現(xiàn)代電路分析第六章

第六章動態(tài)非線性電路的定性、定量方法6-4非線性方程線性化及平衡點類型6-3相空間、軌道、平衡點6-2一階非線性電路6-5李雅普諾夫直接法6-6周期解與極限環(huán)6-7攝動法6-8平均法6-9諧波平衡法用一階非線性微分方程描述的電路稱為一階段非線性電路。一階非線性的方程可用狀態(tài)方程的形式描述§6-2一階非線性電路狀態(tài)變量：電容電壓或電感電流一階非線性電路非動態(tài)元件為非線性動態(tài)元件為非線性兩者均為非線性§6-2一階非線性電路一、只含非線性電阻的一階動態(tài)電路(b)Nv+_LiNv+_(a)Ci非線性一階電路解題思路：將一端口N的驅(qū)動點特性用分段線性化表示，則DP圖中的每段折線都可用戴維寧（諾頓）模型表示，從而每一段折線可形成一個等效的線性一階電路。二、動態(tài)元件為非線性的一階電路§6-2一階非線性電路動態(tài)元件特性的分段線性化電容：電感：v+_(a)Civ+_Civs+_(b)v+_Liv+_LkiIs§6-3相空間、軌道、平衡點一、基本概念1自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)一般形式的狀態(tài)方程為若系統(tǒng)是時不變的，且激勵也不隨t變化，上述方程中的t不以顯含形式出現(xiàn)，即（6-3）（6-4）描述的系統(tǒng)為自治系統(tǒng)描述的系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)§6-3相空間、軌道、平衡點一、基本概念2相空間、軌道、相圖n維狀態(tài)向量組成了n維空間稱為相空間。式6-3或6-4的解xi(t)在空間隨t運動，當(dāng)t為某一確定值時，它是相空間的一個點——相點（對應(yīng)n個坐標(biāo)x1,x2…xn），當(dāng)t變化時，它是相空間的一條有向曲線，稱為軌道。相空間與向量x在空間中的軌道總稱為相圖?！?-3相空間、軌道、平衡點一、基本概念3自治系統(tǒng)具有時不變性右端不顯含t，具有時不變性。軌道取決于初始位置x0，而與初始時刻t0無關(guān)。（6-3）（6-4）相空間中由不同初值決定的式6-4的軌道永不相交或就是同一條軌道。對6-3式可能無數(shù)條軌道通過相空間的同一點?！?-3相空間、軌道、平衡點二、二階自治系統(tǒng)、平衡點二階自治系統(tǒng)只含兩個狀態(tài)變量，因此相空間是二維的，可在一個平面上進(jìn)行分析研究，稱為狀態(tài)平面或相平面。二階自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=X(x,y)y=Y(x,y)或二階自治系統(tǒng)使X(x,y)=0、Y(x,y)=0的坐標(biāo)點稱為平衡點。

由于X(x,y）、Y(x,y)為非線性函數(shù)，可存在多個平衡點§6-3相空間、軌道、平衡點二、二階自治系統(tǒng)、平衡點圖6-8L,C串聯(lián)電路設(shè)線性電感L與非線性電容串聯(lián)的二階非線性電路如圖6-8所示，其中非線性電容的庫伏特性為v=kq+q3。試確定k=1和k=-1時電路的相圖和平衡點。列寫狀態(tài)方程：ΨΨ

OqΨk=1時的相圖k=-1時的相圖k=1和k=-1時的相圖如下圖所示：§6-3相空間、軌道、平衡點§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型非線性方程的線性化方法就是把給定的非線性方程在其平衡點或奇點附近予以線性化，而用所得線性方程確定非線性方程的軌道的形狀。一、非線性方程的線性化對角型若當(dāng)型共軛型§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型A的特征值平衡點類型λ1，λ2為實數(shù)，λ1<0,λ2<0穩(wěn)定結(jié)點λ1，λ2為實數(shù)，λ1>0,λ2<0不穩(wěn)定結(jié)點λ1，λ2為實數(shù)，λ1λ2<0鞍點λ1，λ2為共軛復(fù)數(shù)，Reλ1>0不穩(wěn)定焦點λ1

