2021年山東省青島市市南區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2021年山東省青島市市南區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標(biāo)號為A、

B、C、D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的。每小題選對得分；不選、選錯或選出的標(biāo)

號超過一個的不得分。

1.下列四個數(shù)中，其絕對值小于2的數(shù)是（）

A.-3B.5/5C.-TtD.-

2.2021年5月4日享有“最美麗賽道”的青島馬拉松賽圓滿舉行，近幾年馬拉松越來越受

到運動愛好者的青睞，以下和馬拉松相關(guān)的圖標(biāo)中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖

C.

3.截至5月5日中午，2021年五一檔總票房（含預(yù)售）突破15.27億，觀影總?cè)舜?034.22

萬，總場次225.31萬，打破了五一檔票房、人次、場次三項影視記錄，15.27億用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.15.27X108B.1.527X108C.1.527X109D.15.27X109

4.一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其

中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口

袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，再放回，不斷重復(fù)上述過程.小明共摸了100

次，其中80次摸到白球.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計口袋中的白球大約有（）

A.18個B.15個C.12個D.10個

5.下列用數(shù)軸表示不等式組1,、、的解集中，正確的是（）

l2（2x-l）＞3x-2

0

B?---------X-------------1---------6—?

-403

C?---------o---------?--?

03

D.---------X----------------------o--?

03

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-2,0),B(2,4),C(4,2),以點A為

位似中心，將aABC縮小為△ABCi(同側(cè))，其位似比為2：1,當(dāng)反比例函數(shù)y=K(&

X

#0)的圖象經(jīng)過SG的中點時，人的值為()

?4

31

A.—B.2C.-1D.—

42

如圖，二次函數(shù)yi=af+%x+c的圖象與反比例函數(shù))2=%的圖象交于A([?,3),B(1,

7.

x3

1),C(-1,-1)三點.若則x的取值范圍是()

A.-l<x<—B.-l<x<0^—<x<l

33

C.x<-l或x>lD.-1<_1<0或%>』

3

如圖，已知直線Q/2之間的距離AE為在AABC中，BC=2,AB=明,

將△ABC繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)得到△?!'B'C,若旋轉(zhuǎn)角為60°,A'C交直線

/2于點。，則8的長度為（）

A.與B.醇C.醇瓜-加

ZOD

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.■孫3）2+（2xy）=.

10.如圖，點。是。。上一點，C是弧ACB的中點，若NACB=116°,則/BDC的度數(shù)

11.在我國新冠疫情雖然得到了有效的控制，但防范意識仍不能松懈，小麗去藥店購買口罩

和酒精消毒濕巾，若買150只一次性口罩和10包酒精消毒濕巾，需付75元；若買200

只一次性口罩和12包酒精消毒濕巾，需付96元.設(shè)一只一次性醫(yī)用口罩x元，一包酒

精消毒濕巾y元，根據(jù)題意可列二元一次方程組：.

12.拋物線y=2x2+x+a與直線y=-x+3沒有交點，則a的取值范圍

是.

13.如圖，在扇形AB。中，ZBAD=60°,AC平分NBA。交弧80于點C,點尸為半徑

A8上一動點，若AB=4,則陰影部分周長的最小值為

14.如圖，正方形ABC。中，AZ)=12,點E是對角線BO上一點，連接AE,過點E作EF

LAE,交BC于點F,連接AF,交BD于點、G,將aFFG沿E/翻折，得到△EFM,連

接AM,交EF于點N,若點F是BC邊的中點，則線段AM的長是.

三、作圖題(本題滿分4分)用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡

15.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法但要保留作圖痕跡.

已知：△ABC.

求作：。0,使圓心。在邊AC上，并與△ABC的另外兩邊相切.

四、解答題(本題滿分74分，共有9道小題)

16.(1)化簡：(-^--x-2)；

x-2x~2

(2)計算：3tan3O°-(-2+^|.

