廣西桂林市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

桂林市2022~2023學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二年級(jí)數(shù)學(xué)（考試用時(shí)120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．2．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上答題（在本試卷上答題無效）．第Ⅰ卷選擇題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出其準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為則兩點(diǎn)間距離為（）A.2 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入空間中兩點(diǎn)之間的距離的公式，整理成最簡結(jié)果，得到要求的A與B之間的距離【詳解】∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)之間的距離公式，意在考查計(jì)算能力，是一個(gè)基礎(chǔ)題，3.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，從而利用可求傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，，故選：B4.對(duì)于空間向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，知它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是空間向量的平行或共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.5.兩圓和的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑差、半徑和的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】因?yàn)閳A的圓心，半徑，圓圓心，半徑而,，，兩圓和相交.故選：B6.一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定從100件中任取五件的取法數(shù)，再確定任取5件，則恰有1件不合格品的取法數(shù)，即可求得答案.【詳解】一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中任取5件，共有種取法；其中恰有1件不合格品的取法有種取法，故恰有1件不合格品的概率是，故選：A.7.如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】故選：B8.我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”.設(shè)（）為優(yōu)美橢圓，、分別為它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則等于（）A.90° B.75° C.60° D.72°【答案】A【解析】【分析】由可得，根據(jù)余弦定理即可求得．【詳解】∵，∴．在橢圓中，，，，，，，∴，所以等于．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，則下列正確的有（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.的坐標(biāo)為D.直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)解析式得，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.【詳解】雙曲線，則，則，，故A正確；雙曲線的漸近線方程為，故B正確；左焦點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；直線斜率，，則直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.10.在的展開式中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.常數(shù)項(xiàng)是20 B.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.第3項(xiàng)是 D.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0【答案】AC【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式和賦值法求解.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為；令可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，A錯(cuò)誤；第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，B正確；令可得，所以第三項(xiàng)為，C錯(cuò)誤；令可得所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0，D正確.故選：AC.11.“50米跑”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測試項(xiàng)目中的一項(xiàng)．已知某地區(qū)高中女生的“50米跑”測試數(shù)據(jù)（單位：秒）服從正態(tài)分布，且．現(xiàn)從該地區(qū)高中女生中隨機(jī)抽取5人，并記這5人“50米跑”的測試數(shù)據(jù)落在內(nèi)的人數(shù)為，則下列正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，二項(xiàng)分布的概念及期望逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，故，，則，故A錯(cuò)誤，B正確；5人“50米跑”的測試數(shù)據(jù)符合二項(xiàng)分布，即，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)（）A.第二天去甲餐廳概率為0.54B.第二天去乙餐廳的概率為0.44C.第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為D.第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè):第一天去甲餐廳，:第二天去甲餐廳，:第一天去乙餐廳，:第二天去乙餐廳，所以，，，因?yàn)?，所以，所以?因此選項(xiàng)A正確,，因此選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D不正確，故選：AC第Ⅱ卷非選擇題三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13計(jì)算：__________．【答案】6【解析】【分析】直接借助階乘運(yùn)算即可.詳解】,故答案為：6.14.一位足球運(yùn)動(dòng)員在有人防守的情況下，射門命中的概率，用隨機(jī)變量表示他一次射門的命中次數(shù)，則__________．【答案】##【解析】【分析】先求出期望，借助期望求方差.【詳解】由題知，一次射門命中次數(shù)為0次或1次，,因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，,故答案為：15.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則______．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出其準(zhǔn)線方程，再結(jié)合拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線C：的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由拋物線定義得：，，因AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則有，所以．故答案為：1316.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢既同則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)．若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意得，解得，則雙曲線的方程為.作直線，交雙曲線于點(diǎn)，交漸近線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則，∴，∴.根據(jù)祖暅原理，可得該幾何體與底面積為、高為6的柱體體積相等，故所求體積為.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說明?證明過程及演算步驟．17.已知直線與的交點(diǎn)為.（1）求交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過交點(diǎn)且平行于直線的直線方程.【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是;(2)直線方程為.【解析】【詳解】試題分析：（1）聯(lián)立兩條直線的方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)條件可設(shè)所求直線方程為，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得到參數(shù)值．解析：（1）由解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）因?yàn)樗笾本€與平行，所以設(shè)所求直線方程為把點(diǎn)坐標(biāo)代入得，得.故所求的直線方程為.18.從6名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各共有多少種不同的排法？（寫出計(jì)算過程，并用數(shù)字作答）（1）甲?乙兩人必須跑中間兩棒；（2）若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒．【答案】（1）24（2）72【解析】【分析】（1）由甲?乙兩人必須跑中間兩棒，甲乙之間會(huì)有一個(gè)排列，余下的兩個(gè)位置需要在剩余4人中選出共有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.（2）由題意可將甲乙兩人捆綁，并且有種結(jié)果，其余4人選出兩人和甲乙組合成三個(gè)元素的排列共有種結(jié)果，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【小問1詳解】甲?乙兩人跑中間兩棒，甲乙兩人的排列有種，剩余兩棒從余下的4個(gè)人中選兩人的排列有種，故有種；【小問2詳解】若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒，甲乙兩人相鄰兩人的排列有種，其余4人選兩人和甲乙組合成三個(gè)元素的排列有種，故有種．19.已知圓，點(diǎn)（1）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的長；（2）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）點(diǎn)在圓外，切線的方程為或【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行計(jì)算，可求出結(jié)果.（2）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定可得結(jié)果，對(duì)直線斜率存在和不存在分別進(jìn)行討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出直線方程【小問1詳解】由已知可知圓心到直線的距離，圓的半徑長為2，得【小問2詳解】將點(diǎn)代入圓的方程可得：，所以，點(diǎn)在圓外；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，圓心到直線距離為2，正好等于半徑，此時(shí)直線與圓相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，即圓心到直線的距離為，解得此時(shí)直線方程為：綜上可知切線方程為或．20.2022年11月30日7時(shí)33分，翹盼已久的神舟十四航天員乘組順利打開“家門”熱烈歡迎神舟十五的親人入駐“天宮”．太空奇跡，源于一代代航天人的篳路藍(lán)縷?薪火相傳．為激發(fā)同學(xué)們對(duì)航天科學(xué)的興趣，某校舉辦航天知識(shí)競答，每班各選派兩名同學(xué)代表班級(jí)回答4道題，每道題隨機(jī)分配給其中一個(gè)同學(xué)回答．小明?小紅兩位同學(xué)代表高二1班答題，假設(shè)每道題小明答對(duì)的概率為，小紅答對(duì)的概率為，且每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記高二1班答對(duì)題目的數(shù)量為隨機(jī)變量．（1）若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若高二1班至少答對(duì)一道題的概率不小于，求的最小值．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】(1)先計(jì)算答對(duì)某道題的概率，而的可能取值為，逐一計(jì)算概率，再寫分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)根據(jù)題意列出不等式，求解即可.【小問1詳解】的可能取值為高二1班答對(duì)某道題的概率則．則得分布列為01234則【小問2詳解】高二1班答對(duì)某道題的概率為，答錯(cuò)某道題的概率為．則，解得，所以的最小值為．21.如圖，在三棱柱中，平面，，，線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因?yàn)?，所以，即，【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為：.【點(diǎn)睛】22.已知橢圓，以拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試問在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用橢圓以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為，求出，即可求橢圓E的方程；