初中數學七年級上冊《1.5有理數的乘方》課件（二）

有理數的乘方乘方有理數的乘方的意義內容乘方的定義求n個相同因數的積的運算，叫作乘方與乘方有關的概念冪：乘方的結果叫作冪底數：在an中，a叫作底數指數：在an中，n叫作指數巧記樂背同因數相乘化乘方，因數來把底數當，因數個數是指數，底為負（數）分（數）要括上.（1）一個數可以看作這個數本身的一次方，如3就是31，m就是m1，通常指數1省略不寫；（2）指數是2時也讀作平方，指數是3時也讀作立方，如a2讀作a的平方，a3讀作a的立方.注意乘方就是幾個相同的因數相乘，因此可以利用有理數的乘法運算來進行乘方運算.根據乘方的意義可知，我們現在所學的乘方中，其指數都是正整數.例1填空：（1)（-9)7的底數是_______,指數是_______，可讀作______________或______________，它表示______________，-97的底數是_______，指數是_______，可讀作_____________________，它表示____________________________.（2）把寫成乘方的形式為_______.-97-9的7次方-9的7次冪7個-9相乘979的7次方的相反數-（9×9×9×9×9×9×9×9）本題的切入點是有理數乘方的概念，乘方根據定義確定底數和指數，非乘方形式的先寫成乘方形式.有理數的乘方運算內容乘方的符號法則負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數正數的任何次冪都是正數0的任何正整數次冪都是0乘方運算的一般步驟先根據乘方的符號法則確定乘方的符號；計算乘方的絕對值（1）任何非零數的偶次冪都是非負數，奇次冪沒有這樣的性質.（2）互為相反數的兩個非零數的同一奇次冪仍互為相反數，同一偶次冪相等.（3）1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，-1的奇次冪是-1.例2計算：（1）34；（2）（3）-（-4）3；（4）（5）（-1）2015.解：（1）34=3×3×3×3=81.（3）-（-4）3=-［（-4）×（-4）×（-4）］=64.（5）（-1）2015=-1.先將有理數的乘方運算轉化為有理數的乘法運算，再根據有理數的乘法法則，求得結果.有理數的混合運算內容有理數的混合運算順序（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算，按照從左到右的順序進行；（3）如有括號，先進行括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行巧記樂背混合運算分三級，運算順序按高低；乘方乘除再加減，若有括號優(yōu)先算.在有理數的混合運算過程中，通常將帶分數化為假分數，小數化為分數，再進行乘方、乘除等運算，另外有些運算可以同時進行，以簡化運算.注意有理數的混合運算是我們所學過的加減運算、乘除運算、乘方運算的綜合，因此每步運算都要按照相應的運算法則先確定符號，再求其絕對值.例3計算：（1）在有理數的混合運算中，同一道題可能有多種解法，但解題思路大致相同，即先乘方，再乘除，最后加減.如有括號，先進行括號內的運算.用字母表示數時，書寫不規(guī)范而出錯不能正確理解乘方的意義而導致計算錯誤例4計算：（1）43；（2）-32；（3）解：（1）43=4×4×4=64.（2）-32=-（3×3）=-9.易將第（1）小題和乘法混淆，而得到錯解：43=4×3；對于第（2）小題易將-32誤以為是（-3）2，而得到錯解：-32=(-3)×(-3)=9；對于第（3）小題易將

誤以為

為底數，而得到錯解:

=-

×

=

計算帶分數的乘方時出錯例5計算：當冪的底數是帶分數時，沒有先將帶分數化為假分數，而得到錯解：原式=題型一巧用乘方的意義簡化運算例6計算下列各題：（2）82017×0.1252016.題型二運用乘方解決實際問題例7當你把一張紙對折1次時，可以得到2層，當對折2次時，可以得到4層，當對折3次時，可以得到8層，按這種方式折下去.（1）你能發(fā)現層數和折紙的次數有什么關系嗎？（2）當你對折6次時，紙的層數是多少？（3）如果每張紙的厚度是0.15mm,求對折5次時，紙的總厚度是多少.解：（1)設折紙的次數是n，則折得的層數是2n.（2）當對折6次時，n=6，紙的層數為26＝64.（3）當對折5次時，紙的總厚度為0.15×25＝4.8（mm）.題型三運用運算律簡化有理數的混合運算例8計算：題型四乘方與有理數的相反數、絕對值等知識的綜合運用例9已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，c的相反數是其本身，求（a+b+c）3的值．思路導圖根據|a|=3，|b|=2,且a<b,求出a,b的值將a,b,c的值代入式子，分類計算求解根據c的相反數是其本身，求出c=0解：因為|a|=3，|b|=2,所以a=±3，b＝±2.又因為a＜b，所以a=-3，b=±2.又因為c的相反數是其本身，所以c=0.所以（a+b+c）3=（-3+2+0）3=-1或（a+b+c）3=（-3-2+0）3=（-5）3=-125．題型五乘方的規(guī)律探究題例10觀察下列各式：13+23=9=×4×9=×22×32；13+23+33=36=×9×16=×32×42；13+23+33+43=100=×16×25=×42×52；……（1）若n為正整數，試猜想13+23+33+43+…+n3的值；（2）利用（1）的結論來比較13+23+33+…+1003與（-5000）2的大小.解：（1）13+23+33+43+…+n3=n2（n+1)2.（2）根據規(guī)律可知13+23+33+…+1003=×1002×1012=5000×＞5

