第07章網絡矩陣方程

第七章網絡矩陣方程

本章主要內容圖的基本概念;關聯矩陣A，回路矩陣B,割集矩陣Q;KCL矩陣形式,KVL矩陣形式;節(jié)點電壓方程矩陣形式;回路電流方程矩陣形式;割集電壓方程矩陣形式;1)當電路的結構比較簡單時，可以直接利用基爾霍夫定律及前面章節(jié)所介紹的支路法、回路法和節(jié)點法，直接手工建立所需的解題方程組來解題。3)求解矩陣形式表示的電路方程，可以歸結為解矩陣相量的問題，可采用矩陣計算工具軟件如Matlab軟件等方便快捷地進行矩陣運算。2)解決復雜網絡問題可以應用網絡圖論的方法對電路進行系統(tǒng)化分析，應用矩陣方法系統(tǒng)地分析網絡的圖和建立電路方程，即建立矩陣形式的節(jié)點電壓方程、割集電壓方程和回路電流方程等。7.1網絡圖論復習電路圖與拓撲圖實際電路圖對應的線圖(有向圖)線圖是由點（節(jié)點）和線段（支路）組成，反映實際電路的結構（支路與節(jié)點之間的連接關系）。樹支、連支、單連支回路樹T所包含的支路稱為樹支；（圖中支路1、2、3）圖G中其余的支路稱為連支；（圖中支路4、5、6）樹支數=nt

－1(節(jié)點數減1）連支數=支路數－樹支數

=b－

nt

＋1=（網孔數）單連支回路：每一連支可與其兩端之間的唯一樹支路徑構成一條唯一的回路。此回路稱為單連支回路。回路方向與連支一致。割集割集是圖的一個子集（某些支路的集合），滿足移去該子集，連通圖分為兩部分；少移去其中任一條，圖保持連通。割集用符號CS來表示，規(guī)定了割集的方向，則割集又可看成一個閉合面。割集為一個廣義的節(jié)點，流出割集表面的電流代數和為零。如圖，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、6支路，割集CS3包含1、4、6支路。7.2關聯矩陣與節(jié)點電流定律實際電路結構可用一個有向圖來具體描述。把有向圖各節(jié)點和支路編號，然后依次把各支路與相應連接點的連接信息用數字形式記憶下來。根據這些信息可完整描述電路的聯接關系，計算機可根據這些信息自動識別電路關系，并應用基爾霍夫定律建立相應的電路方程，進行相應的運算。反映電路結構中支路與節(jié)點連接關系可用一個關聯矩陣A來描述.關聯矩陣

有向圖有向圖結構用一個階矩陣來表示，記為。矩陣的行對應于有向圖的節(jié)點，矩陣的列對應于網絡的支路。中的元素作如下定義：支路節(jié)點支路節(jié)點1)每一列中只包含二個非零元素＋1和－12)把所有行的元素按列相加，則得到全零的行，因此矩陣的行不是彼此獨立的。3)矩陣的秩為。節(jié)點數：支路數：降階關聯矩陣

把的任一行劃去，剩下的矩陣稱為降階關聯矩陣，記作A。

1）矩陣A的行是彼此獨立的；2）矩陣A同樣能充分描述有向圖的連接關系，劃去的行對應的節(jié)點即為參考節(jié)點。矩陣形式的基爾霍夫電流定律

設網絡各支路電流為支路電流方向與有向圖支路方向一致，用矩陣形式表示的支路電流列向量為用關聯矩陣A左乘支路電流列向量i，可得或上式為矩陣形式的基爾霍夫電流定律

如圖乘積的每一行對應一個節(jié)點電流方程(KCL).節(jié)點電壓與支路電壓之間的關系

網絡各節(jié)點電壓列向量為

則有

設支路電壓參考方向與支路電流方向一致,令支路電壓列向量為

如圖7.3

回路矩陣與回路電壓定律

用回路電流法分析電路時，支路與回路之間的關系可以用一個回路矩陣來描述。

回路矩陣

:當選擇單連支回路時,所建立的回路矩陣稱為基本回路矩陣,記為。設支路2，5，6為樹支，基本回路矩陣為支路回路設支路1，2，3為樹支，基本回路矩陣為單位矩陣樹支矩陣回路矩陣的每一行元素反映了該回路中所包含的支路及其方向。

選擇網孔回路時，網孔回路矩陣為：矩陣形式的基爾霍夫電壓定律

設網絡支路電壓的參考方向與支路電流方向一致，寫成列向量為

用回路矩陣

左乘支路電壓列向量

，可得上式為矩陣形式的基爾霍夫電壓定律

或如圖支路電壓列向量為

乘積的每一行對應一個回路電壓方程(KVL).支路電流與回路電流之間的關系設支路電流列向量為

回路電流列向量為

支路數：b節(jié)點數：有或如圖設支路電流列向量為

回路電流列向量為

支路2，5，6為樹支則有7.4

割集矩陣與節(jié)點電流定律

割集是圖的一個子集（某些支路的集合），滿足移去該子集，連通圖分為兩部分；少移去其中任一條，圖保持連通。割集用符號CS來表示，規(guī)定了割集的方向，則割集又可看成一個閉合面。割集為一個廣義的節(jié)點，流出割集表面的電流代數和為零。如圖，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、6支路，割集CS3包含1、4、6支路。單樹支割集選定一個樹，每一割集只包含一條樹支，則稱為單樹支割集。單樹支割集的方向取與樹支方向一致。如圖，選1、2、3支路為樹支，則單樹支割集如圖所示。割集1包含的支路：1，4，6割集2包含的支路：2，4，5，6割集3包含的支路：3，5，6已知樹支電壓可解出電路各支路電流!割集矩陣

