應(yīng)用MATLAB進(jìn)行非線性回歸分析

應(yīng)用MATLAB進(jìn)行非線性回歸分析摘要早在十九世紀(jì)，英國生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓在研究父與子身高的遺傳問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)子代的平均高度又向中心回歸大的意思，使得一段時(shí)間內(nèi)人的身高相對穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的其他分支中。隨著計(jì)算機(jī)的開展，各種統(tǒng)計(jì)軟件包的出現(xiàn)，回歸分析的應(yīng)用就越來越廣泛?；貧w分析處理的是變量與變量間的關(guān)系。有時(shí)，回歸函數(shù)不是自變量的線性函數(shù)，但通過變換可以將之化為線性函數(shù)，從而利用一元線性回歸對其進(jìn)行分析，這樣的問題是非線性回歸問題。下面的第一題：煉鋼廠出鋼水時(shí)用的鋼包，在使用過程中由于鋼水及爐渣對耐火材料的侵蝕，使其容積不斷增大。要找出鋼包的容積用盛滿鋼水時(shí)的質(zhì)量與相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的定量關(guān)系表達(dá)式，就要用到一元非線性回歸分析方法。首先我們要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，描出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量之間可能的函數(shù)關(guān)系，對題中的非線性函數(shù)，參數(shù)估計(jì)是最常用的“線性化方法〞，即通過某種變換，將方程化為一元線性方程的形式，接著我們就要對得到的一些曲線回歸方程進(jìn)行選擇，找出到底哪一個(gè)才是更好一點(diǎn)的。此時(shí)我們通?？刹捎脙蓚€(gè)指標(biāo)進(jìn)行選擇，第一個(gè)是決定系數(shù)，第二個(gè)是剩余標(biāo)準(zhǔn)差。進(jìn)而就得到了我們想要的定量關(guān)系表達(dá)式。第二題：給出了某地區(qū)1971—2000年的人口數(shù)據(jù)，對該地區(qū)的人口變化進(jìn)行曲線擬合。也用到了一元非線性回歸的方法。首先我們也要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，描出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，然后用MATLAB編程進(jìn)行回歸分析擬合計(jì)算輸出利用

Logistic模型擬合曲線。關(guān)鍵詞：參數(shù)估計(jì)，

Logistic模型，MATLAB正文一、一元非線性回歸分析的求解思路：求解函數(shù)類型并檢驗(yàn)。求解未知參數(shù)?？苫€回歸為直線回歸，用最小二乘法求解；可化曲線回歸為多項(xiàng)式回歸。二、回歸曲線函數(shù)類型的選取和檢驗(yàn)1、直接判斷法2、作圖觀察法，與典型曲線比擬，確定其屬于何種類型，然后檢驗(yàn)。3、直接檢驗(yàn)法〔適應(yīng)于待求參數(shù)不多的情況〕4、表差法〔適應(yīng)于多想式回歸，含有常數(shù)項(xiàng)多于兩個(gè)的情況〕三、化曲線回歸為直線回歸問題用直線檢驗(yàn)法或表差法檢驗(yàn)的曲線回歸方程都可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為直線回歸方程，利用線性回歸分析方法可求得相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值。題目：例煉鋼廠出鋼水時(shí)用的鋼包，在使用過程中由于鋼水及爐渣對耐火材料的浸蝕，其容積不斷增大?，F(xiàn)在鋼包的容積用盛滿鋼水時(shí)的重量y(kg)表示，相應(yīng)的試驗(yàn)次數(shù)用x表示。數(shù)據(jù)見表，要找出y與x的定量關(guān)系表達(dá)式。表8.5.1鋼包的重量y與試驗(yàn)次數(shù)x數(shù)據(jù)序號xy序號xy12106.42811110.5923108.20914110.6034109.581015110.9045109.501116110.7657110.001218111.0068109.931319111.20710110.49

1)1/y=a+b/xy=a+blnxformatlongx=[23457810111415161819];y=[106.42108.20109.58109.5110109.93110.49110.59110.60110.9110.76111111.20];plot(x,y,‘k+’);%數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x1=1./x;y1=1./y;plot(x1,y1,‘k+’);%變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x2=[ones(13,1)x1'];[b,bint,rint,stats]=regress(y1',x2);z=b(1)+b(2)*x1;yc=1./z;plot(x1,y1,‘k+’,x1,z,‘r’)%變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線圖變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖及回歸直線圖R2=1-sum((y-yc).^2)/lyy;%模型的擬合優(yōu)度系數(shù)

plot(x,y,‘k+’,x,yc,‘r’)%數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸曲線圖

legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b=0.00896662968057

0.00082917436336

R2=0.97292374957556第一種方法的程序：formatlongx=[23457810111415161819];y=[106.42108.20109.58109.5110109.93110.49110.59110.60110.9110.76111111.20];plot(x,y,‘k+’);%數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x1=1./x;y1=1./y;plot(x1,y1,‘k+’);%變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖x2=[ones(13,1)x1'];[b,bint,rint,stats]=regress(y1',x2);z=b(1)+b(2)*x1;yc=1./z;plot(x1,y1,‘k+’,x1,z,‘r’)%變換后數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和回歸直線圖n=length(x);lyy=sum(y.^2)-n*(mean(y))^2;R2=1-sum((y-yc).^2)/lyy;%模型的擬合優(yōu)度系數(shù)b=0.00896662968057

