2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第3講對角互補模型含解析

2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第3講對角互補模型含解析中考數(shù)學(xué)幾何模型3：對角互補模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要：含90°的對角互補，含120°的對角互補，兩種類型，種類不同，得出的個別結(jié)論會有所區(qū)別。解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點作兩垂線.類型一：含90°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：作法1作法2；；（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：作法1作法2；； 類型二：含120°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：作法1作法2；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值．變式練習(xí)>>>1.角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．（1）求證：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．例題2.四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一條對角線AC的長度為2，求四邊形ABCD的面積．變式練習(xí)>>>2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若這個四邊形的面積為12，則BC+CD=_______.例題3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE＝2PF時，AP＝．變式練習(xí)>>>3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝（）A． B． C． D．例題4.用兩個全等且邊長為4的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？（直接寫出結(jié)論，不用證明）；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）在上述情況中，△AEC的面積是否會等于？如果能，求BE的長；如果不能，請說明理由．變式練習(xí)>>>4.我們規(guī)定：橫、縱坐標相等的點叫做“完美點”．（1）若點A（x，y）是“完美點”，且滿足x+y＝4，求點A的坐標；（2）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A坐標為（0，4），連接OB，E點從O向B運動，速度為2個單位/秒，到B點時運動停止，設(shè)運動時間為t．①不管t為何值，E點總是“完美點”；②如圖2，連接AE，過E點作PQ⊥x軸分別交AB、OC于P、Q兩點，過點E作EF⊥AE交x軸于點F，問：當E點運動時，四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化？若不改變，求出面積的值；若改變，請說明理由．例題5.已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用圖1，求證：PA＝PB；（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S△POB＝3S△PCB時，求PB與PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD＝∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長．達標檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE，連結(jié)DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③四邊形CDFE的面積保持不變；④DE長度的最小值為4；⑤△CDE面積的最大值為8，其中正確的結(jié)論是______________.2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，求BE的長.3.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE＝2CE，連接BE．過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF．求：（1）CF的長；（2）OF的長．4.如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN＝α，將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．（1）如圖①，當α＝90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC＝120°的菱形，其他條件不變，當α＝60°時，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF＝AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．5.“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．6.（2019·貴陽適應(yīng)性）如圖①，已知AC=BC，AC⊥BC，直線MN經(jīng)過點B，過點A作AD⊥MN，垂足為D，連接CD．（1）動手操作：根據(jù)題意，請利用尺規(guī)將圖①補充完整；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）探索證明：在補充完成的圖①中，猜想CD、BD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）探索拓廣：一天小明一家在某公園游玩時走散了，電話聯(lián)系后得知，三人的位置如圖②，爸爸在A處，媽媽在C處，小明在D處，B為公園大門口，若B、D在直線MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公園門口的距離BD的長度.中考數(shù)學(xué)幾何模型3：對角互補模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要：含90°的對角互補，含120°的對角互補，兩種類型，種類不同，得出的個別結(jié)論會有所區(qū)別。解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點作兩垂線.類型一：含90°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2類型二：含120°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值．【解答】解：當OP∥AD或OP經(jīng)過C點，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，即25，當OP在如圖位置時，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，如圖在Rt△OEG與Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，∴S四邊形OHCG＝S四邊形OECF＝25，即兩個正方形重疊部分的面積為25．