微點(diǎn)優(yōu)化拓展-三棱錐外接球球心和半徑的探究

微點(diǎn)優(yōu)化拓展——三棱錐外接球球心和半徑的探究外接球問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的一個(gè)非常好的載體，本類問題是高考命題的熱點(diǎn)．整理近幾年有關(guān)球的考題，發(fā)現(xiàn)球的考題大多數(shù)與三棱錐結(jié)合．本課時(shí)以三棱錐的外接球?yàn)橹黝}，對(duì)三棱錐外接球考題從尋找球心位置這一本源角度出發(fā)進(jìn)行分類探究，通過例題及其層層變式，提升學(xué)生應(yīng)對(duì)外接球考題的策略和能力．12目錄3類型一側(cè)棱垂直底面的三棱錐外接球類型二正三棱錐外接球球心的探究類型三有兩個(gè)側(cè)面相互垂直的三棱錐外接球由于長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，且側(cè)棱和底面垂直，因此任意選取不共面的四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造出側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，此時(shí)其外接球與長(zhǎng)方體為同一個(gè)外接球，直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)．常見題型是側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形．如圖1、圖2、圖3所示．類型一側(cè)棱垂直底面的三棱錐外接球[例1]《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，若三棱錐P-ABC為鱉臑，其中PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝3，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則該球的體積是(

)[答案]

A[解析]

如圖所示，該三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形，可以將四個(gè)頂點(diǎn)放入正方體中，且PC為體對(duì)角線，即為外接球的直徑，正方體的中心為球心．[思維建模]此種類型題目常見的變式考查的是三棱錐中有一條側(cè)棱(設(shè)長(zhǎng)度為h)垂直于底面，但是底面不是直角三角形(設(shè)其外接圓的半徑為r)．這種情況下，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)不完全是某個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，因此其外接球和長(zhǎng)方體的外接球不是同一個(gè)外接球(學(xué)生很容易誤認(rèn)為還是同一個(gè))，如圖1所示，這種題型的球心位置通常把三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，此時(shí)三棱錐與補(bǔ)形成的直三棱柱的外接球?yàn)橥粋€(gè)外接球，球心在上、下底面的外接圓圓心連線的中點(diǎn)位置，如圖2所示，可以得到外接答案：C

正三棱錐作為一種特殊的三棱錐，其外接球問題也是?？紗栴}，根據(jù)正三棱錐的定義，正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)不可能為長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)．由于球心到底面三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，因此球心在正三棱錐的高上．[例2]已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐P-ABC全部頂點(diǎn)都在表面積為16π的球O的球面上，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為

(

)類型二正三棱錐外接球球心的探究[答案]

C答案：36π設(shè)外接球的半徑為R，在Rt△OO1A中，OA2＝OO12＋O1A2，[遷移發(fā)散]由于底面三角形的截面為一個(gè)圓，因此此種題型常見的變式為圓錐的外接球問題，球心及其半徑的求法與正三棱錐一致．正方體中側(cè)面和底面垂直，因此在側(cè)面和底面中各取一個(gè)三角形可以組成有兩個(gè)面互相垂直的三棱錐，如圖1所示．此題型的一般解法是先找兩個(gè)互相垂直面的外心，然后過外心分別作面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)就是三棱錐外接球的球心，如圖2所示．類型三有兩個(gè)側(cè)面相互垂直的三棱錐外接球[例3]已知三棱錐A-BCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，DB⊥DA且平面DAB⊥平面ABC，則該三棱錐外接球的表面積為(

)[答案]

D[解析]

如圖所示，Rt△DAB的外心為斜邊AB的中點(diǎn)O1，由于平面DAB⊥平面ABC，因此過O1且垂直平面DAB的直線為CO1.等邊△ABC的外接圓圓心為O2，O2在CO1上，因此過O2作平面ABC的垂線與CO1交于點(diǎn)O2，即O2為球心，O2A為球的半徑．[應(yīng)用體驗(yàn)]答案：A

4．已知三棱錐D-ABC中，平面DAB⊥平面ABC，△ABC和△DAB均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為________．解析：如圖所示，O1，O2分別為△ABC和△DAB的外心，過點(diǎn)O1，O