考慮“扁擔(dān)—重物系統(tǒng)的固有頻率〞、“挑擔(dān)者的步頻、步伐〞“扁擔(dān)設(shè)計〞等因素對挑擔(dān)者肩部產(chǎn)生的壓強(qiáng)及舒適程度的影響，得出當(dāng)挑夫的行進(jìn)頻率與扁擔(dān)的固有頻率一致、扁擔(dān)實現(xiàn)等強(qiáng)度梁、當(dāng)挑夫的步伐頻率為系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍時，挑夫可以走得既輕快又省力等結(jié)論。其次，通過對數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步分析和求解，分別得出了在平地上與上樓時扁擔(dān)的最優(yōu)參數(shù)及挑夫的最正確行進(jìn)方式。當(dāng)行走在平地上時，當(dāng)扁擔(dān)的固有頻率在18—23Hz之間，扁擔(dān)的厚度按照*一公式變化，步伐頻率為“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍，且手臂自然下垂擺動時，舒適度最高。當(dāng)需要上樓梯時，除了保證平地行走扁擔(dān)的最優(yōu)參數(shù)外，還應(yīng)按照與水平面一定的偏角選取路線，才能保證挑夫的輕松與平安。最后，根據(jù)對數(shù)學(xué)模型求最優(yōu)與分析的結(jié)果，我們針對不同的實際情況給出了相應(yīng)的建議或方案，并根據(jù)實際生活情況對模型進(jìn)展檢驗，證明模型具有一定的可行性，有應(yīng)用開展前景。關(guān)鍵詞：固有頻率；等強(qiáng)度梁；受迫振動；行進(jìn)頻率；舒適度一、問題重述“最好的扁擔(dān)和最正確的使用方式〞探究扁擔(dān)是勤勞樸實的中國人民幾千年來留下的一種簡單而實用的工具。扁擔(dān)可以由不同的原材料制作，常見的有桑木、竹子等。根據(jù)制作材料的不同，扁擔(dān)有“硬〞和“彈〞兩種不同類性，在擔(dān)貨物的時候，“硬〞扁擔(dān)不會變形，而“彈〞扁擔(dān)的兩端則會隨著走動而上下抖動。此題目以探究“最好的扁擔(dān)和最正確的使用方式〞為目標(biāo)，建立和求解數(shù)學(xué)模型。為了簡化問題，我們將扁擔(dān)轉(zhuǎn)化為如下理想簡化模型：一根質(zhì)量不計的、寬度固定、長度1.6米的理想硬桿，其與肩部的接觸面積固定為S，長桿的兩個最遠(yuǎn)端分別固定著一樣的彈簧，彈簧的長度和勁度系數(shù)均可由同學(xué)們選定，彈簧下面掛貨物。1.請建立擔(dān)扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型，建立一個衡量擔(dān)扁擔(dān)者舒適程度的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)；2.請嘗試給出一個平地?fù)?dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況，至少包括扁擔(dān)應(yīng)有的參數(shù)和人的理想行進(jìn)方式；3.請嘗試給出上樓梯情況下，擔(dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況，至少包括扁擔(dān)應(yīng)有的參數(shù)和人的行進(jìn)方式。二、問題分析此題是一個探究最好的扁擔(dān)固有參數(shù)以及使用者最正確行進(jìn)方式，能讓使用者最省力、最舒適的現(xiàn)實數(shù)學(xué)問題，即需要根據(jù)題意和生活經(jīng)歷提煉出影響使用者受力的因素，用數(shù)學(xué)模型對其進(jìn)展綜合描述，進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)模型在理論上分析出減小使用者所受的壓強(qiáng)與舒適度的量化關(guān)系。探尋所受壓強(qiáng)最小，舒適度最高時扁擔(dān)的參數(shù)與使用者的行進(jìn)方式，給出實際建議。另外，在挑擔(dān)上樓梯時為防止受傷，挑夫一般不能直上直下，轉(zhuǎn)而采取“之〞字型的路線，但是路線會因此變長，時間也將花費(fèi)更多。因此，面臨不同坡度且不同高度的樓梯時，應(yīng)選取怎樣的上樓方式〔比方：一個周期的路線包括多少級臺階〕，扁擔(dān)是否要做調(diào)整等，都是要重點(diǎn)關(guān)注與解決的問題。