17.小明和小剛用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，將A

盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)；如果差為負(fù)數(shù)則小剛勝；若差為

正數(shù)，則小明勝.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

18.《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn)：90分及以上為優(yōu)秀；80分-89

分為良好；60分-79分為及格；60分以下為不及格.為了解學(xué)生的體質(zhì)情況，某校從全

校九年級學(xué)生中隨機抽取10%的學(xué)生進(jìn)行測試，并將測試成績制成如圖表：

成績頻數(shù)頻率

不及格40.08

及格180.36

良好a0.24

優(yōu)秀16b

請根據(jù)圖表中信息解答下列問題：

(1)a=,b=；

(2)已知“80?90”這組的數(shù)據(jù)如下：81,83,84,85,85,81,80,86,87,88,83,

85,則所抽取的這些學(xué)生測試成績的中位數(shù)是分；

(3)求參加本次測試學(xué)生的平均成績；

(4)請估計全校九年級體質(zhì)測試成績?yōu)椤傲己谩钡燃壖耙陨系膶W(xué)生數(shù).

各等級學(xué)生平均分條形統(tǒng)計圖

蒜"冒津康石生喜級

19.如圖，EF表示一座風(fēng)景秀美的觀景山，AC,CE是已經(jīng)修好的登山步行道.該景區(qū)為

方便老年游客登頂觀景，欲在山腳A與山頂E之間架設(shè)一條登山索道AE.在山腳A處

測得點C的仰角為24°,在C處測得山頂E的仰角為45°,在山腳A處測得山頂E的

仰角為37°.已知步行道4C長640米，則新架設(shè)的索道4E長多少米？(參考數(shù)據(jù):sin24。

99Q343

?=—,cos24°tan24°?=—,sin37°弋士，cos37°tan37°弋士）

20.端午節(jié)是我國歷史最為悠久的民間節(jié)日之一，也是中國首個入選世界非遺的節(jié)日.每年

農(nóng)歷五月初五，民間都有“賽龍舟、吃粽子、掛艾草菖蒲”等習(xí)俗.為了迎接今年端午

節(jié)，某加工企業(yè)試生產(chǎn)甲、乙兩種粽子禮盒試銷，每個甲種禮盒所需包裝紙的面積比乙

種禮盒多0.2平方米.用20平方米包裝紙生產(chǎn)甲種禮盒的個數(shù)是用同樣面積生產(chǎn)乙種禮

盒個數(shù)的?!，該企業(yè)共購進(jìn)禮盒包裝紙900平方米.

(1)每個甲種和乙種禮盒所需包裝紙的面積分別是多少？

(2)加工企業(yè)擬生產(chǎn)甲種禮盒,"個，乙種禮盒”個，剛好用完包裝紙，求〃?關(guān)于〃的

函數(shù)關(guān)系式；

(3)已知每個甲種禮盒利潤是10元、每個乙種禮盒利潤是8元，在(2)的前提下，若

將兩種禮盒全部賣出，該企業(yè)要獲得21000元總利潤，應(yīng)如何安排甲、乙兩種禮盒的生

產(chǎn)數(shù)量.

21.已知：如圖，在Rt/MBC中，/B=90°,NB4C的平分線交BC于點F,E是AC的

中點，過A作AO〃8C,交FE的延長線于點D.

(1)求證：四邊形4FCO是平行四邊形；

(2)NBAC和NACB滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AFC。是菱形.請證明你的結(jié)論.

22.正在建設(shè)的北京環(huán)球影城主題樂園是世界第五個環(huán)球影城.樂園中既有功夫熊貓、小黃

人樂園等小朋友喜歡的景區(qū)，又有過山車等深受年輕游客喜愛的游樂設(shè)施.過山車雖然

驚悚恐怖，但是安全保障措施非常到位.如圖所示，F(xiàn)-E-G為過山車的一部分軌道,

喑米(軌道厚度忽略不計).

它可以看成一段拋物線.其中OE=OF=

16

（1）求拋物線尸一E-G的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當(dāng)過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了與米至K點，又進(jìn)入下坡段K-H（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋

物線的形狀與拋物線P-E-G完全相同，在G到。的運動過程中，當(dāng)過山車

距地面4米時，它離出發(fā)點的水平距離最遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)？

（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段尸一E進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、

CM、BN、DN,且要求已知這種材料的價格是8000元/米，如何設(shè)計支架，會

使造價最低？最低造價為多少元？

23.實際問題：有〃支隊伍，每支隊伍都有足夠多的水平完全相同的隊員，要從這〃支隊伍

中抽調(diào)部分隊員安排到一張有四個位置的方桌進(jìn)行競技比賽，四個位置可以出現(xiàn)來自于

同一隊伍的隊員，為了防止他們作弊，需要避免同隊的隊員坐在相鄰的座位上.那么一

共有多少種不同的安排方法？

問題探究：

探究一：如果有兩支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多少

種不同的安排方法？

不妨設(shè)兩支隊伍分別為A,B.從①號位開始，我們有2種選擇，即A隊員或3隊員，②

③號位置都只有1種選擇（另一支隊伍的隊員）.④號位也只有1種選擇.這樣就得到

了2X1X1X1=2,一共有兩種不同的安排方法.

