三角形四心向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)總結(jié)

三角形“四心〞向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．O是的重心;假設(shè)O是的重心，則故;為的重心.2．O是的垂心;假設(shè)O是(非直角三角形)的垂心，則故3．O是的外心(或)假設(shè)O是的外心則故4．O是心的充要條件是ACBCCP引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記的單位向量為，則剛剛O是心的充要條件可以寫成，O是心的充要條件也可以是。假設(shè)O是的心，則ACBCCP故;是的心;向量所在直線過的心(是的角平分線所在直線)；例(一)將平面向量與三角形心結(jié)合考察例1．O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過的〔〕〔A〕外心〔B〕心〔C〕重心〔D〕垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的根本性質(zhì)知AP平分，則在中，AP平分，則知選B.(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考察“垂心定理〞例2．H是△ABC所在平面任一點(diǎn)，點(diǎn)H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.〔反之亦然〔證略〕〕例3.()P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，假設(shè)，則P是△ABC的〔D〕A．外心 B．心 C．重心 D．垂心解析:由.即則所以P為的垂心.應(yīng)選D.(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考察“重心定理〞例4．G是△ABC所在平面一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是△ABC的重心.證明作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.〔反之亦然〔證略〕〕例5．P是△ABC所在平面任一點(diǎn).G是△ABC的重心.證明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.〔反之亦然〔證略〕〕例6假設(shè)為一點(diǎn)，，則是的〔

〕A．心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考察例7假設(shè)為一點(diǎn)，，則是的〔

〕A．心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故是的外心

，選B。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考察例8．向量，，滿足條件++=0，||=||=||=1，求證△P1P2P3是正三角形.〔"數(shù)學(xué)"第一冊(cè)〔下〕，復(fù)習(xí)參考題五B組第6題〕證明由+=-，兩邊平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，從而△P1P2P3是正三角形.反之，假設(shè)點(diǎn)O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面一點(diǎn)，++=0且||=||=||點(diǎn)O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為*軸，建立如下圖的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B〔*1,0〕、C(*2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：由題設(shè)可設(shè),AB(*AB(*1,0)C(*2,y2)y*HQGDEF即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：2例10．假設(shè)O、H分別是△ABC的外心和垂心.求證.證明假設(shè)△ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.∴，.又垂心為H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四邊形AHCD為平行四邊形，∴，故.著名的“歐拉定理〞講的是銳角三角形的“三心〞——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：〔1〕三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線——“歐拉線〞；〔2〕三角形的重心在“歐拉線〞上，且為外——垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理〞的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題.例11．設(shè)O、G、H分別是銳角△ABC的外心、重心、垂心.求證證明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.補(bǔ)充練習(xí)1．A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=(++2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的〔B〕A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)〔非重心〕C.重心D.AB邊的中點(diǎn)B取AB邊的中點(diǎn)M，則，由=(++2)可得3，∴，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，應(yīng)選B.2．在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)Ｏ滿足關(guān)系式：＋＝＋＝＋，則Ｏ為的〔

D

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心2．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面一點(diǎn)P滿足：，則P為的〔

C

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心3．O是平面上一

定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P的軌跡一定通過△ABC的〔

C

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心4．△ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的〔

D

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心5．△ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的〔

B

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心6．在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)軌跡一定通過△ABC的：〔B〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心7.非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC為等邊三角形，選D．8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)m=1〔A〕三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)〔B〕三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)〔C〕三條中線的交點(diǎn) 〔D〕三條高的交點(diǎn)10.如圖1，點(diǎn)G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則。證點(diǎn)G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三點(diǎn)共線〔A不在直線MN上〕，于是存在，使得，有=，得，于是得。例講三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)目標(biāo)：1、三角形重心、心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)3、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問題4、數(shù)形結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)：靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問題教學(xué)難點(diǎn)：針對(duì)性地運(yùn)用向量性質(zhì)來處理三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)過程：1、課前練習(xí)1.1O是△ABC的一點(diǎn)，假設(shè)，則O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心1.2在△ABC中，有命題①；②；③假設(shè)，則△ABC為等腰三角形；④假設(shè)，則△ABC為銳角三角形，上述命題中正確的選項(xiàng)是〔〕A、①②B、①④C、②③D、②③④2、知識(shí)回憶2.1三角形的重心、心、垂心、外心及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2.2向量的有關(guān)性質(zhì)2.3上述兩者間的關(guān)聯(lián)3、利用向量根本概念解與三角形有關(guān)的向量問題例1、△ABC中，有和,試判斷△ABC的形狀。練習(xí)1、△ABC中，，，B是△ABC中的最大角，假設(shè)，試判斷△ABC的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、O是△ABC所在平面的一點(diǎn)，滿足，則O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、P是△ABC所在平面的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心練習(xí)2、O為平面一點(diǎn)，A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心例4、O是△ABC所在平面的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心練習(xí)3、O是△ABC所在平面的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心例5、點(diǎn)G是的重心，過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點(diǎn)，且，求證：6、小結(jié)處理與三角形有關(guān)的向量問題時(shí)，要允分注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，關(guān)注向量等式中的實(shí)數(shù)互化，合理地將向量等式和圖形進(jìn)展轉(zhuǎn)化是處理這類問題的關(guān)鍵。7、作業(yè)1、O是△ABC的一點(diǎn)，假設(shè)，則O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心2、假設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則等于〔〕A、B、0C、1D、3、O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，A、B、C、所對(duì)的過分別是a、b、c假設(shè)，則O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心4、P是△ABC所在平面與A不重合的一點(diǎn)，滿足，則P是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心5、平面上的三個(gè)向量、、滿足，，求證：△ABC為正三角形。6、在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)AM＝2，求三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比擬大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量〞〔必修4第二章〕的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚瑢⑾嚓P(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再?gòu)?fù)原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會(huì)了向量帶來的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感。一、“重心〞的向量風(fēng)采【命題1】是所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè)，則是的重心．如圖⑴.MM圖⑵圖⑵圖⑴【命題2】是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的重心.【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖⑵.二、“垂心〞的向量風(fēng)采【命題3】是所在平面上一點(diǎn)，假設(shè)，則是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可證，．∴是的垂心．如圖⑶.圖⑷圖⑷圖⑶【命題4】是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心．【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，如圖⑷.三、“心〞的向量風(fēng)采【命題5】為所在平面上的一點(diǎn)，且，，．假設(shè)，則是的心．圖⑹圖⑹圖⑸【解析】∵，，則由題意得，∵，∴．∵與分別為和方向上的單位向量，∴與平分線共線，即平分．同理可證：平分，平分