000×5

000，因此13+23+33+…+1003＞（-5000）2.解讀中考：本節(jié)內容在中考中的考點主要有：（1）乘方的意義與計算，題型有選擇題和填空題，一般比較簡單；（2）有理數的混合運算，多與實數、三角函數（后面學習）等知識綜合考查，有時也會以簡單的解答題的形式出現.解析：（-2）3=（-2）×（-2）×（-2）=-8．例11（貴州黔西南中考）計算-42的結果等于（）A．-8B．-16C．16D．8解析：乘方就是求幾個相同因數的積的運算，-42=-（4×4）=-16．故選B.B例12（江蘇鎮(zhèn)江中考）計算：（-2）3=__________．-8考點一有理數的乘方運算例13（浙江舟山中考）13世紀數學家斐波那契的《計算書》中有這樣一個問題：“在羅馬有7位老婦人，每人趕著7頭毛驢，每頭驢馱著7只口袋，每只口袋里裝著7個面包，每個面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，則刀鞘數為（）A．42B．49C．76D．77解析：根據題意，得刀鞘數為76．故選C.C考點二有理數乘方運算的實際應用例14（福建廈門中考）計算：10+8×-2÷解：原式=10+8×-2×5=10+2-10=2.考點三有理數的混合運算例15（湖北宜昌中考）計算：（-2）2×解：（-2）2×=4×=4×1-=4-3=1.科學記數法科學記數法內容科學記數法把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數），使用的是科學記數法.對于小于-10的數也可以類似表示內容知識解讀（1）用科學記數法表示數只是改變數的形式，而沒有改變數的大??；（2）負數用科學記數法表示時和正數一樣，區(qū)別就是前面多一個“-”；（3）當把一個用科學記數法表示的數還原為原數時，只需將小數點向右移動n位（不足的數位用0補齊），并把10n去掉巧記樂背科學記數方法新，形為a乘10的n次冪，a的整數位只一個，整數位數減1即為n.科學記數法中a和n的確定（1）確定a時，要根據科學記數法的規(guī)定，使它為只含有一位整數的數（即1≤|a|<10).（2）確定n一般有兩種方法:（方法一）利用整數的位數來求n，n等于原數的整數位數減1，如3500是一個四位整數,則n=3；（方法二）看小數點移動的位數,小數點向左移動了幾位，n就等于幾，如從3500到3.5，小數點向左移動了3位，故n=3.例1用科學記數法表示下列各數：（1）2730；（2）7531000；（3）-830000．解：（1）2730=2.73×103.（2）7531000=7.531×106.（3）-830000=-8.3×105．科學記數法的形式為a×10n,其中1≤｜a｜<10，n為正整數，且n為這個數的整數位數減1.解：（1）1×106=1000000.（2）3.14×103=3140.（3）-1.732×107=-17320000.例2下列用科學記數法表示的數，原數各是什么？（1）1×106；（2）3.14×103；（3）-1.732×107.把用科學記數法表示的數轉化成原數時，關鍵是確定小數點移動的位數.用科學記數法表示負數時，漏掉負號而出錯例3用科學記數法表示數-430000.解：-430000=-4.3×105.本題易忽略負號，而得到錯解：-430000=4.3×105.帶單位的數用科學記數法表示時，忘掉單位而出錯例4森林是地球之肺，每年能為人類提供大約28.3億噸的有機物.將28.3億噸用科學記數法表示為__________噸.解析：28.3億噸=2830000000噸=2.83×109噸.2.83×109本題忽略單位“億噸”，得到錯解：2.83×10.題型一用科學記數法表示生活中的大數例5某市2017年預計建成34個地下調蓄設施，蓄水能力達到140000立方米，將140000用科學記數法表示應為（）A．14×104B．1.4×105C．1.4×106D．0.14×106解析：140000的整數位數是6，所以在a×10n中，a的值為1.4,n的值為6-1=5.故選B.B題型二用科學記數法表示帶單位的數例6我國是世界四大文明古國之一，擁有五千多年的悠久文化與文明史．它位于亞洲東部，太平洋西岸，陸地面積約960萬平方千米，這個數據用科學記數法可表示為____________平方千米．解析：因為960萬平方千米=9600000平方千米，所以這個數據用科學記數法可表示為9.6×106平方千米.9.6×106題型三科學記數法的應用例7光在真空中的傳播速度約為3×105km/s（即每秒3×105km），天文學上常用光年作距離的單位，光年就是光在1年（按365天計算）內在真空中走過的路程，1光年約等于多少千米？（用科學記數法表示）思路導圖根據路程=速度×時間列式并計算結果將該結果用科學記數法表示解：1年=365×24×3600（s），365×24×3600×3×105=9.4608×1012（km).答：1光年約等于9.4608×1012km.方法點撥在光的傳播速度、天體運行等問題中，所接觸的數據都比較大，如果用科學記數法表示這些較大的數據并參與運算，將會很方便地解決一些實際問題.題型四比較用科學記數法表示的數的大小例8把9.99×109,1.01×1010，9.9×109，1.1×1010用“<”連接起來.思路導圖觀察這四個數，有兩個數中10的指數是10，有兩個數中10的指數是9

