現(xiàn)代電路分析第六章

第六章動(dòng)態(tài)非線性電路的定性、定量方法6-4非線性方程線性化及平衡點(diǎn)類(lèi)型6-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)6-2一階非線性電路6-5李雅普諾夫直接法6-6周期解與極限環(huán)6-7攝動(dòng)法6-8平均法6-9諧波平衡法用一階非線性微分方程描述的電路稱(chēng)為一階段非線性電路。一階非線性的方程可用狀態(tài)方程的形式描述§6-2一階非線性電路狀態(tài)變量：電容電壓或電感電流一階非線性電路非動(dòng)態(tài)元件為非線性動(dòng)態(tài)元件為非線性兩者均為非線性§6-2一階非線性電路一、只含非線性電阻的一階動(dòng)態(tài)電路(b)Nv+_LiNv+_(a)Ci非線性一階電路解題思路：將一端口N的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)特性用分段線性化表示，則DP圖中的每段折線都可用戴維寧（諾頓）模型表示，從而每一段折線可形成一個(gè)等效的線性一階電路。二、動(dòng)態(tài)元件為非線性的一階電路§6-2一階非線性電路動(dòng)態(tài)元件特性的分段線性化電容：電感：v+_(a)Civ+_Civs+_(b)v+_Liv+_LkiIs§6-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念1自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)一般形式的狀態(tài)方程為若系統(tǒng)是時(shí)不變的，且激勵(lì)也不隨t變化，上述方程中的t不以顯含形式出現(xiàn)，即（6-3）（6-4）描述的系統(tǒng)為自治系統(tǒng)描述的系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)§6-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念2相空間、軌道、相圖n維狀態(tài)向量組成了n維空間稱(chēng)為相空間。式6-3或6-4的解xi(t)在空間隨t運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為某一確定值時(shí)，它是相空間的一個(gè)點(diǎn)——相點(diǎn)（對(duì)應(yīng)n個(gè)坐標(biāo)x1,x2…xn），當(dāng)t變化時(shí)，它是相空間的一條有向曲線，稱(chēng)為軌道。相空間與向量x在空間中的軌道總稱(chēng)為相圖?！?-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)一、基本概念3自治系統(tǒng)具有時(shí)不變性右端不顯含t，具有時(shí)不變性。軌道取決于初始位置x0，而與初始時(shí)刻t0無(wú)關(guān)。（6-3）（6-4）相空間中由不同初值決定的式6-4的軌道永不相交或就是同一條軌道。對(duì)6-3式可能無(wú)數(shù)條軌道通過(guò)相空間的同一點(diǎn)?！?-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)二階自治系統(tǒng)只含兩個(gè)狀態(tài)變量，因此相空間是二維的，可在一個(gè)平面上進(jìn)行分析研究，稱(chēng)為狀態(tài)平面或相平面。二階自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=X(x,y)y=Y(x,y)或二階自治系統(tǒng)使X(x,y)=0、Y(x,y)=0的坐標(biāo)點(diǎn)稱(chēng)為平衡點(diǎn)。

由于X(x,y）、Y(x,y)為非線性函數(shù)，可存在多個(gè)平衡點(diǎn)§6-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)二、二階自治系統(tǒng)、平衡點(diǎn)圖6-8L,C串聯(lián)電路設(shè)線性電感L與非線性電容串聯(lián)的二階非線性電路如圖6-8所示，其中非線性電容的庫(kù)伏特性為v=kq+q3。試確定k=1和k=-1時(shí)電路的相圖和平衡點(diǎn)。列寫(xiě)狀態(tài)方程：ΨΨ

OqΨk=1時(shí)的相圖k=-1時(shí)的相圖k=1和k=-1時(shí)的相圖如下圖所示：§6-3相空間、軌道、平衡點(diǎn)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型非線性方程的線性化方法就是把給定的非線性方程在其平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)附近予以線性化，而用所得線性方程確定非線性方程的軌道的形狀。一、非線性方程的線性化對(duì)角型若當(dāng)型共軛型§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型A的特征值平衡點(diǎn)類(lèi)型λ1，λ2為實(shí)數(shù)，λ1<0,λ2<0穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)λ1，λ2為實(shí)數(shù)，λ1>0,λ2<0不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)λ1，λ2為實(shí)數(shù)，λ1λ2<0鞍點(diǎn)λ1，λ2為共軛復(fù)數(shù)，Reλ1>0不穩(wěn)定焦點(diǎn)λ1