三、模型假設(shè)〔1〕一根質(zhì)量不計的、寬度固定、長度1.6米的理想硬桿，其與肩部的接觸面積固定為S，長桿的兩個最遠(yuǎn)端分別固定著一樣的彈簧，彈簧下面掛貨物?！?〕由于掛鉤的摩擦力、空氣阻力等外力影響的因素很小，我們假設(shè)“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的摩擦系數(shù)為0，并且忽略空氣阻力?！?〕由于當(dāng)擔(dān)扁擔(dān)者不同時，即因為人的體質(zhì)差異，如：身高，腿長，臂展，氣力大小和身體強(qiáng)健程度的，會對我們建立的數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生影響，由于這些因素具有隨機(jī)性和不可控性，為方便起見，我們忽略這種體質(zhì)差異，即將人的體質(zhì)參數(shù)設(shè)為定值，不影響結(jié)果。〔4〕挑擔(dān)者右手腕輕松地搭擱在扁擔(dān)上，左手自然擺動，不對“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)施加力的作用。因為根據(jù)生活經(jīng)歷，假設(shè)挑擔(dān)者嘗試縮短或抓緊懸繩，乃至直接拉住重物或非自然地去輔助支撐扁擔(dān)，一段時間后將引起手臂以及肩肘關(guān)節(jié)的疲勞，因此會大大降低挑擔(dān)者的舒適程度。四、符號說明QUOTE:彈簧的固有長度QUOTE:彈簧的勁度系數(shù)〔模擬扁擔(dān)的剛度系數(shù)〕QUOTE:扁擔(dān)兩端分別掛的重物的質(zhì)量P:扁擔(dān)兩端分別掛的重物的重力QUOTE:“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)無阻尼固有角頻率QUOTE:挑擔(dān)者行走的固有角頻率λ:重物的振幅F:重物對挑擔(dān)者的附加作用力t:挑擔(dān)的時間QUOTE:扁擔(dān)橫截面的厚度b:扁擔(dān)的寬度QUOTE:梁上的正應(yīng)力d：肩部的振幅2d：挑擔(dān)者抬腳的高度QUOTE：臺階高度QUOTE：一步的步長c：阻尼比r：粘性阻尼系數(shù)QUOTE：重物對肩膀動反作用力的幅值QUOTE：重物對肩膀動作用力的幅值S：QUOTE/QUOTEQUOTE：人上樓梯時走“之〞字型的行進(jìn)偏角QUOTE：人上樓梯加速階段的加速度QUOTE：人上樓梯減速階段的加速度QUOTE：人上樓梯加速階段所用時間QUOTE：人上樓梯減速階段所用時間QUOTE：樓梯的坡度五、模型的建立與求解5.1扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型理論根底挑著扁擔(dān)靜止不動時，其肩膀所受的總作用力大致為兩端所懸掛重物的重量之和，方向豎直向下。當(dāng)挑擔(dān)者行進(jìn)在平地上時，由于重物的上下振動，挑擔(dān)者所受到的作用力并不總等于重物的總重力，在*些條件下，其受到的作用力會小于懸掛物的總重力，挑擔(dān)者會因此感受到“省力〞的舒適。具體針對可能“省力〞的條件分析如下：〔1〕肩部垂直鼓勵引起的振動由于雙腿支撐時人體重心較低，擺動腿越過直立的支撐腿時重心較高，使得肩部高度產(chǎn)生相應(yīng)的變化，對扁擔(dān)提供垂直方向的震蕩鼓勵[1]。主要的研究對象“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)受迫振動的頻率與挑夫在行進(jìn)過程中重心起伏變化的頻率一致?；趯ΨQ性，扁擔(dān)前后局部可同時繞支撐點(diǎn)即與肩部最初接觸的點(diǎn)振動。〔2〕扁擔(dān)近似為等強(qiáng)度梁扁擔(dān)和肩膀的接觸處位于扁擔(dān)的中部，扁擔(dān)對于其與肩膀的接觸線是左右對稱的。扁擔(dān)一半的力學(xué)模型是材料力學(xué)中的懸臂梁，整根扁擔(dān)相當(dāng)于左右兩根在固支端并在一起的兩根懸臂梁。把扁擔(dān)做成中間厚兩端薄的近似等強(qiáng)度梁的形狀,減輕了扁擔(dān)的重量,但這受益不是很大,因為扁擔(dān)本身重量不大,減輕重量也減輕不了多少。節(jié)省材料對制作扁擔(dān)也沒有實質(zhì)的意義,因為節(jié)省下來的木料成了廢品,還要花費(fèi)額外的勞動。