先將指數相同的分別進行比較，再確定這四個數的大小解：因為1.1×1010>1.01×1010，9.99×109>9.9×109，1.01×1010=10.1×109>9.99×109,所以上述四個數中，1.1×1010是最大的，9.9×109是最小的，剩下的兩個數中，1.01×1010>9.99×109,所以9.9×109<9.99×109<1.01×1010<1.1×1010.方法點撥比較用科學記數法表示的兩個數a1×10n1與a2×10n2（1≤a1<10,1≤a2<10,n1，n2均為正整數)的大小時，關鍵是看n1與n2的大?。寒攏1>n2（或n1<n2)時，可知a1×10n1>a2×10n2（或a1×10n1<a2×10n2)；當n1=n2時，需看a1與a2的大小，若a1>a2（或a1<a2)，則a1×10n1>a2×10n2（或a1×10n1<a2×10n2).解讀中考：本節(jié)內容在中考中多以具有時代特色和地方特色的材料為背景命題，題型以選擇題和填空題為主.例9（貴州安順中考）中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口約為4400000000人，將4400000000用科學記數法表示為（）A．44×108B．4.4×109

C．4.4×108D．4.4×1010解析：4400000000=4.4×109.故選B.B考點一用科學記數法表示絕對值較大的數例10（湖南邵陽中考）2015年7月，第四十五屆“世界超級計算機500強排行榜”榜單發(fā)布，我國國防科技大學研制的“天河二號”以每秒3386×1013次的浮點運算速度第五次蟬聯冠軍，若將3386×1013用科學記數法表示成a×10n的形式，則n的_____________．解析：3386×1013=3.386×1016，則n=16．16核心素養(yǎng)例11鐵路部門消息：2017年“端午節(jié)”小長假期間，全國鐵路客流量達到4640萬人次，將4640萬用科學記數法可表示為（）A.0.464×109B.4.64×108C.4.64×107D.46.4×106解析：4640萬=46400000=4.64×107.故選C.C例12如果一個數是a×10n,另一個數是b×10n+1,其中1≤|a|<10,1≤|b|<10,且a,b同號，那么稱這兩個數差一個數量級.現在知道太陽的半徑長約為695500km，地球的半徑長約為6400km，那么695500與6400差幾個數量級？分析：解決此問題的關鍵是要理解題中所給新定義“一個數量級”的意義.由題目中的已知條件可知，兩個數差“一個數量級”時，這兩個數寫成科學記數法的形式后，10的指數相差1，所以將題目中的兩個數都先寫成科學記數法的形式，再比較10的指數相差幾，就是差幾個數量級.解：695500=6.55×105,6400=6.4×103.因為5-3=2，所以這兩個數差兩個數量級.近似數準確數與近似數概念示例準確數確切地反映了實際的數我們學校有3個年級，約270人.其中3是一個準確數，270是一個近似數知識解讀在判斷準確數時，很多情況下都要依靠實際生活經驗近似數與實際數接近，但有差別的數注意判斷一個數是準確數還是近似數，就是看這個數是確切反映了真實數據還是接近于真實數據，前者是準確數，后者是近似數.