，λ2為共軛復(fù)數(shù)，Reλ1<0穩(wěn)定焦點λ1，λ2為虛數(shù)中心§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型表6-1平衡點類型與系數(shù)矩陣特征值關(guān)系表§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型(a)(b)圖6-11結(jié)點§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型(a)(b)圖6-12鞍點§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型圖6-13拐結(jié)點(a)(b)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型圖6-14焦點(a)(b)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型二、線性方程解的形式取決于平衡點的類型圖6-15中心線性方程的平衡點非線性方程的平衡點穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點鞍點鞍點不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點中心不確定§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點類型表6-2非線性方程平衡點類型與線性化后平衡點類型關(guān)系表§6-5李雅普諾夫直接法一、李氏穩(wěn)定性的概念如果對于任何給定的ε>0,存在δ(ε)>0,使得對任何起始點x0=x(t0),只要距離||x(t0)-xs||<δ,且對所有的t都有||x(t)-xs||<ε成立,就稱平衡點是按李雅普諾夫意義穩(wěn)定的。如果不存在δ(ε)，稱平衡點是不穩(wěn)定的。若還有成立，則稱平衡點是按李雅普諾夫意義漸進(jìn)穩(wěn)定的?！?-5李雅普諾夫直接法一、李氏穩(wěn)定性的概念圖6-16平衡點的穩(wěn)定性二維系統(tǒng)穩(wěn)定的幾何意義如圖6-16所示?！?-5李雅普諾夫直接法二、李氏穩(wěn)定性判斷定理充分非必要條件1平衡點穩(wěn)定性定理如果原點是平衡點且在其鄰域中，正定函數(shù)W(x)沿著狀態(tài)方程x=f(x)的解軌道的時間導(dǎo)數(shù)是非正的，則平衡點是穩(wěn)定的。如果是正定函數(shù)，則平衡點是漸進(jìn)穩(wěn)定的。§6-5李雅普諾夫直接法二、李氏穩(wěn)定性判斷定理2平衡點不穩(wěn)定定理設(shè)原點是平衡點且在其鄰域中存在一個連續(xù)的標(biāo)量函數(shù)W(x)，當(dāng)x=0時有W(0)=0。若函數(shù)沿著狀態(tài)方程x=f(x)的解軌道的時間導(dǎo)數(shù)是正定函數(shù)，而且在任意接近平衡點處至少有一點x1，使得W(x1)>0，則原點是不穩(wěn)定平衡點?！?-6周期解與極限環(huán)一、基本概念1周期解線性二階自治系統(tǒng)當(dāng)系數(shù)矩陣特征值為純虛數(shù)時，電路中可能建立并維持特定周期的周期震蕩。當(dāng)電路的初始值連續(xù)變化時，在相平面上將形成一系列不同的閉合軌道，它們對應(yīng)電路的周期解。§6-6周期解與極限環(huán)一、基本概念2極限環(huán)對于某些非線性電路，其中會建立起一種穩(wěn)定狀態(tài)，它在相平面上的軌道是閉合曲線，但該閉合軌道不隨電路的初始值變化，與它相鄰的各軌道，或者卷向它，或者卷出。這種孤立的閉合軌道對應(yīng)電路的周期振蕩解，稱為極限環(huán)?！?-6周期解與極限環(huán)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性穩(wěn)定的極限環(huán)對應(yīng)電路中的持續(xù)周期振蕩二、極限環(huán)的性質(zhì)§6-6周期解與極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)對應(yīng)電路中不能持續(xù)存在的周期振蕩不穩(wěn)定的極限環(huán)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)2多個極限環(huán)的穩(wěn)定性當(dāng)有多個極限環(huán)，一般是穩(wěn)定與不穩(wěn)定交替出現(xiàn)：若環(huán)內(nèi)是一不穩(wěn)定平衡點，最內(nèi)部環(huán)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)2多個極限環(huán)的穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點C2:穩(wěn)定C1:不穩(wěn)定C2:不穩(wěn)定C3:不穩(wěn)定C1:穩(wěn)定C3:穩(wěn)定§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)3軟激勵軟激勵的相圖無論初始值怎樣選取，在電路中都會建立起穩(wěn)定的周期振蕩，振蕩現(xiàn)象自發(fā)地從靜止起始而達(dá)到其穩(wěn)定狀態(tài)，把這種振蕩現(xiàn)象稱為軟（自）激勵?！?-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)4硬激勵穩(wěn)定平衡點如果電路是一個晶體管振蕩器，在一定條件下當(dāng)開關(guān)閉和后，必須施加一定大小的脈沖振蕩器才能起振。這種現(xiàn)象稱為硬（自）激勵?！?-6周期解與極限環(huán)三、極限環(huán)存在的必要條件1龐加萊指數(shù)的概念假設(shè)向量場中有一簡單閉曲線C，且