常微分方程的數(shù)值解法簡介

常微分方程的數(shù)值解法簡介常微分方程的數(shù)值解法內(nèi)容初值問題邊值問題剛性問題資料來源：中國科技大學課程：數(shù)值計算方法。初值問題的數(shù)值解法對于一個常微分方程：通常會有無窮個解。如：因此，我們要加入一個限定條件。通常會在端點出給出，如下面的初值問題：為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對y滿足Lipschitz條件：初值問題的數(shù)值解法常微分方程的解是一個函數(shù)，但是，計算機沒有辦法對函數(shù)進行運算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點的近似值。例：我們對區(qū)間做等距分割：設解函數(shù)在節(jié)點的近似為由數(shù)值微分公式，我們有，則：向前差商公式可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的初值問題的數(shù)值解法基本步驟如下：③解差分方程，求出格點函數(shù)①對區(qū)間作分割：求在上的近似值。稱為分割上的格點函數(shù)②由微分方程出發(fā)，建立求格點函數(shù)的差分方程。這個方程應該滿足：A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質(zhì)。這種方法，稱為數(shù)值離散方法。求的是在一系列離散點列上，求未知函數(shù)y在這些點上的值的近似。我們的目的，就是求這個格點函數(shù)初值問題的數(shù)值解法為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實用價值，需要知道如下幾個結(jié)論：①步長充分小時，所得到的數(shù)值解能否逼近問題得真解；即收斂性問題②誤差估計③產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計算中，是否會無限制擴大；穩(wěn)定性問題初值問題的數(shù)值解法1Euler公式做等距分割，利用數(shù)值微分代替導數(shù)項，建立差分方程。1.1向前差商公式所以，可以構(gòu)造差分方程稱為局部截斷誤差。顯然，這個誤差在逐步計算過程中會傳播，積累。因此還要估計這種積累初值問題的數(shù)值解法定義在假設yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。初值問題的數(shù)值解法1.2向后差商公式是隱格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出初值問題的數(shù)值解法1.3梯形法－基于數(shù)值積分的公式對微分方程做積分，則：初值問題的數(shù)值解法類似，可以算出其誤差估計式：2階的方法所以，有格式為：是個隱式的方法，要用迭代法求解局部截斷誤差初值問題的數(shù)值解法2Runge－Kutta法一般的Runge－Kutta法構(gòu)造常見的為3階，4階公式初值問題的數(shù)值解法初值問題的數(shù)值解法3線性多步法用若干節(jié)點處的y

及y’值的線性組合來近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當

10時，為隱式公式;

1=0則為顯式公式。初值問題的數(shù)值解法寫成向量的形式：4微分方程組初值問題的數(shù)值解法各種方法都可以直接運用過來。Euler公式以兩個方程的方程組為例初值問題的數(shù)值解法Runge-Kutta公式初值問題的數(shù)值解法初值問題的數(shù)值解法5.高階方程