，λ2為共軛復(fù)數(shù)，Reλ1<0穩(wěn)定焦點(diǎn)λ1，λ2為虛數(shù)中心§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型表6-1平衡點(diǎn)類(lèi)型與系數(shù)矩陣特征值關(guān)系表§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型(a)(b)圖6-11結(jié)點(diǎn)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型(a)(b)圖6-12鞍點(diǎn)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型圖6-13拐結(jié)點(diǎn)(a)(b)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型圖6-14焦點(diǎn)(a)(b)§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型二、線性方程解的形式取決于平衡點(diǎn)的類(lèi)型圖6-15中心線性方程的平衡點(diǎn)非線性方程的平衡點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不確定§6-4非線性電路方程的線性化及其平衡點(diǎn)類(lèi)型表6-2非線性方程平衡點(diǎn)類(lèi)型與線性化后平衡點(diǎn)類(lèi)型關(guān)系表§6-5李雅普諾夫直接法一、李氏穩(wěn)定性的概念如果對(duì)于任何給定的ε>0,存在δ(ε)>0,使得對(duì)任何起始點(diǎn)x0=x(t0),只要距離||x(t0)-xs||<δ,且對(duì)所有的t都有||x(t)-xs||<ε成立,就稱(chēng)平衡點(diǎn)是按李雅普諾夫意義穩(wěn)定的。如果不存在δ(ε)，稱(chēng)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。若還有成立，則稱(chēng)平衡點(diǎn)是按李雅普諾夫意義漸進(jìn)穩(wěn)定的。§6-5李雅普諾夫直接法一、李氏穩(wěn)定性的概念圖6-16平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性二維系統(tǒng)穩(wěn)定的幾何意義如圖6-16所示?！?-5李雅普諾夫直接法二、李氏穩(wěn)定性判斷定理充分非必要條件1平衡點(diǎn)穩(wěn)定性定理如果原點(diǎn)是平衡點(diǎn)且在其鄰域中，正定函數(shù)W(x)沿著狀態(tài)方程x=f(x)的解軌道的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是非正的，則平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。如果是正定函數(shù)，則平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的?！?-5李雅普諾夫直接法二、李氏穩(wěn)定性判斷定理2平衡點(diǎn)不穩(wěn)定定理設(shè)原點(diǎn)是平衡點(diǎn)且在其鄰域中存在一個(gè)連續(xù)的標(biāo)量函數(shù)W(x)，當(dāng)x=0時(shí)有W(0)=0。若函數(shù)沿著狀態(tài)方程x=f(x)的解軌道的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是正定函數(shù)，而且在任意接近平衡點(diǎn)處至少有一點(diǎn)x1，使得W(x1)>0，則原點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。§6-6周期解與極限環(huán)一、基本概念1周期解線性二階自治系統(tǒng)當(dāng)系數(shù)矩陣特征值為純虛數(shù)時(shí)，電路中可能建立并維持特定周期的周期震蕩。當(dāng)電路的初始值連續(xù)變化時(shí)，在相平面上將形成一系列不同的閉合軌道，它們對(duì)應(yīng)電路的周期解?！?-6周期解與極限環(huán)一、基本概念2極限環(huán)對(duì)于某些非線性電路，其中會(huì)建立起一種穩(wěn)定狀態(tài)，它在相平面上的軌道是閉合曲線，但該閉合軌道不隨電路的初始值變化，與它相鄰的各軌道，或者卷向它，或者卷出。這種孤立的閉合軌道對(duì)應(yīng)電路的周期振蕩解，稱(chēng)為極限環(huán)?！?-6周期解與極限環(huán)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)電路中的持續(xù)周期振蕩二、極限環(huán)的性質(zhì)§6-6周期解與極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)電路中不能持續(xù)存在的周期振蕩不穩(wěn)定的極限環(huán)1單一極限環(huán)的穩(wěn)定性§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)2多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性當(dāng)有多個(gè)極限環(huán)，一般是穩(wěn)定與不穩(wěn)定交替出現(xiàn)：若環(huán)內(nèi)是一不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，最內(nèi)部環(huán)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)2多個(gè)極限環(huán)的穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)C2:穩(wěn)定C1:不穩(wěn)定C2:不穩(wěn)定C3:不穩(wěn)定C1:穩(wěn)定C3:穩(wěn)定§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)3軟激勵(lì)軟激勵(lì)的相圖無(wú)論初始值怎樣選取，在電路中都會(huì)建立起穩(wěn)定的周期振蕩，振蕩現(xiàn)象自發(fā)地從靜止起始而達(dá)到其穩(wěn)定狀態(tài)，把這種振蕩現(xiàn)象稱(chēng)為軟（自）激勵(lì)。§6-6周期解與極限環(huán)二、極限環(huán)的性質(zhì)4硬激勵(lì)穩(wěn)定平衡點(diǎn)如果電路是一個(gè)晶體管振蕩器，在一定條件下當(dāng)開(kāi)關(guān)閉和后，必須施加一定大小的脈沖振蕩器才能起振。這種現(xiàn)象稱(chēng)為硬（自）激勵(lì)?！?-6周期解與極限環(huán)三、極限環(huán)存在的必要條件1龐加萊指數(shù)的概念假設(shè)向量場(chǎng)中有一簡(jiǎn)單閉曲線C，且