它的實質(zhì)意義在于,在保證強(qiáng)度要求的前提下減小了扁擔(dān)的剛度,增加了其柔度,降低了“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的固有頻率,這使得挑夫的步伐頻率比擬容易大于“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的固有頻率。這樣,在挑行的過程中,挑夫就可以既走得快,又省力。數(shù)學(xué)模型及量化分析〔1〕重物的上下振動對挑擔(dān)者的影響設(shè)扁擔(dān)為E，E的上下運(yùn)動相當(dāng)于人重心的運(yùn)動，扁擔(dān)E驅(qū)動著彈簧和其下懸掛的物體在豎直方向的投影為簡諧振動。當(dāng)E上下振動時，物體M受到向上的彈性力F。扁擔(dān)—重物系統(tǒng)無阻尼固有角頻率為：QUOTE=QUOTE，人行走的角頻率為QUOTE(_^)/(_()^^)??D_Dd__________????__________________D_Dd__________?λ為重物的振幅，當(dāng)QUOTE(^)/(_^^)?〖〗^?____________________由此可知，雙腿支撐時肩部到達(dá)低位，扁擔(dān)對肩部向下作用力到達(dá)最大，雙腿左右擺動時扁擔(dān)對肩部載荷較小。當(dāng)重物質(zhì)量較輕時，扁擔(dān)系統(tǒng)的固有頻率比擬大,挑夫要加快步伐,才能使其行進(jìn)頻率與固有頻率相等,即重物越輕,要求挑夫頻率越快才越省力。但是，當(dāng)過于輕載,挑夫行進(jìn)頻率無法到達(dá)固有頻率時,挑夫只有降低頻率行走,此時省力不太明顯。不過由于扁擔(dān)有一些顫悠,作用在肩上的力按周期性變化,這樣與沒有顫悠的擔(dān)子比擬起來還是覺得省力。如果載重超過額定值,但未到達(dá)扁擔(dān)的最大載重量值時,其固有頻率比擬小,挑夫只能放慢腳步行進(jìn)。在生活中不同長度、不同厚度以及不同材質(zhì)的扁擔(dān)制作,在工藝上結(jié)合一定的額定載重量,將其按等強(qiáng)度梁進(jìn)展設(shè)計,使其額定固有頻率在18—23Hz之間為最正確?！?〕關(guān)于扁擔(dān)設(shè)計成等強(qiáng)度梁與舒適度的關(guān)系假設(shè)一：扁擔(dān)兩端所挑重物質(zhì)量一樣，重力均為P,此時可取一半長度看做懸臂梁，即：QUOTEm；假設(shè)二：扁擔(dān)橫截面為高(厚)h，寬b的矩形截面，且由題意知b固定為常數(shù)；懸臂梁變力分析如圖：梁上*處所受彎矩為：據(jù)先畫出彎矩圖為：設(shè)梁上最大正應(yīng)力為QUOTE，抗彎截面系數(shù)為QUOTE，則可知：QUOTEQUOTE[QUOTE](1)其中QUOTE，且QUOTE隨著*的變化而變化，帶入公式(1)中有：也即：可得：扁擔(dān)厚度按此變化可最大節(jié)省材料，同時實現(xiàn)等強(qiáng)度梁，但*<0.8,即在扁擔(dān)邊緣時存在極端情況，理想情況厚度可為0，但易知實際情況不可能，故存在實際誤差?！?〕挑擔(dān)者步伐對其省力程度的影響當(dāng)抬腳高度為2d,肩部振幅為d。肩膀運(yùn)動為：BQUOTEe=2.718…歐拉常數(shù)；QUOTEQUOTE為虛數(shù)單位，t是時間；重物對肩膀的動反作用為2mBQUOTE,振幅：QUOTE;因為扁擔(dān)是有一定剛度的，兩側(cè)彈簧可使重物在行進(jìn)時做受迫振動時，重物施加給肩膀的力時變化的，有時大，有時小，我們假設(shè)重物上下振動的振幅為H，則H與h存在關(guān)系：QUOTEc=QUOTE假設(shè)重物對肩膀的作用力為QUOTE,則有QUOTE_QUOTE已經(jīng)確定，所以當(dāng)QUOTE_QUOTE會隨之增大，以當(dāng)QUOTE_QUOTE會隨之減小。又知QUOTE是重物作用在肩膀上的力，希望越小越好，因此QUOTED_Dd__________òe??________________圖1.1分析圖1.1我們可以得到以下結(jié)論：〔1〕當(dāng)r較小〔認(rèn)為r的值不大于0.1為較小〕時，隨著S的增大，QUOTE的值在s<0.7時〔0.7只是一個估計值，實際圍與估計值存在誤差〕，QUOTE的值幾乎穩(wěn)定或變化幅值很小，但此時的QUOTE值并不是最小的，因此這不是所需要的圍。QUOTE的值在SQUOTE之間，尤其是當(dāng)S的值在1附近時〔此時QUOTE〕,QUOTE的值會變的非常大，這時最不利于挑夫省力，所以我們要防止挑夫的步伐頻率與扁擔(dān)—重物系統(tǒng)的固有頻率相近或一樣?！?