變式練習(xí)>>>1.角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．（1）求證：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；例題2.四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一條對角線AC的長度為2，求四邊形ABCD的面積．【解答】解：將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)90°，使B與D重合，C到C′點，則有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直線上，則ACDC′是三角形，又因為AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形ACC′的面積，所以S四邊形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．變式練習(xí)>>>2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若這個四邊形的面積為12，則BC+CD=_______.答案：例題3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE＝2PF時，AP＝3．【解答】解：如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案為3．變式練習(xí)>>>3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接BF，取BF的中點O，連接OE，OC．∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F(xiàn)，E四點共圓，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故選：B．【本題兩種方法解答，過E作兩垂線亦可】例題4.用兩個全等且邊長為4的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？（直接寫出結(jié)論，不用證明）；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）在上述情況中，△AEC的面積是否會等于？如果能，求BE的長；如果不能，請說明理由．【解答】解：（1）BE＝CF．證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（3）能．△AEC的CE邊上的高為等邊△ABC的高，為2，∵△AEC的面積等于，∴底邊CE＝2，∴BE＝6或2．變式練習(xí)>>>4.我們規(guī)定：橫、縱坐標相等的點叫做“完美點”．（1）若點A（x，y）是“完美點”，且滿足x+y＝4，求點A的坐標；（2）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A坐標為（0，4），連接OB，E點從O向B運動，速度為2個單位/秒，到B點時運動停止，設(shè)運動時間為t．①不管t為何值，E點總是“完美點”；②如圖2，連接AE，過E點作PQ⊥x軸分別交AB、OC于P、Q兩點，過點E作EF⊥AE交x軸于點F，問：當E點運動時，四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化？若不改變，求出面積的值；若改變，請說明理由．【解答】解（1）∵點A（x，y）是“完美點”∴x＝y(tǒng)∵x+y＝4∴x＝2，y＝2∴A點坐標（2，2）（2）①∵四邊形OABC是正方形，點A坐標為（0，4），∴AO＝AB＝BC＝4∴B（4，4）設(shè)直線OB解析式y(tǒng)＝kx過B點∴4＝4kk＝1∴直線OB解析式y(tǒng)＝x設(shè)點E坐標（x，y）∵點E在直線OB上移動∴x＝y(tǒng)∴不管t為何值，E點總是“完美點”．例題5.已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用圖1，求證：PA＝PB；（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S△POB＝3S△PCB時，求PB與PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD＝∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長．【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為E、F∵四邊形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，∴∠EPA＝∠FPB，由角平分線的性質(zhì)，得PE＝PF，∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；（2）∵S△POB＝3S△PCB，∴PO＝3PC，由（1）可知△PAB為等腰三角形，則∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，∴＝，即PB2＝PO?PC＝3PC2，∴＝達標檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE，連結(jié)DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③四邊形CDFE的面積保持不變；④DE長度的最小值為4；⑤△CDE面積的最大值為8，其中正確的結(jié)論是______________.答案：①②③2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，求BE的長.答案：3.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE＝2CE，連接BE．過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF．求：（1）CF的長；（2）OF的長．【解答】解：（1）如圖，在BE上截取BG＝CF，連接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG與△OCF中，，∴△OBG≌△OCF（SAS），∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF?BE，則62＝BF?2解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF?EF，∴CF＝；4.如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN＝α，將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．（1）如圖①，當α＝90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是DE+DF＝AD；（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC＝120°的菱形，其他條件不變，當α＝60°時，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF＝AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．