探究二：如果有三支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多少

種不同的安排方法？

不妨設(shè)三支隊伍分別為A,B,C.讓我們運用上面的方法試試①號位置有3種隊員可以

選擇，即4隊員、B隊員或C隊員，②③兩個位置選擇隊員時，我們需要考慮兩種不同

的情形：

第一種：若②③號位隊員來自于同一隊伍，則②號位有2種選擇，③號只有1種選擇，

④號位會有2種選擇，此時會有3X2X1X2=12種安排方法；

第二種：若②③號位隊員來自于不同的隊伍，則②號位有2種選擇，③號位只有1種選

擇，④號位也只有1種選擇，此時會有3X2X1X1=6種安排方法.

把上述兩種情況的結(jié)果加起來得到12+6=18,一共有18種不同的安排方法.

探究三：如果有四支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多少

種不同的安排方法？（請按照前面的探究方法，描述如果有四支參賽隊伍時，會有多少

種結(jié)果的推算過程）

歸納探究：如果有“支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多

少種不同的安排方法？

無論有多少支參賽隊伍，我們都要考慮兩種情況：②③號位隊員來自于同一個隊伍；②

③號位隊員來自于不同的隊伍.

如果有〃支參賽隊伍，①號位有種隊員可以選擇，②號位有種隊員可以選

擇.

若②③號位隊員來自于同一隊伍，則③號位只有1種選擇，④號位有種選擇，這

樣我們就有種安排方法（結(jié)果不需化簡）；

若②③號位隊員來自不同隊伍，則③號位有種選擇，④號位有種選擇，這

樣我們就有種安排方法.（結(jié)果不需化簡）

結(jié)論：如果有〃支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有種

不同的安排方法.（結(jié)果不需化簡）

24.如圖，正方形ABC。的邊長為2cm,點M是邊AB的中點，點E是線段MB上的動點,

并以\ctnk的速度從點M向點B移動；點F是對角線BD上的動點，以2&c,"/s的速度

從點。向點B移動，以EF為邊，向上作正方形EFGH.點E、尸同時移動，移動時間為

f秒(0</<1).

(1)當(dāng)，為何值時，點B在線段AF的垂直平分線上？

(2)正方形EFGH移動時邊FG與邊AD交于點N,是否存在某一時刻/,使四邊形AEFN

的面積為lew2?

(3)當(dāng)/為何值時，點N在NAE尸的平分線上？

(4)當(dāng)，為何值時，點，在邊D4的延長線上？

參考答案

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標(biāo)號為A、

B、C、D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的。每小題選對得分；不選、選錯或選出的標(biāo)

號超過一個的不得分。

1.下列四個數(shù)中，其絕對值小于2的數(shù)是（）

A.-3B.C.-ITD.5/2

【分析】首先求出每個數(shù)的絕對值各是多少；然后根據(jù)實數(shù)大小比較的方法判斷即可.

解：卜3|=3,1加1=泥，I-ir|=n,I-&1=如，

旄>2,3>2,n>2,

二四個數(shù)中，其絕對值小于2的數(shù)是-加.

故選：D.

2.2021年5月4日享有“最美麗賽道”的青島馬拉松賽圓滿舉行，近幾年馬拉松越來越受

到運動愛好者的青睞，以下和馬拉松相關(guān)的圖標(biāo)中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.如果一個圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.據(jù)此判斷即可.

解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故本選項符合題意.

故選：D.

3.截至5月5日中午，2021年五一檔總票房（含預(yù)售）突破15.27億，觀影總?cè)舜?034.22

萬，總場次225.31萬，打破了五一檔票房、人次、場次三項影視記錄，15.27億用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.15.27X10sB.1.527X108C.1.527X109D.15.27X109

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為"X10",其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù),

且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

解：15.27億=1527000000=1.527X109.

故選：C.

4.一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其

中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口

袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，再放回，不斷重復(fù)上述過程.小明共摸了100

次，其中80次摸到白球.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計口袋中的白球大約有（）

A.18個B.15個C.12個D.10個

【分析】設(shè)口袋中的白球大約有x個，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案.