〕當(dāng)r的值在0.1—0.15圍時，其S的變化為QUOTE的影響與〔1〕中的情況相似，但值得注意的是，當(dāng)S=1附近時，QUOTE的值雖然是趨近于最大的，但其值的大小遠(yuǎn)不像〔1〕中的則離譜，盡管如此，我們還是要防止w與QUOTE相近或一樣?！?〕當(dāng)c的值較大〔0.15—0.3〕時，QUOTE在S=1.2處左右取得最大，而在S>1.2時，QUOTE會逐漸降低。〔4〕當(dāng)r>0.3，見下列圖1.2，后面會有緩慢的上升，但是仍然不能認(rèn)為S的值越大越好。因為QUOTE,且QUOTE,所以QUOTE,令λ=·QUOTE,可知當(dāng)λ取最小時，QUOTE取最小，又2mB為常數(shù)，因此僅討論QUOTE·QUOTE即可。圖1.2圖1.3由圖1.3〔代碼段②見附錄〕可得以下結(jié)論：〔1〕λ與c、S的關(guān)系在0~2之間時，其圖形中數(shù)據(jù)變化情況與η和c、S的關(guān)系相差不大。〔2〕但當(dāng)挑夫的步伐頻率不斷增大時，λ的值幾乎成了一個指數(shù)函數(shù)，但是不管是什么函數(shù)，λ的值都是不斷增加的?！?〕不管c的值如何影響，λ總是在S=〔1.2,1.5〕能取得一個最優(yōu)值〔最小值〕。因此，當(dāng)我們僅考慮扁擔(dān)因素所影響的舒適度時〔忽略人的因素，每個人的腳長不同，每一步的適宜步長也不同；人因體質(zhì)差異使步伐頻率受限；以及人的氣力大小等不可控因素〕，可得出如下結(jié)論：當(dāng)挑夫的步伐頻率為扁擔(dān)—重物系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍〔具體數(shù)值因r與k決定〕時。挑夫可以走得既輕快又省力。5.2衡量挑扁擔(dān)者舒適程度的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)及模型分析以5.1的各數(shù)學(xué)模型為根底，挑擔(dān)者的舒適程度取決于其所受到的壓強(qiáng)的大小。以下分析貨物單擺運(yùn)動時對肩膀產(chǎn)生的壓強(qiáng)及舒服度。扁擔(dān)—重物系統(tǒng)無阻尼固有角頻率為0=t設(shè)重物對扁擔(dān)產(chǎn)生向下的力為F2則F2=mgcosθF2=mgcos(t)扁擔(dān)兩端受力情況一樣，故：F3=2F2=2mgcos(t)從伸開腿邁步到腿到達(dá)最大角過程中每一時刻肩膀所受由貨物做前后單擺運(yùn)動引起的壓強(qiáng)大小為：P=F3/S=2mgcos(t)/S可知當(dāng)t=tma*，即=ma*時存在P=Pmin,此時肩膀所受擺動造成的壓強(qiáng)最小，最舒服。5.2在平地時挑夫擔(dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況5.2.1平地行進(jìn)時扁擔(dān)的最正確參數(shù)(1)扁擔(dān)的額定固有頻率重物的上下振動會使得挑夫肩膀上所受到的向下的作用力發(fā)生改變。并且當(dāng)挑夫處于雙腿支撐的狀態(tài)時，其肩部收到的向下的作用力到達(dá)最大。同時，貨物的質(zhì)量和扁擔(dān)的材質(zhì)等對挑夫的步伐頻率也有一定的影響。而通過中(1)的不斷分析研究我們可以得到，應(yīng)使扁擔(dān)的額定固有頻率在18—23Hz之間為最正確。〔2〕扁擔(dān)的厚度設(shè)計扁擔(dān)的薄厚對擔(dān)扁擔(dān)者肩部舒適度有之間的關(guān)系，扁擔(dān)設(shè)計的太薄，不易于挑起重物，且會使擔(dān)扁擔(dān)者肩部感到不適。扁擔(dān)設(shè)計的太厚，則顯得過于笨重，使擔(dān)扁擔(dān)者難以掌控，既浪費(fèi)材料又不能起到提高舒適度的作用。于是我們在的〔2〕中利用將扁擔(dān)理想化成等強(qiáng)度梁的方法研究扁擔(dān)厚度對舒適度及合理設(shè)計扁擔(dān)的影響，最終我們得到：當(dāng)扁擔(dān)的厚度按照變化時，可以最大節(jié)省材料，同時實現(xiàn)等強(qiáng)度梁。值得注意的是，由于*<0.8,即在扁擔(dān)邊緣時存在極端情況，理想情況厚度可為0，但易知實際情況不可能，故存在實際誤差。