高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第12講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（原卷版+解析版 ）

第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．3．（2022·天津南開·三模）函數(shù)，的圖象大致為（

）．A． B．C． D．4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）

A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的值域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（多選）（2022·山東棗莊·三模）已知、，且，則（

）A． B．C． D．10．（多選）（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．11．（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）已知，則，則A等于__________．12．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則___________，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.13．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_______．14．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則之間的大小關(guān)系是__________.（用“”連接）15．（2022·北京·北大附中三模）對(duì)于函數(shù)和，給出下列四個(gè)結(jié)論：①設(shè)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則是的真子集.②函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0.③函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.④函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.16．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，且在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17．（2022·天津·漢沽一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求不等式的解集;（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有個(gè)不等實(shí)根，求的最小值.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．3．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）定義“正對(duì)數(shù)”：，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則，其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（多選）（2022·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)，．若實(shí)數(shù)a，b(a，b均大于1)滿足，則下列說法正確的是(

)A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．D．5．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則的取值范圍是___________.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知：函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值．(2)證明：在上是增函數(shù)．(3)若對(duì)于上的每一個(gè)x的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，令，則，所以，因此，.故選：B.2．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，所以．故選：C.3．（2022·天津南開·三模）函數(shù)，的圖象大致為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，所以，且，所以，可排除A、B、C.故選：D.4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，另一方面，時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，因,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的值域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以取得一切正數(shù)，即方程有實(shí)數(shù)解，得，解得或；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恒成立，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.故選：B6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，，函數(shù)，由和復(fù)合而成，因?yàn)闀r(shí)，在上是增函數(shù)，所以只要求的單調(diào)增區(qū)間．的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為，故選：．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依題意，等價(jià)于，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，如圖所示：如圖可得的解集為：.故選：D.8．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A9．（多選）（2022·山東棗莊·三模）已知、，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，此時(shí)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，D對(duì).故選：ABD.10．（多選）（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】∵，∴，，∴.設(shè)，∵，，在上先增后減，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴設(shè)，∵，，在上先增后減，∴.∴.故選：BC.11．（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）已知，則，則A等于__________．【答案】【解析】∵,∴，.∴，.又∵,,即，∴，.故答案為：12．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則___________，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】

【解析】等價(jià)于①或②由①得；由②得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：；13．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_______．【答案】16【解析】∵，則可得∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴故答案為：16．14．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則之間的大小關(guān)系是__________.（用“”連接）【答案】【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，則，因?yàn)椋?，，所以，所以，?故答案為：.15．（2022·北京·北大附中三模）對(duì)于函數(shù)和，給出下列四個(gè)結(jié)論：①設(shè)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則是的真子集.②函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0.③函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.④函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①③④【解析】對(duì)于①，由題意得，函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域.所以是的真子集，則①正確.對(duì)于②，，則在處的切線斜率，則②錯(cuò)誤.對(duì)于③，的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間，上都是單調(diào)遞減且值為正，又因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，因此復(fù)合后得到的在這兩個(gè)區(qū)間上也是單調(diào)遞減，則③正確.④只需驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，則④正確.故答案為：①③④.16．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，且在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，又，且在為增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17．（2022·天津·漢沽一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求不等式的解集;（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有個(gè)不等實(shí)根，求的最小值.【解】解:（1）因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)﹐令在上遞減，而函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以，解得或綜上，原不等式的解集是（2）設(shè)，則.因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間內(nèi)有個(gè)不等實(shí)根﹐所以方程有個(gè)不等實(shí)根，其中，所以即，解得，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)有最小值，最小值為.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.2．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，所以.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以.即當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.令，則，所以不等式可化為：.當(dāng)時(shí)，不合題意舍去.當(dāng)時(shí)，對(duì)于.因?yàn)樵谏线f增，在上遞增，所以在上遞增.又，所以由可解得：，即，解得：.故選：C3．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）定義“正對(duì)數(shù)”：，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則，其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)槎x的“正對(duì)數(shù)”：是一個(gè)分段函數(shù)，所以對(duì)命題的判斷必須分情況討論：對(duì)于命題①（1）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；這樣若，則，即命題①正確.對(duì)于命題②舉反例：當(dāng)時(shí)，，，所以，即命題②不正確.對(duì)于命題③，首先我們通過定義可知“正對(duì)數(shù)”有以下性質(zhì)：，且，（1）當(dāng)，時(shí)，，而，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，，而，因?yàn)?，所以；?）當(dāng)，時(shí)，有，，而，所以；（4）當(dāng)，時(shí)，，而，所以，綜上即命題③正確.對(duì)于命題④首先我們通過定義可知“正對(duì)數(shù)”還具有性質(zhì)：若，則，（1）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（3）當(dāng)，時(shí)，與（2）同理，所以；（4）當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)椋?，從而，綜上即命題④正確.通過以上分析可知：錯(cuò)誤的命題為②.故選：A4．（多選）（2022·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)，．若實(shí)數(shù)a，b(a，b均大于1)滿足，則下列說法正確的是(

)A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，，在上恒成立，定義域?yàn)?，即的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，，，，，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，和單調(diào)性相同，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，令，則在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，，，，故D正確．故選：AD．5．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】原不等式或，因?yàn)?所以（1）或（2）.當(dāng)時(shí)，（2）成立，此時(shí).當(dāng)，時(shí)，（1）成立，因?yàn)樵冢?）中，，令，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以要使（1）對(duì)，成立，只需時(shí)成立.又時(shí)，.所以使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，的取值范圍是：.故答案為：6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知：函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1