解：設(shè)口袋中的白球大約有x個，

解得:x=12,

故選：C.

3]5<x+l的解集中，正確的是（）

5.下列用數(shù)軸表示不等式組

2（2x-l）>3x-2

A.

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即

可.

（3x-5〈x+l①

解：〈,、、尸^,

l2（2x-l）>3x-20

???解不等式①得：x<3,

解不等式②得：x》0,

不等式組的解集是-1<XW3,

在數(shù)軸上表示為：------；---------------6一?，

03

故選：D.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（-2,0）,3（2,4）,C（4,2）,以點A為

位似中心，將△ABC縮小為△ABCi（同側(cè)），其位似比為2：1,當(dāng)反比例函數(shù)y=K（左

x

#0）的圖象經(jīng)過BiG的中點時，％的值為（）

1

C.-ID.

2

【分析】根據(jù)線段中點的概念求出8c的中點坐標(biāo)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)求出BiG的中

點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k.

解：?點B的坐標(biāo)為（2,4）,點C的坐標(biāo)為（4,2）,

.?.BC的中點坐標(biāo)為（3,3）,

以點A為原點、原x軸為x軸建立新的坐標(biāo)系，則BC的中點在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（5,

3）,

???以點A為位似中心，將△A8C縮小為△ABiG（同側(cè)），位似比為2：1,

??㈤G的中點在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（5X/,3X3）,即號,

則SG的中點在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（^,-|）,

?;反比例函數(shù)>=Karo）的圖象經(jīng)過Be的中點，

X

.?.仁工*旦=旦

224

故選：A.

7.如圖，二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)&的圖象交于A（5，3）,8（1,

x3

1）,C（-1,-1）三點.若），］>”，則％的取值范圍是（）

B.-IVxVO或」VxVl

3

D.-IVxVO或

3

【分析】直接利用函數(shù)圖象結(jié)合其交點橫坐標(biāo)得出x的求值范圍.

解：如圖所示:

當(dāng)yi>y2時，即反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象下方部分，

故x的取值范圍是：-1<x〈O或1■VxV1.

故選：B.

8.如圖，已知直線公〃/2,八、，2之間的距離AE為在△ABC中，BC=2,4?=有，

將△ABC繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)得到AA，B'C,若旋轉(zhuǎn)角為60。，4,C交直線

EB

V572卷

C?醇

~2~~T~

【分析】根據(jù)勾股定理得到BE=?卜/_g=2'求得CE=4,求得AC=J而，過D

作。H_LAC于H,設(shè)CH=x,則揚，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案.

解：VAE±/2>

；.NAEB=90°,

":AE=M，AB—yfj,

"：BC=2,

?\AC=ylAE?+CE2=A/3+16=A/1^,

過。作DHLAC于H,

：.ZDHC^ZAHD=9Qa,

?.?將△ABC繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)得到△?!'B'C,若旋轉(zhuǎn)角為60°,

AZDC//=60°,

設(shè)CH=x,則

：.AH=AC-C//=77g-x,

V直線h//l2,

：.ZDAB=ZACE,

?.?/AEB=/AH￡>=90°,

/XACE^^DAH,

?AH=DH

**CE-AE，

.A/19-X_V3X

--TF

._V19

??Ar,

5

c“=2sS,

CD=2CH=

5

故選：c.

A'

二、填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)

9.(—xy3)2jr(2xy)=_Ary5.

28

【分析】先計算積的乘方，再利用單項式除單項式計算即可.

解：(-^xy3)2+(2xy)=￥>6+(2xy)■城.

故答案為：

8

10.如圖，點。是。。上一點，C是弧ACB的中點，若/ACB=116。，則NBCC的度數(shù)

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NAQB+/ACB=180。，求出NAQB=64°,根

據(jù)C是弧AC8的中點求出標(biāo)=黃，根據(jù)圓周角定理得出/B￡>C=/A￡>C=//AO8,

再求出答案即可.

解：；A、C、B、。四點共圓，

AZADB+ZACB=\S00,

VZACB=116°,

.../AQB=180°-116°=64°,

是弧AC2的中點，

??AC=BC-

.?.NBOC=NA￡>C=//AOB=32°,

故答案為：32.