5.2.2挑夫在平地上的理想行進(jìn)方式〔1〕平地行進(jìn)時的理想步伐頻率挑夫在行進(jìn)過程中由于步伐頻率的不同，會使得扁擔(dān)在上下振動時的振幅產(chǎn)生變化，而振幅的變化則會影響到挑夫肩膀上所受到的動作用力的變化，利用以下幾個公式QUOTE和QUOTE;通過借助數(shù)學(xué)軟件matlab的功能分析了c和s的變化對肩膀所受動作用力的幅度QUOTE的影響，并通過一系列的比照分析，我們可以得到以下結(jié)論：挑夫在平地的行進(jìn)時，最好能以扁擔(dān)—重物系統(tǒng)固有頻率的1.2倍—1.5倍前行，并且盡量要保持勻速前行，這樣，挑夫可以走的既輕快又省力?！?〕平地行進(jìn)時的手臂動作如果挑夫的擔(dān)扁擔(dān)時用雙手在肩部前方緊緊的握住扁擔(dān)，則就必然會對扁擔(dān)施加一個拖力或壓力，然而這種拖力或壓力總是會不自覺的影響扁擔(dān)自由的上下振動，從而可能引起扁擔(dān)的不平衡，甚至?xí)?dǎo)致扁擔(dān)以肩部為支點(diǎn)進(jìn)展轉(zhuǎn)動，而這樣又會造成挑夫的左右晃動，貨物的前后擺動。挑夫和貨物的無規(guī)則晃動亂成一氣，必然不能到達(dá)省力的左右，相反，還需要白白的浪費(fèi)許多力氣在維持扁擔(dān)平衡上，并且還會引起挑夫手臂和關(guān)節(jié)的疲勞，這顯然不是我們想看到的。而通過不斷的分析研究，我們得出了較為正確的手臂動作：擔(dān)扁擔(dān)事，挑夫應(yīng)當(dāng)自然的將一只胳膊輕輕的搭載扁擔(dān)上，而另一只胳膊隨著挑夫的前進(jìn)步伐自由的擺動，這樣，既不會影響到貨物的自由顫抖，也不會造成手臂和關(guān)節(jié)上的疲勞。5.3上樓梯情況下挑擔(dān)的最優(yōu)方案5.3.1上樓進(jìn)時扁擔(dān)的最正確參數(shù)〔1〕扁擔(dān)的額定固有頻率易知此參數(shù)與扁擔(dān)材質(zhì)有關(guān)不發(fā)生變化，同第二問?！?〕扁擔(dān)的厚度設(shè)計我們依然需要把扁擔(dān)設(shè)計成等強(qiáng)度梁，但此時需考慮因人上樓梯時存在兩個加速度即加速時a1和減速時a2，此時兩個階段扁擔(dān)不再受恒定的力，彎矩也同前兩問不一樣。但需要知道的是，我們不能根據(jù)不同階段的受力情況不斷隨時改變扁擔(dān)的厚度，所以關(guān)于扁擔(dān)的厚度參數(shù)仍采取前兩問扁擔(dān)靜止?fàn)顟B(tài)下受力對應(yīng)的厚度變化情況，故仍遵循QUOTE變化5.3.2挑夫在上樓時的理想行進(jìn)方式〔1〕挑夫上樓時的行進(jìn)頻率挑夫上樓時垂直方向雖然存在力的改變，但因為扁擔(dān)固有參數(shù)不變故此時行進(jìn)頻率不發(fā)生改變。〔2〕挑夫上樓時的偏角θ挑夫上樓時抬腳運(yùn)動是一個先加速后減速的過程，這個過程也決定了挑夫上一個臺階在*,y,z方向的位移，據(jù)此求出重力做功和摩擦力做功，通過分析參數(shù)樓梯坡度α和臺階高度h，根據(jù)總功和最小確定此時挑夫按照“之〞型行進(jìn)時行進(jìn)方向與正前方的夾角θ，如下列圖所示：因為抬腳上升時產(chǎn)生加速度a1且m為確定常量故需要使盡可能小盡可能大，這樣扁擔(dān)上下振動的振幅越小，我們應(yīng)盡量減小振幅，所以我們認(rèn)為此階段運(yùn)動情況為先勻加速再勻減速由第〔1〕〔2〕問知人的步行頻率為，則跨一步所需時間為而在時間，人腳抬起的高度必須不得小于QUOTE才能完成上一個臺階的動作，所以有：此時能保證盡可能小盡可能大，經(jīng)過查文獻(xiàn)所得最大約為2m/s，聯(lián)立以上三式并帶入數(shù)據(jù)解得：所以：≥h=1\*GB3①即邁出一步時腳抬起的高度不得小于h，另外做功分三局部：克制重力做功W1==2\*GB3②假設(shè)考慮兩個加速階段，克制摩擦力在水平*方向的做功W2=QUOTEtanθ尚未考慮克制摩擦力在水平y(tǒng)方向的做功就發(fā)現(xiàn)式子過于繁瑣無法求出θ，故我們此時假設(shè)運(yùn)動為勻速，簡化求解?？酥浦亓ψ龉1==3\*GB3③克制摩擦力在水平*方向做的功為W2=QUOTE=4\*GB3④克制摩擦力在水平y(tǒng)方向做的功W3=QUOTE=5\*GB3⑤需要總共W1+W2+W3最小，則化簡得：W=QUOTE=QUOTE令t=QUOTEW=QUOTE令z=QUOTEW=QUOTE=QUOTE可知是一個開口向上的拋物線，當(dāng)z=QUOTE時有最小值，此時即當(dāng)人按此偏角走“之〞型時為最正確行進(jìn)方向。