空間中點直線和平面的向量表示(第1課時)(課件)(人教A版2019選修一)高二數(shù)學(xué)同步備課

1.4.1空間中點、線、面的向量表示（第1課時）第1

章空間向量與立體幾何人教A版2019選修第一冊01直線的方向向量02求平面的法向量03確定空間點的位置目錄1．掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行關(guān)系．(直觀想象)3．會用待定系數(shù)法求平面的法向量．(數(shù)學(xué)運算)4．熟練掌握用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(數(shù)學(xué)運算、直觀想象)學(xué)習(xí)目標(biāo)平面向量空間向量代數(shù)運算推廣建系空間向量解決了哪些幾何問題？問題距離問題夾角問題平行、垂直問題知識回顧

我們已經(jīng)把向量由平面推廣到空間，并利用空間向量解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問題.我們發(fā)現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決幾何問題的關(guān)鍵.

我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量向量表示空間中的點、直線和平面.幾何中點線面向量中？？？點、線、面是空間的基本圖形，點、線段、平面圖形是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量研究立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、線、面.探究新知如何用向量表示空間中的一個點？思考1定點OPp

向量的坐標(biāo)起點的坐標(biāo)終點的坐標(biāo)坐標(biāo)點的位置向量如何用向量表示空間中的直線？思考2P幾何中向量中點方向向量aAB

點P在直線l上

充要條件一個點一個方向+空間直線的方向向量

PaAB進(jìn)一步地，如圖，取定空間中的任意一點O，O

①②式稱為空間直線l的向量表示.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.如何用向量表示空間中的平面？思考3（1）三點確定一個平面（2）直線和直線外一點確定一個平面（3）兩條相交直線確定一個平面（4）兩條平行直線確定一個平面（5）一個定點和兩個定方向確定一個平面？ab

BCPAO空間平面的向量表達(dá)式

1.下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.小試牛刀

l如何用向量表示空間中的平面？思考（5）一個定點和兩個定方向確定一個平面？（6）一個定點和一個定方向確定一個平面？AP

a

平面的法向量2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)答案:D

小試牛刀A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)

C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).1.直線的方向向量(1)AB＝(－1，2－y，z－3)，∵直線l的一個方向向量為m＝(2，－1，3)，故設(shè)AB＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.∴y－z＝0.典例1(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為________，直線BC1的一個方向向量為________．CDA1B1C1D1ABxyz(O)(2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)，∴直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)；∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)，∴直線BC1的一個方向向量為(0，1，1)．設(shè)B點坐標(biāo)為(x，y，z)，則AB＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，所以x＝18，y＝17，z＝－17.2.求平面的法向量已知長方體ABCD--A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1

=2，M為AB中點.以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，（1）求平面BCC1B1的一個法向量．（2）求平面MCA1的一個法向量．xyzDABCD1A1B1C1M典例2(1)因為y軸垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一個法向量.解:

總結(jié)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.典例3解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,

,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.練一練解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,3.確定空間中點的位置已知點A(2，4，0)，B(1，3，3)，如圖，以AB的方向為正向，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點，且分別滿足條件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求點P和點Q的坐標(biāo)．xyzlBAPQO設(shè)點P坐標(biāo)為(x，y，z)，則上式換用坐標(biāo)表示，典例3課堂練習(xí)1、判斷下列命題是否正確(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量（）(2)若v是直線l的方向向量，則λv(λ∈R)也是直線l的方向向量。（）(3)在空間直角坐標(biāo)系中，j=(0，0，1)是坐標(biāo)平面Oxy的一個法向量。()?

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請看課本P29：練習(xí)12.設(shè)直線l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則實數(shù)m的值為________

23.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n