11.在我國新冠疫情雖然得到了有效的控制，但防范意識仍不能松懈，小麗去藥店購買口罩

和酒精消毒濕巾，若買150只一次性口罩和10包酒精消毒濕巾，需付75元；若買200

只一次性口罩和12包酒精消毒濕巾，需付96元.設(shè)一只一次性醫(yī)用口罩x元，一包酒

精消毒濕巾y元，根據(jù)題意可列二元一次方程組：P50x+10y-75

-l200x+12y=96-

【分析】根據(jù)“買150只一次性口罩和10包酒精消毒濕巾，需付75元；若買200只一

次性口罩和12包酒精消毒濕巾，需付96元”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,

此題得解.

150x+10y=75

解：依題意得：］

200x+12y=96,

150x+10y=75

故答案是:

200x+12y=96

⑵拋物線丫="+》+〃與直線y=-x+3沒有交點，則〃的取值范圍是a>3—

2-

【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的圖象沒有交點，則兩個函數(shù)關(guān)系式組成方程組無解，從而得出

答案.

解：；拋物線y=2x1+x+a與直線產(chǎn)-x+3沒有交點,

一元二次方程2x2+x+a=-x+3沒有實數(shù)根，

即2^+2丫+〃-3=0無實數(shù)根，

A=4-8(G-3)<0,

解得心3券,

故答案為：

13.如圖，在扇形AB。中，ZBAD=60°,AC平分NBA。交弧于點C,點尸為半徑

A8上一動點，若A8=4,則陰影部分周長的最小值為等

P

【分析】作點c關(guān)于OB的對稱點C,連接DC交OB于點P,連接PC'、OC,

此時陰影部分的周長最小，此時的最小值為弧S的長與。C'的長度和，分別進(jìn)行計算

即可.

解：如圖，作點C關(guān)于0B的對稱點C',連接DC,交0B于點P,連接PC、OC,

此時PC+PO最小，即：PD+PC=DC',

由題意得，ZCAD^ZCAB=ZBAC'=30°,

AZDOC=90°,

?'?CD'=10口2+0。2="+42=4&,

?伯上1—30兀X42

?.CD的長/―一面一1T,

3

...陰影部分周長的最小值為4揚等.

故答案為：4J分2^一.

o

C

14.如圖，正方形ABCQ中，A￡>=12,點E是對角線BO上一點，連接AE,過點E作￡F

±AE,交BC于點、F,連接AF,交BD于點、G,將aFFG沿EF翻折，得到連

接AM,交.EF于點、N,若點尸是8c邊的中點，則線段AM的長是10、萬.

【分析】利用勾股定理求出AF=6泥，再證明△AGQS/^FGB,得出薯=2,進(jìn)而求得

FG

FG=2忌,再根據(jù)NABC+/AEF=180°,判斷出點4,B,F,E四點共圓，進(jìn)而得出

NEFG=NABD=45°,由翻折得出：FG=FM,NEFM=NEFG,可得N4BW=90°,

再運用勾股定理即可得出答案.

解：???四邊形ABCO是正方形，

J.AD//BC,AB=BC=AD=\2,

??,點產(chǎn)是AB的中點，

.?.BF=」BC=6,

2

在Rt^ABF中，.=JAB?+BF2=J122+62=6泥,

'JAD//BC,

：.△AGDSXFGB,

.AG-AD

"FG~W

.AG12?

FG6

:?AG=2FG,

???AG+FG=AF,

：?2FG+FG=6疾,

?：BD是正方形ABCD的對角線，

???NABO=45°,

\'EF_LAEf

：.ZAEF=90°=ABC,

：.ZABC+ZAEF=\S0°,

???點A,B,F,E四點共圓，

AZEFG=ZABD=45°,

???將△EFG沿EF翻折，得到△￡府,

；?FG=FM,NEFM=NEFG,

:.FM=2娓,NEFM=NEFG=45°,

AZAFM=ZEFM+ZEFG=450+45°=90°,

AAM=7AF2+FM2=7（6V5）2+（2A/5）2=1O\/2-

故答案為：10證.

D

三、作圖題（本題滿分4分）用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡

15.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法但要保留作圖痕跡.

已知：AABC.

求作：。0，使圓心。在邊AC上，并與aABC的另外兩邊相切.

【分析】作B0平分交AC于點。，過點0作OELAB于E,以O(shè)為圓心，0E

為半徑作OO即可.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（1）化簡：（工7-2）；

x~2x-2

（2）計算：3tan30°一（-1）耳需

【分析】（1）根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子;

（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)暴、算術(shù)平方根可以解答本題.