六、模型的評價與改良此題通過建立多個簡單的數(shù)學(xué)模型來分析各影響因素與挑擔(dān)者舒適程度的關(guān)系。其中利用了等價分析法、幾何分析法、多因素分析法、最優(yōu)化等方法，把原本頗具抽象的研究問題量化，使得分析更易于理解與準(zhǔn)確。文中在建立模型時循序漸進(jìn)，先分別考慮各因素對舒適程度的作用，進(jìn)而借助權(quán)重以區(qū)分各因素的影響程度，使模型更切合實際。在分析上樓梯挑擔(dān)時，充分利用所建立的模型，構(gòu)建出最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，通過分析目標(biāo)函數(shù)的取值圍，結(jié)合特殊情況，給出最優(yōu)的策略建議。另外，運(yùn)用計算機(jī)編程，加快了模型的求解速度。但是，為了簡化模型，考慮的因素可能不夠全面，所以此模型的運(yùn)用有一定的局限性與理想化。但是，如果題目給出更多的信息，則可以確定各因素對目標(biāo)的具體權(quán)重，這樣便會使模型更加精準(zhǔn)，也進(jìn)一步提高了模型適用性與實際效果。七、參考文獻(xiàn)[1]義同，嵐.關(guān)于扁擔(dān)的力學(xué).力學(xué)與實踐，2002,24(5)：76-78[2]漆安慎,杜嬋英.力學(xué)根底[M].:高等教育,1982:430.[3]延柱，文良，立群.振動力學(xué).:高等教育,1988.[4]鴻文.材料力學(xué)1高等教育第五版[5]尤明慶.關(guān)于扁擔(dān)挑運(yùn)力學(xué)原理的注記,2011,33八、附錄圖1.1對應(yīng)代碼段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25)>>te*t(1.27,5.32,'c=0.3');>>te*t(1.18,1.63,'c=0.25');>>te*t(1.07,9.93,'c=0.05');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15');>>te*t(0.694,5.32,'c=0.10--');>>te*t(0.956,7.34,'c=0.08');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15---');圖1.2對應(yīng)代碼：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>y30=((1+(2*0.35.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.35.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y40=((1+(2*0.40.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.40.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y45=((1+(2*0.45.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.45.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y50=((1+(2*0.50.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.50.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y55=((1+(2*0.55.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.55.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y60=((1+(2*0.60.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.60.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25,s,y30,s,y40,s,y45,s,y50,s,y55,s,y60)圖1.3對應(yīng)代碼段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s