0.00082917436336

R2=0.97292374957556用類似的方法可以得出其它三個(gè)曲線回歸方程，它們分別是：第二種方法的程序：formatlongx=[23457810111415161819];y=[106.42108.20109.58109.5110109.93110.49110.59110.60110.9110.76111111.20];x1=log(x);y1=y;x2=[ones(13,1)x1'];[b,bint,rint,stats]=regress(y1',x2);bz=b(1)+b(2)*x1;yc=z;n=length(x);lyy=sum(y.^2)-n*(mean(y))^2;R2=1-sum((y-yc).^2)/lyy;plot(x,y,'k+',x,yc,‘c');legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b=1.0e+002*R2=0.87731500489620第三種方法的程序：formatlongx=[23457810111415161819];y=[106.42108.20109.58109.5110109.93110.49110.59110.60110.9110.76111111.20];x1=sqrt(x);y1=y;x2=[ones(13,1)x1'];[b,bint,rint,stats]=regress(y1',x2);bz=b(1)+b(2)*x1;yc=z;n=length(x);lyy=sum(y.^2)-n*(mean(y))^2;R2=1-sum((y-yc).^2)/lyy;plot(x,y,'k+',x,yc,'k');legend('散點(diǎn)圖','回歸函數(shù)')b=1.0e+002*1.06301275014382三種方法的擬合效果比擬：R2=0.97292374957556R2=0.877315004896201.原始數(shù)據(jù)下表給出了某地區(qū)1971—2000年的人口數(shù)據(jù)〔表1〕。試分別用Matlab和SPSS軟件，對該地區(qū)的人口變化進(jìn)行曲線擬合。表1某地區(qū)人口變化數(shù)據(jù)年份時(shí)間變量t=年份-1970人口y/人197113381519722339811973334004197443416519755342121976634327197773434419788344581979934498198010344761981113448319821234488198313345131984143449719851534511198616345201987173450719881834509198919345211990203451319912134515199222345171993233451919942434519199525345211996263452119972734523199828345251999293452520003034527根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，做出散點(diǎn)圖，見圖1。圖1某地區(qū)人口隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖從圖1可以看出，人口隨時(shí)間的變化呈非線性過程，而且存在一個(gè)與橫坐標(biāo)軸平行的漸近線，故可以用Logistic曲線模型進(jìn)行擬合。因?yàn)長ogistic曲線模型的根本形式為：所以，只要令：，就可以將其轉(zhuǎn)化為直線模型：下面，我們分別用Matlab和SPSS軟件進(jìn)行回歸分析擬合計(jì)算。2．用Matlab編程進(jìn)行回歸分析擬合計(jì)算源程序〔Nonlinear-Regression-Model.m〕，如下：clearclc%讀入人口數(shù)據(jù)〔1971－2000年〕y=[338153398134004341653421234327343443445834498344763448334488345133449734511345203450734509345213451334515345173451934519345213452134523345253452534527];%讀入時(shí)間變量數(shù)據(jù)〔t＝年份－1970〕t=[123456789101112131415161718192021222324252627282930];%線性化處理fort=1:30,x(t)=exp(-t);y(t)=1/y(t,1);end%計(jì)算，并輸出回歸系數(shù)Bc=zeros(30,1)+1;X=[c,x'];B=inv(X'*X)*X'*yfori=1:30,%計(jì)算回歸擬合值z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);%計(jì)算離差s(i)=y(i)-sum(y)/30;%計(jì)算誤差w(i)=z(i)-y(i);end%計(jì)算離差平方和SS=s*s';%回歸誤差平方和QQ=w*w';%計(jì)算回歸平方和UU=S-Q;%計(jì)算，并輸出F檢驗(yàn)值F=28*U/Q%計(jì)算非線性回歸模型的擬合值forj=1:30,Y(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));end%輸出非線性回歸模型的擬合曲線〔Logisic曲線〕plot(T,Y)上述程序運(yùn)行后，輸出〔1〕輸出回歸系數(shù)B及F檢驗(yàn)值如下：B=1.0e-0