_x-3.5-(x+2)(x-2)

x-2x-2

_x-3,x-2

x-25-X2+4

_x-3

(3+x)(3-x)

1

―

(2)3tan3O°-(--)

3

=3X返-9+旦

32

=V3-9+1

17.小明和小剛用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，將A

盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)；如果差為負(fù)數(shù)則小剛勝；若差為

正數(shù)，則小明勝.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

B盤

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到差為負(fù)數(shù)和正數(shù)的情況，求出對應(yīng)概率,

比較后即可得出答案.

解：這個游戲?qū)﹄p方不公平，理由如下:

列表如下：

1256

3-2-123

5-4-301

5-4-301

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中差為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，差為正數(shù)的有4種結(jié)果,

，小剛獲勝的概率為奈=￡,小明獲勝的概率為得?=[■,

JLo/JLNO

.?.—1產(chǎn),1—，

23

這個游戲?qū)﹄p方不公平.

18.《中學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定學(xué)生體質(zhì)健康等級標(biāo)準(zhǔn)：90分及以上為優(yōu)秀；80分-89

分為良好；60分-79分為及格：60分以下為不及格.為了解學(xué)生的體質(zhì)情況，某校從全

校九年級學(xué)生中隨機抽取10%的學(xué)生進(jìn)行測試，并將測試成績制成如圖表：

成績頻數(shù)頻率

不及格40.08

及格180.36

良好a0.24

優(yōu)秀16b

請根據(jù)圖表中信息解答下列問題：

(1)a=12,b=0.32；

(2)已知“80?90”這組的數(shù)據(jù)如下：81,83,84,85,85,81,80,86,87,88,83,

85,則所抽取的這些學(xué)生測試成績的中位數(shù)是84分;

(3)求參加本次測試學(xué)生的平均成績；

(4)請估計全校九年級體質(zhì)測試成績?yōu)椤傲己谩钡燃壖耙陨系膶W(xué)生數(shù).

各等級學(xué)生平均分條形統(tǒng)計圖

【分析】(1)根據(jù)各組數(shù)據(jù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)可得〃的值；

(2)根據(jù)中位數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可；

(4)根據(jù)平均數(shù)公式技術(shù)即可.

(3)用樣本中成績?yōu)椤傲己谩钡燃壖耙陨系膶W(xué)生數(shù)除以10%即可.

4

解：(1)a=—^—-(4+18+16)=12,

0.08

b=\-(0.08+0.36+0.24)=0.32.

故答案為12,0.32；

(2)將九年級成績重新排列為80,81,81,83,83,84,85,85,85,86,87,88,

九年級成績的中位數(shù)絲箸=83.5；

(3)參加本次測試學(xué)生的平均成績;

-8-0-+-8-1-+-8-1--+-8-3-+-8-3-+-8--4-+-8-5-+-8--5-+-8-5-+-8-6-+-8-7--+-8匕=o。4，;

12

古答案為84；

(4)(16+12)+10%=280(人).

故估計該校九年級學(xué)生本次測試成績在80分以上的人數(shù)是280人.

19.如圖，EF表示一座風(fēng)景秀美的觀景山，4C,CE是已經(jīng)修好的登山步行道.該景區(qū)為

方便老年游客登頂觀景，欲在山腳A與山頂E之間架設(shè)一條登山索道AE.在山腳A處

測得點C的仰角為24°,在C處測得山頂E的仰角為45°,在山腳A處測得山頂E的

仰角為37°.已知步行道AC長640米，則新架設(shè)的索道AE長多少米？(參考數(shù)據(jù):sin24。

2,cos24°9,tan240Q,sin37°3,cos37°4ta3n37°七士)

【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形和矩形，利用銳角三角函數(shù)和直角三角形的邊角

關(guān)系，求出EMCM、AM.CN,在Rt/VlEF中利用直角三角形的邊角關(guān)系求出答案即

可.

解：過點C作CMLAF,CNLEF,垂足分別為M、N,

由題意可知，ZCAM=24°,NE4尸=37°,NEC產(chǎn)=45°,AC=640米，

在RtZiEC尸中，NECF=45°,

/.CN=EN=MF,

在RtZ\ACM中，

CM=4C?sin24°,AM=AC,cos240,

設(shè)EN=x米，則CN=MF=x米，

EF=EN+NF=x+640Xsin240,

AF—AM+MF=640Xcos24°+x,

在尸中,

EF

tan37°=

-AF

anx+640Xsin240?3

x+640Xcos244

解得，%=704,

AEF=704+640Xsin24°g960（米），

EFEF

由sin37°得，AE—

AEsin37°

解得AE-1600（米），

答：新架設(shè)的索道AE長約為1600米.