有關近似數的幾點說明近似數不是錯誤數，它在現實生活中大量存在.近似數產生的原因一般有三種：第一，測量得到的數都是近似數；第二，“計算”產生的近似數，如除不盡，有圓周率π參與計算的結果等；第三，不容易或不必要得到準確數時，可以使用近似數.例1下列問題出現的數，哪些是準確數？哪些是近似數？（1）某中學七年級有897人；（2）李華的身高約為1.6m；（3）一本書共有256頁；（4）公園門口每天經過大約30000輛車；（5）今天的平均氣溫約是28℃.解：（1）（3）中給出的數是準確數；（2）（4）（5）中給出的數是近似數.判斷一個數是準確數還是近似數的關鍵在于判斷這個數在實際問題中是否可以準確得到.若出現“接近于”“約為”等字眼，即為近似數.根據精確度取近似數敘述近似數的精確度近似數與精確數的接近程度，可用精確度表示.一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位知識解讀（1）精確度的語言表達：精確到某一位.精確到小數點后第二位、精確到百分位與精確到0.01這三種說法含義一樣.（2）按照精確度確定的近似數的末位數字如果是0，不能隨便去掉，如1.8和1.80的精確度不同，1.8是精確到0.1,而1.80是精確到0.01巧記樂背知近似數求精確度，要看原數的最后一個數字，所在數位是精確度；知精確度求近似數，找到相應的那位數，其后數字四舍五入.（1）確定一個近似數的精確度的方法：一個近似數的最后一個數字所在的數位便是該近似數精確到的數位；（2）根據精確度求一個近似數的方法：先分析題目要求的精確度是哪一位，再對這個數位的下一數位上的數字進行四舍五入.例2按括號內的要求，用四舍五入法對下列各數取近似數：（1）1.5982（精確到0.01）；（2）3.3074（精確到個位）；（3）26074（精確到千位）.解：（1）1.5982≈1.60.（2）3.3074≈3.（3）26074≈2.6×104.當近似數后有單位時，確定精確度時容易出現錯誤例3近似數0.0043萬精確到_______位.個本題易忽略了0.0043后面還有單位“萬”，僅根據0.0043就確定“3”的位置是萬分位.對實際問題中取近似數的方法理解不透解：因為77÷4=19.25，所以至少需要20輛這樣的卡車才能一次運完這些沙子.例4一輛卡車最多能裝4t沙子，現有沙子77t,至少需要多少輛這樣的卡車才能一次運完這些沙子？本題易出現錯解：“因為77÷4=19.25，所以至少需要19輛這樣的卡車才能一次運完這些沙子.”事實上，有些實際問題根據題意應采用“去尾法”或“進一法”來取近似數.題型一判斷一個近似數的精確度例5下列近似數分別精確到哪一位？（1）0.6370；（2）3.61萬；（3）6.0×105.解：（1）0.6370精確到萬分位.（2）3.61萬=36100，原數的最后一個數字1所在數位是百位，所以3.61萬精確到百位.（3）6.0×105=600000，原數的最后一個數字0所在數位是萬位，所以6.0×105精確到萬位.方法點撥在求一個近似數的精確度時，要注意（2）（3）這兩種情況.在這兩種情況中，應該先把它們還原為一般形式，再看原數的最后一個數字在哪一位,即精確到那一位.題型二確定近似數的取值范圍例6李飛的身高經測量約1.71米，若李飛的實際身高記為x，則他的實際身高范圍為（）A．1.7≤x≤1.8B．1.705＜x＜1.715C．1.705≤x＜1.715D．1.705≤x≤1.715解析：近似數1.71精確到百分位，就是將千分位上的數字四舍五入得到的.若千分位上的數字大于或等于5，則百分位上的數字應是“0”，十分位上的數字是“7”；若千分位上的數字小于5，則百分位上的數字應是“1”，十分位上的數字是“7”，故他的實際身高范圍為1.705≤x<1.715.故選C.C題型三根據實際需要靈活選取近似值例7（1)制作某個框架需要長度為60cm的圓鋼若干根，現有一段長度是4m的圓鋼，則這根圓鋼最多能截成多少根符合要求的圓鋼？（2)現有734kg的大米需要分袋包裝,如果每個袋子可裝10k