基本割集矩陣

(單樹支割集)

支路割集支路1，2，3為樹支矩陣形式的基爾霍夫電流定律

用割集矩陣

左乘支路電流列向量i，可得用矩陣形式表示的支路電流列向量為或

上式是廣義節(jié)點的基爾霍夫電流定律的矩陣形式。

如圖支路1，2，3為樹支基本割集矩陣

支路電流列向量割集電壓(樹支電壓)與支路電壓之間的關系

支路1，2，3為樹支單樹支割集中，割集電壓即為樹支電壓支路電壓則有7.5

關聯矩陣、回路矩陣和割集矩陣的關系對于同一個電路，若各支路，節(jié)點的編號及方向均相同時，其列寫出的關聯矩陣，回路矩陣和割集矩陣之間存在著一定的聯系。

目的:從一種矩陣導出另一種矩陣.

簡化建立矩陣的過程.例如:從A矩陣導出B和Q矩陣.(1)回路矩陣與割集矩陣

基本回路矩陣基本割集矩陣編號規(guī)則:

先給樹支編號,然后再給連支編號。選支路1,2,3為樹支

即有由矩陣性質可得另一形式為若網絡支路編號按先樹支后連支編排，則:(2)關聯矩陣和回路矩陣基本回路矩陣關聯矩陣即有由矩陣性質可得另一形式為若網絡支路編號按先樹支后連支編排，則:即有

從A矩陣導出B和Q矩陣:7.6

節(jié)點電壓方程在討論實際電路問題的時候，首先必須定義一個能代表一般支路結構的典型支路.

1>典型支路2>節(jié)點電壓方程的導出(無受控源)(1)寫支路電壓方程實際電路:(2)支路電壓方程矩陣形式寫為矩陣形式，有支路電壓列向量支路阻抗矩陣(對角陣)支路電流列向量支路電流源列向量支路電壓源列向量(3)支路導納矩陣(4)矩陣方程變換兩邊乘兩邊乘根據和得:上式即為矩陣形式的節(jié)點電壓方程

節(jié)點導納矩陣節(jié)點電壓列向量(5)利用矩陣方程解題支路節(jié)點編號,列參考方向;列關聯矩陣A;根據典型支路與實際電路列支路阻抗(導納)矩陣Z,,支路電壓源向量和支路電流源向量;求節(jié)點阻抗矩陣;由求出;

由節(jié)點電壓求支路電壓;求支路電流

:電路如圖所示，試建立矩陣形式的節(jié)點電壓方程式。解:

關聯矩陣A支路阻抗矩陣:例1支路導納矩陣:支路電壓源向量支路電流源向量節(jié)點導納矩陣:矩陣形式的節(jié)點電壓方程式例2:電路如圖所示，已知,試求支路電流.解:列出所需數據(節(jié)點法)根據支路電壓支路電流1）包含元件電流控制的電壓源包含有元件電流控制的電壓源，則一般支路形式如圖所示。包含受控源電路分析各支路電壓方程式組：

……………………………………………………用矩陣形式表示

記為：矩陣形式的節(jié)點電壓方程節(jié)點電壓方程形式與不包含受控源時的形式完全相同

，其差別在于支路阻抗矩陣Z。

支路阻抗矩陣Z中第k行（受控電壓源支路號）第j列（控制電流支路號）位置出現一個受控源控制系數。對于如圖電路，支路阻抗矩陣為：例3:電路如圖所示，已知,試求支路電流.解:列出所需數據(節(jié)點法),7.7

回路電流方程

典型支路1.回路電流方程的建立典型支路為回路電流列向量典型支路即有(回路阻抗矩陣)令回路電流方程2.由回路電流求解支路電流電壓典型支路例1:電路及有向圖如圖所示，取支路1、3、6為樹支，試建立矩陣形式的回路電流方程。

基本回路矩陣為支路阻抗矩陣為解:選擇單連支回路作為基本回路，電壓源及電流源列向量為回路阻抗矩陣為矩陣形式的回路方程為

例2:電路如圖所示，已知,試用回路電流解:選1,2,3為樹,基本回路矩陣為,法求各支路電流.元件電流控制的電壓源MATLAB程序所需的數據:7.8

割集電壓方程

典型支路1.割集電壓方程的建立寫為矩陣形式，有支路電壓列向量支路阻抗矩陣支路電流列向量支路電流源列向量支路電壓源列向量割集電壓方程基本割集矩陣

(單樹支割集)

割集電壓(樹支電壓)