【解答】解：（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，∵四邊形ABCD為∠ADC＝120°的菱形，∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，∴△MDP是等邊三角形，∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，∵∠PAM＝30°，∴∠MPD＝60°，∵∠QPN＝60°，∴∠MPE＝∠FPD，在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；5.“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點E在線段AC上，則＝1；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【解答】解：（1）當m＝n時，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案為1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案為．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①當E在線段AC上時，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此種情況不存在，6.（2019·貴陽適應(yīng)性）如圖①，已知AC=BC，AC⊥BC，直線MN經(jīng)過點B，過點A作AD⊥MN，垂足為D，連接CD．（1）動手操作：根據(jù)題意，請利用尺規(guī)將圖①補充完整；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）探索證明：在補充完成的圖①中，猜想CD、BD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）探索拓廣：一天小明一家在某公園游玩時走散了，電話聯(lián)系后得知，三人的位置如圖②，爸爸在A處，媽媽在C處，小明在D處，B為公園大門口，若B、D在直線MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公園門口的距離BD的長度.中考數(shù)學(xué)幾何模型4：中點模型中考數(shù)學(xué)幾何模型4：中點模型名師點睛撥開云霧開門見山中點模型，提到中點，我們需要想到關(guān)于中點的以下知識點：①三角形中線平分三角形面積，等分點等分面積；②等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；④三角形中位線平行且等于第三邊的一半.這四點使我們已經(jīng)深入學(xué)習(xí)過的有關(guān)中點運用的知識點，今天重點在結(jié)合四點的基礎(chǔ)上探究另外一種中點模型，我們簡稱“平中對模型”，即“平行線+中點+對頂角”構(gòu)造全等或相似模型，與倍長中線法相通。典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點M、Q、N．求證：MQ＝QN．【解答】證明：連接BG和CE交于O，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中點M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．變式練習(xí)>>>1.如圖，在△ACE中，點B是AC的中點，點D是CE的中點，點M是AE的中點，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．【解答】證明：連接MB、MD，設(shè)FM與AC交于點P，∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH，∴四邊形BCDM是平行四邊形，∴∠CBM＝∠CDM，又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，∵BM∥CE，∴∠AMB＝∠E，同理：∠DME＝∠A．∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）＝∠FBC＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．例題2.如圖，已知BD、CE分別是△ABC的AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點．求證：GF⊥DE．【解答】證明：如圖，連接EG、DG，∵BD、CE分別是△ABC的AC、AB邊上的高，點G是BC的中點，∴DG＝EG＝BC，∵點F是DE的中點，∴GF⊥DE．變式練習(xí)>>>2.如圖，在△ABC中內(nèi)取一點，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，求證：DE的垂直平分線必過BC的中點M．【解答】解：取BC，PB，PC的中點M，N，F(xiàn)，連接MN，MF，E，DN，DM，EM，∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，∴四邊形NMFP是平行四邊形，∴∠PNM＝∠PFM，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴DN＝PB，EF＝PC，∴DN＝MF，MN＝EF，∵∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD，∵∠ABP＝∠ACD，∴∠DNP＝∠PFE，∴∠DNM＝∠EFM，在△DNM與△MFE中，，∴△DNM≌△MFE，∴DM＝EM，∴△DME是等腰三角形，∴底邊DE的垂直平分線（過M點）必是BC的中點M．例題3.已知：AD為△ABC的中線，AE是△ABD的中線，AB＝BD，求證：AC＝2AE．（兩種證法）【解答】（1）解：∵AD為△ABC的中線，AE是△ABD的中線，∴BD＝CD，BE＝DE，∴BE＝BD，BD＝BC；又∵AB＝BD，∴BE＝AB，AB＝BC，∴＝＝，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA；（2）證明：∵由（1）知，△ABE∽△CBA，∴＝＝，∴AC＝2AE．變式練習(xí)>>>3.如圖①，點O為線段MN的中點，PQ與MN相交于點O，且PM∥NQ，可證△PMO≌△QNO．根據(jù)上述結(jié)論完成下列探究活動：探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的長度．【解答】解：（1）AB＝AF+CF．如圖2，分別延長DC、AE，交于G點，根據(jù)圖①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；（2）如圖3，分別延長CF、AE，交于G點，根據(jù)CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．例題4.如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點，連接PG，則PG的長為．【解答】解：方法1、延長GE交AB于點O，作PH⊥OE于點H．則PH∥AB．∵P是AE的中點，∴PH是△AOE的中位線，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．故答案是：．變式練習(xí)>>>4.