20.端午節(jié)是我國歷史最為悠久的民間節(jié)日之一，也是中國首個入選世界非遺的節(jié)日.每年

農(nóng)歷五月初五，民間都有“賽龍舟、吃粽子、掛艾草菖蒲”等習(xí)俗.為了迎接今年端午

節(jié)，某加工企業(yè)試生產(chǎn)甲、乙兩種粽子禮盒試銷，每個甲種禮盒所需包裝紙的面積比乙

種禮盒多02平方米.用20平方米包裝紙生產(chǎn)甲種禮盒的個數(shù)是用同樣面積生產(chǎn)乙種禮

盒個數(shù)的提，該企業(yè)共購進(jìn)禮盒包裝紙900平方米.

（1）每個甲種和乙種禮盒所需包裝紙的面積分別是多少？

（2）加工企業(yè)擬生產(chǎn)甲種禮盒加個，乙種禮盒”個，剛好用完包裝紙，求，〃關(guān)于"的

函數(shù)關(guān)系式；

（3）已知每個甲種禮盒利潤是10元、每個乙種禮盒利潤是8元，在（2）的前提下，若

將兩種禮盒全部賣出，該企業(yè)要獲得21000元總利潤，應(yīng)如何安排甲、乙兩種禮盒的生

產(chǎn)數(shù)量.

【分析】（1）設(shè)乙種禮盒每個的包裝紙面積是x平方米，根據(jù)題意列出分式方程，解分

式方程即可求出每個乙種禮盒所需包裝紙的面積，進(jìn)而求出每個甲種禮盒所需包裝紙的

面積；

（2）根據(jù)甲、乙兩種禮盒所需包裝紙的面積和為900平方米，可得，"和〃的關(guān)系式，進(jìn)

而可得機關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求出甲、乙兩種禮盒的生產(chǎn)數(shù)量.

解：（1）設(shè)乙種禮盒每個的包裝紙面積是x平方米，則每個甲種禮盒所需包裝紙的面積

為(x+0.2)平方米,

由題意得:20x320

x5x+0.2

解得：x=0.3,

當(dāng)x=0.3時，5x(x+0.2)WO,

???x=0.3是原分式方程的解,

x+0.2=0.5,

答：每個甲種禮盒所需包裝紙的面積是0.5平方米，每個乙種禮盒所需包裝紙的面積是

0.3平方米；

(2)由題意得：O.5m+O.3〃=9OO,

二加關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式為：m=1800-06”；

(10m+8n=21000

(3)由題意得:

I0.5m+0.3n=900

m=900

解得:

n=1500,

答：甲種禮盒的生產(chǎn)900個，乙種禮盒的生產(chǎn)1500個.

21.已知：如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,NBAC的平分線交BC于點尸，E是AC的

中點，過A作A￡>〃2C,交FE的延長線于點D

(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形；

(2)N84C和NACB滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形4尸CO是菱形.請證明你的結(jié)論.

【分析】(1)證明△E4O絲/(ASA),由全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF,由平

行四邊形的判定可得出結(jié)論；

(2)證出E4=FC,根據(jù)菱形的判定可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：是AC的中點，

：.AE=CE,

'."AD//BC,

:.NDAE=/FCE,

在和△ECF中,

<ZDAE=ZFCE

<AE=CE，

ZAED=ZFEC

：.^\EAD^/\ECF(ASA),

：.DE=EF,

，四邊形AFCD是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)NB4C=2NACB時，四邊形A『C￡>是菱形，

證明：?：ZBAF^ZCAF,

：.ZCAF^ZACB,

：.FA=FC,

又：四邊形AFCD是平行四邊形，

四邊形AFCZ)是菱形.

22.正在建設(shè)的北京環(huán)球影城主題樂園是世界第五個環(huán)球影城.樂園中既有功夫熊貓、小黃

人樂園等小朋友喜歡的景區(qū)，又有過山車等深受年輕游客喜愛的游樂設(shè)施.過山車雖然

驚悚恐怖，但是安全保障措施非常到位.如圖所示，尸fE—G為過山車的一部分軌道，

它可以看成一段拋物線.其中0E=孕米，。/=喑米(軌道厚度忽略不計).