如圖，過邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為．【解答】解：過P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝3，∴DE＝，故答案為．例題5.如圖1，在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG.易證：EG=CG且EG⊥CG.（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想.（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖3所示，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.（3）將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)一個任意角度α，如圖4所示，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請直接寫出結(jié)論.解答：第（1）（2）略（3）解法一：如圖，延長EG至點H，使GH=EG.連接DH，CE，CH.因為點G是DF的中點，所以GF=GD.根據(jù)SAS易證△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分別延長HD與EB交于點K，HD的延長線交BC于點M.如下圖：因為EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.又∠BMK=∠CMD.根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，又因為點G是斜邊EB的中點，所以CG⊥GE且CG=GE.變式練習(xí)>>>5.請閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連結(jié)PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的值；（2）如圖2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連結(jié)PG、PC，探究PG與PC的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，原問題中的其他條件不變（如圖3），你在（2）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．【解答】解：（1）PG⊥PC，＝；理由如下：延長GP交DC于H，如圖1所示：∵四邊形ABCD和BEFG均為菱形，∴DC＝BC，GF＝BG，DC∥AE∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，∵P是線段DF的中點，∴DP＝FP，在△DHP和△FGP中，，∴△DHP≌△FGP（AAS），∴HP＝GP，DH＝FG＝BG，∴CH＝CG，∴CP⊥HG，即PG⊥PC，∵∠ABC═60°，∴∠HCG＝180°﹣60°＝120°，∴∠CGP＝（180°﹣120°）＝30°，∴＝；（3）在（2）中得到的兩個結(jié)論不發(fā)生變化；理由如下：過點F作FH∥DC交CP的延長線于H，交CB的延長線于N，交BE于M，連接CG、HG，如圖3所示：則∠CDP＝∠PFH，在△CDP和△FHP中，，∴△CDP≌△FHP（ASA），∴CP＝PH，CD＝FH，∵∠BNM＝∠MEF＝90°，∠BMN＝∠EMF，∴∠NBM＝∠EFM，∵∠CBG+∠NBM＝180°﹣90°＝90°，∠EFM+∠MFG＝90°，∴∠CBG＝∠MFG，在△CBG和△FHG中，，∴△CBG≌△FHG（SAS），∴CG＝GH，∠BGC＝∠FGH，∴∠CGH＝∠BGC﹣∠HGB＝∠FGH﹣∠HGB＝∠BGF＝90°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴PG＝PC，且PG⊥PC．達標檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖所示，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：延長BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的邊BC的中點，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故選：B．2.如圖，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD=∠ACE=90°，且點C在AB上，連接DE，M為DE中點，連接BM，CM，求證BM=CM.3.如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)是DA的中點，連接BE，與CF相交于P，求證：AP＝AB．【解答】證明：延長CF、BA交于點M，∵點E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點，在△BCE與△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF．∵∠DCF+∠BCP＝90°，∴∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠BPM＝∠CBE+∠BCP＝90°．在△CDF與△AMF中，，∴△CDF≌△AMF（AAS），∴CD＝AM，∵CD＝AB，∴AB＝AM，∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線，∴AP＝BM，即AP＝AB．4.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外側(cè)構(gòu)造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中點．求證：DM＝ME，DM⊥ME．【解答】證明：如圖，取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，∴AF＝，AG＝，∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF＝，EG⊥AC，EG＝，∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．∵M是BC的中點，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四邊形AFMG是平行四邊形，∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，∴∠DFM＝∠MGE．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴DM＝ME；∠MDF＝∠GME，∵∠MDF+∠BFD+∠BFM+∠DMF＝180°，∠BFD＝90°，∴∠MDF+∠BFM+∠DMF＝90°，∵AB∥MG，∴∠BFM＝∠GMF，∴∠GME+∠GMF+∠DMF＝90°，即∠DME＝90°，∴DM⊥ME．5.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連接DF、CF．（1）如圖1，當點D在AB上，點E在AC上，請判斷此時線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，請你判斷此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由．（3）如圖3，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，若AD＝2，AC＝3，求此時△FBC中CF邊上的高的長．（直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）DF＝CF，且DF⊥CF，理由如下：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，∴∠BDE＝90°，CF＝BE＝EF＝BF，∴DF＝BE＝EF＝BF，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠DFE+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：延長DF交BC于點G．如圖2所示：∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F為BE中點，∴EF＝BF．在△DEF和△GBF中，∴△DEF≌△GBF（AAS）．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延長DF交BA于點H，如圖3所示：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋轉(zhuǎn)可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中點，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵BC＝AC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝6，∵AD＝2，∴ED＝BH＝2，∴AH＝4，6.已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，連接DF、BF．（1）探索DF、BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)45°，再連接CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；（3）將圖1中△ADE繞A點轉(zhuǎn)動任意角度（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間），再連接CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）DF＝BF且DF⊥BF．（1分）證明：如圖1：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，∴∠CDE＝90°，∠AED＝∠ACB＝45°，∵F為CE的中點，∴DF＝EF＝CF＝BF，∴DF＝BF；（2分）∴∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，∴∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，即：∠DFB＝90°，∴DF⊥BF．（3分）（2）仍然成立．證明：如圖2，延長DF交BC于點G，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GCF，又∵EF＝CF，∠DFE＝∠GFC，∴△DEF≌△GCF，∴DE＝CG，DF＝FG，（4分）∵AD＝DE，AB＝BC，∴AD＝CG，∴BD＝BG，（5分）又∵∠ABC＝90°，∴DF＝BF且DF⊥BF．（6分）7.如圖：在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點E，交AC的延長線于點F，交BC于D且BE＝CF，求證：DE＝DF．【解答】證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于G，則∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE，又∵BE＝CF，∴GE＝CF，∵在△CDF和△GDE中，，∴△CDF≌△GDE（AAS），∴DE＝DF．8.（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，E為AB上一點，F(xiàn)為AC上一點，ED⊥DF，連接EF，求證：線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個直角三角形；（2）已知：如圖2，∠A＝120°，D為BC中點，E為AB上一點，F(xiàn)為AC上一點，ED⊥DF，連接EF，請你找出一個條件，使線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個等邊三角形，給出證明．【解答】（1）證明：延長FD到G使GD＝DF，連接BG，EG，∵D為BC中點，∴BD＝DC，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC+∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，∴線段BE、BG、EG總能構(gòu)成一個直角三角形，∵BG＝FC，EG＝EF∴線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個直角三角形；（2）當線段FC＝BE時，線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個等邊三角形，證明：延長FD到W使WD＝DF，連接BW，EW，∵D為BC中點，∴BD＝DC，∵在△BDW和△CDF中∴△BDW≌△CDF（SAS），∴BW＝FC，∠C＝∠WBD∵ED⊥DF∴EW＝EF，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠C＝60°，∴∠ABC+∠WBD＝60°，即∠EBW＝60°，∴當線段BW＝BE（或BE＝EW，BW＝WE）時，BE、BW、EW能構(gòu)成一個等邊三角形；∵EW＝EF，BW＝FC∴當線段FC＝BE（或BE＝EF，EF＝FC）時，線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個等邊三角形．9.在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF﹣CF＝，求AB．【解答】解：延長FD至點G，使得DG＝DF，連接AG，EG，EF，如圖所示：∵D為斜邊AB的中點，∴AD＝BD，在△ADG和△BDF中，，∴∴△ADG≌△BDF（SAS），∴AG＝BF，∠DAG＝∠DBF，∵∠DBF+∠BAC＝90°，∴∠DAG+∠BAC＝90°，即∠EAG＝90°，∴EG2＝AG2+AE2，設(shè)BF＝AG＝x，∵BF﹣CF＝，∴CF＝x﹣，∵∠EDF＝90°，∴DE⊥FG，∵DG＝DF，∴EF＝EG，∴EF2＝EG2，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴AG2+AE2＝CE2+CF2，即x2+22＝42+（x﹣）2，解得：x＝，∴BF＝，CF＝x﹣＝，∴BC＝BF+CF＝8，∵∠C＝90°，AC＝AE+CE＝6，∴AB＝＝10．10.在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC．（1）如圖1，若AB＝3，BC＝5，求AC的長；（2）如圖2，點D是線段AM上一點，MD＝MC，點E是△ABC外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，則CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，∴AC＝＝＝；（2）延長EF到點G，使得FG＝EF，連接BG．