816

(1)求拋物線F-EfG的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當(dāng)過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了尊米至K點，又進(jìn)入下坡段K-4(K接口處軌道忽略不計).已知軌道拋

物線K-afQ的形狀與拋物線P-E-G完全相同，在G到。的運動過程中，當(dāng)過山車

距地面4米時，它離出發(fā)點的水平距離最遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)？

(3)現(xiàn)需要在軌道下坡段F-E進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、

CM,BN、ON,且要求。4=AB.已知這種材料的價格是8000元/米，如何設(shè)計支架，會

使造價最低？最低造價為多少元？

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;

(2)先求出P,G坐標(biāo)，再求出PG長度，通過拋物線K-H-Q的形狀與拋物線E

fG完全相同，平移長度為PG+GK,可得拋物線Kf"fQ解析式，然后把y=4代入解

析式解方程可得結(jié)論；

(3)先設(shè)出A,B橫坐標(biāo)，再代入解析式，分別求出M,N的縱坐標(biāo)，然后求出AM,

CM,BN,DN之和的最小值，從而求出最低造價.

解：(1)由圖象可設(shè)拋物線解析式為(x-y-)2,

把F(0,里)代入，得：

16

-1-2-5--a(/八0--2--5)、乙2,

16--------8

解得：a=~y

5

.?.拋物線?iG的函數(shù)關(guān)系式為尸卷—孕)2；

58

(2)當(dāng)尸5時，5=y(X-尋2,

解得：X\=-^-,X2=-^-,

88

：.P(g5),G(箸，5),

88

P口G廠=—45—5=—40=5;,

888

??,拋物線"HfQ的形狀與拋物線P-E-G完全相同,

??.拋物線K一4一。由拋物線尸一E-G向右平移(PG+GK)個單位,

?'?拋物線K—H—Q為丁2=《(x-空*-5-2=—(x-10)2,

5885

令y2=4,則4=w(X-10)2,

5

解得：x1=10-遙，及=10+逐,

???離出發(fā)點的水平距離最遠(yuǎn)為(10+遙)米；

(3)設(shè)0A=A8=mA(a,0),B(2a,0),

425、242—125

yM=—(ra--)z=—az-5^+——,

58516

、

)w=—(2a--2--5)-2-1-6-cr2-1in0。+.——25,

58516

：?l=AM+CM+BN+DN

_42〈上,125,162,25s

---a—----H---a-lmOtzH----F2C，

516516

—4a2-124+I"

8

,3、->,53

=4A（a---）/+——，

28

V4>0,

...開口向上，

.?.當(dāng)時，/最短，最短為學(xué)，

28

RQ一

8000X2i=53000（元），

8

.?.當(dāng)0A=A8="|?時，造價最低，最低造價為53000元.

23.實際問題：有〃支隊伍，每支隊伍都有足夠多的水平完全相同的隊員，要從這〃支隊伍

中抽調(diào)部分隊員安排到一張有四個位置的方桌進(jìn)行競技比賽，四個位置可以出現(xiàn)來自于

同一隊伍的隊員，為了防止他們作弊，需要避免同隊的隊員坐在相鄰的座位上.那么一

共有多少種不同的安排方法？

問題探究：

探究一：如果有兩支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多少

種不同的安排方法？

不妨設(shè)兩支隊伍分別為A,B.從①號位開始，我們有2種選擇，即A隊員或B隊員，②

③號位置都只有1種選擇（另一支隊伍的隊員）.④號位也只有1種選擇.這樣就得到

了2X1X1X1=2,一共有兩種不同的安排方法.

探究二：如果有三支隊伍參賽，要求相鄰的座位不能安排同一隊的隊員，那么共有多少

種不同的安排方法？

不妨設(shè)三支隊伍分別為A,B,C.讓我們運用上面的方法試試①號位置有3種隊員可以

選擇，即A隊員、B隊員或C隊員，②③兩個位置選擇隊員時，我們需要考慮兩種不同

的情形：

第一種：若②③號位隊員來自于同一隊伍，則②號位有2種選擇，③號只有1種選擇，

④號位會有2種選擇，此時會有3X2X1X2=12種安排方法；

第二種：若②③號位隊員來自于不同的隊伍，則②號位有2種選擇，③號位只有1種選