由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC＝BD，又∵CE＝AC，因此BD＝CE，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，F(xiàn)G＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠E，所以BD＝CE＝BG，因此∠BDG＝∠G＝∠E．11.（1）方法回顧在學(xué)習(xí)三角形中位線時，為了探索三角形中位線的性質(zhì)，思路如下：第一步添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長DE（D、E分別是AB、AC的中點）到點F，使得EF＝DE，連接CF；第二步證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到DE∥BC，DE＝BC．（2）問題解決如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的長．（3）拓展研究如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的長．【解答】解：（1）如圖1，在△ABC中，延長DE（D、E分別是AB、AC的中點）到點F，使得EF＝DE，連接CF，在△ADE和△CFE中∵，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AD∥CF∵AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DE∥BC，DF＝BC∴DE＝DF＝BC．（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，∵E為AD中點，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝2，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5；（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，∴∠A＝∠HDE＝100°，AG＝HD＝4，∵∠ADC＝110°，∴∠HDF＝360°﹣100°﹣110°＝150°，∴∠HDP＝30°，∵∠DPH＝90°∴PH＝2，PD＝2∵DF＝，∴PF＝PD+DF＝+2＝3，在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝2，PF＝3，∴HF＝＝＝，∴GF＝FH＝．12.在△ABC中，AB＝AC，點F是BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點A在BC的同側(cè)，連接BE，點G是BE的中點，連接AG、DG．（1）如圖①，當∠BAC＝∠DCF＝90°時，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當∠BAC＝∠DCF＝60°時，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系，（3）當∠BAC＝∠DCF＝α?xí)r，直接寫出AG與DG的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）AG⊥DG，AG＝DG，證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，∵四邊形CDEF是正方形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BE的中點，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠DCB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ABH＝∠ACD＝45°，在△ABH和△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∵∠BAH+∠HAC＝90°，∴∠CAD+∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，∴AG⊥GD，AG＝GD；（3）DG＝AGtan；證明：延長DG與BC交于H，連接AH、AD，∵四邊形CDEF是菱形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BE的中點，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝∠DCF＝α，∴∠ABC＝90°﹣，∠ACD＝90°﹣，∴∠ABC＝∠ACD，在△ABH和△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∴∠BAC＝∠HAD＝α；∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝，∴tan∠DAG＝tan＝，∴DG＝AGtan．名師點睛撥開云霧開門見山中點模型，提到中點，我們需要想到關(guān)于中點的以下知識點：①三角形中線平分三角形面積，等分點等分面積；②等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；④三角形中位線平行且等于第三邊的一半.這四點使我們已經(jīng)深入學(xué)習(xí)過的有關(guān)中點運用的知識點，今天重點在結(jié)合四點的基礎(chǔ)上探究另外一種中點模型，我們簡稱“平中對模型”，即“平行線+中點+對頂角”構(gòu)造全等或相似模型，與倍長中線法相通。典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點M、Q、N．求證：MQ＝QN．變式練習(xí)>>>1.如圖，在△ACE中，點B是AC的中點，點D是CE的中點，點M是AE的中點，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．例題2.如圖，已知BD、CE分別是△ABC的AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點．求證：GF⊥DE．變式練習(xí)>>>2.如圖，在△ABC中內(nèi)取一點，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，求證：DE的垂直平分線必過BC的中點M．例題3.已知：AD為△ABC的中線，AE是△ABD的中線，AB＝BD，求證：AC＝2AE．（兩種證法）變式練習(xí)>>>3.如圖①，點O為線段MN的中點，PQ與MN相交于點O，且PM∥NQ，可證△PMO≌△QNO．根據(jù)上述結(jié)論完成下列探究活動：探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的長度．例題4.如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點，連接PG，則PG的長為．變式練習(xí)>>>4.如圖，過邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為．例題5.如圖1，在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG.易證：EG=CG且EG⊥CG.（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請直接寫