遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）數(shù)學(xué)（二）

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）數(shù)學(xué)（二）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．6 B．3 C．6 D．153．在平行四邊形中，，則（）A． B．C． D．4．2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯(lián)”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將一天內(nèi)購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號(hào)，編號(hào)能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為（）A．167 B．168 C．169 D．1705．設(shè)，則（）A． B． C． D．6．現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3個(gè)5A級(jí)景區(qū)中隨機(jī)選擇1個(gè)景區(qū)游玩．在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案種數(shù)為（）A．52 B．72 C．76 D．1007．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的的弦中最短的弦長為8，點(diǎn)在上，是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（）A． B． C． D．8．若至少存在一條直線與曲線和均相切，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，記為在上?次迭代，為在上的3次迭代，依次類推，為在上的次迭代，即，則（）A．若，則B．若，則C．若，則能被17整除D．若，則11．雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，其中共線，則（）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，光線由經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為6C．當(dāng)時(shí)，的面積為12D．當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若隨機(jī)變量，且，則____________．13．已知圓關(guān)于直線對稱，圓與軸交于兩點(diǎn)，則____________14．已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為____________．（用區(qū)間表示）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．16．（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，底面三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面是邊長為2的菱形，且．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求直線與平面所成角的余弦值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍．18．（17分）第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱冬運(yùn)會(huì)）于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫爾市舉辦，這是歷屆全國冬運(yùn)會(huì)中規(guī)模最大、項(xiàng)目最全的一屆體育盛會(huì)，也是內(nèi)蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)．為迎接這一體育盛會(huì)，內(nèi)蒙古某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎冬運(yùn)會(huì)，當(dāng)好東道主”的冬運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，該大學(xué)的學(xué)院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表學(xué)院參加該大學(xué)的冬運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，且參賽選手是否答對各題相互獨(dú)立．（1）初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽大學(xué)生最多有7次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對4道題或答錯(cuò)4道題即終止比賽，答對4道題則進(jìn)入決賽，答錯(cuò)4道題則被淘汰．已知大學(xué)生甲答對每道題的概率均為．（?。┣蠹字炼嗷卮鹆?道題就進(jìn)入決賽的概率；（ⅱ）設(shè)甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）決賽共3道題（均需作答），規(guī)定：答對題目數(shù)量不少于2道則勝出，代表學(xué)校參加市級(jí)比賽；否則被淘汰．已知大學(xué)生乙進(jìn)入了決賽，他在決賽中答對前2道題的概率相等，均為，且他3道題全答對的概率為，設(shè)他能代表學(xué)校參加市級(jí)比賽的概率為，求的最小值．19．（17分）設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）為與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，為直線與在第一象限的交點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線分別與直線相交于點(diǎn)，分別記與的面積為與，求證：．參考答案數(shù)學(xué)（二）一、選擇題1．A【解析】由題意得，則．故選A項(xiàng)．2．C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，化簡得，所以解得，所以，所以的虛部為6．故選C項(xiàng)．3．C【解析】如圖，由題意可知是的中點(diǎn)，所以．故選C項(xiàng)．4．A【解析】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，則既是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，故為12的倍數(shù)，所以是首項(xiàng)為0，公差為12的等差數(shù)列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為167．故選A項(xiàng)．5．B【解析】．綜上，．故選B項(xiàng)．6．D【解析】若甲1個(gè)人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1，3或2，2，則不同的選擇方案有種；若羋和另外1個(gè)人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1，2，則不同的選擇方案有種；若甲和另外2個(gè)人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1，1，則不同的選擇方案有種．共有種選擇方案．故選D項(xiàng)．7．B【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)的的弦中最短的弦長為8，所以，即的方程為．設(shè)，由是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，得，所以，故即不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，易知為銳角，當(dāng)取最大值時(shí)，直線的斜率也最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即的最大值為．故選B項(xiàng)．8．D【解析】，設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則切線方程分別為，，所以由①得，代入②得．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?，所以的取值范圍是．故選D項(xiàng)．二、選擇題9．BD【解析】對于A項(xiàng)，若，則或與異面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或或或與相交，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，若，則，又，所以，D項(xiàng)正確．故選BD項(xiàng)．10．AC【解析】若，則，故A項(xiàng)正確；由，得，所以，解得或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，所以，故C項(xiàng)正確；若，則，，所以是以2為一個(gè)周期的迭代函數(shù)，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC項(xiàng)．11．ABD【解析】如圖，過點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為．對于A項(xiàng)，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)均在的右支時(shí)，或，A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，光線由經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為，B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由，得，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，在中，，所以，D項(xiàng)正確．故選ABD項(xiàng)．三、填空題12．0.1【解析】因?yàn)?，且，則，所以．13．【解析】圓0，即，圓心，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以圓，圓心，半徑，則圓心到軸的距離，所以．14．【解析】由題意可知的最小正周期，因?yàn)?，所以直線為圖像的一條對稱軸，則在直線右側(cè)的零點(diǎn)依次為，若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則．四、解答題15．解：（1）由已知得，①當(dāng)時(shí)，，②①-②得，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為5的等比數(shù)列，故．（2），所以．16．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又平面平面平面，平面平面，所以平面，所以的長即為點(diǎn)到平面的距離，又，故點(diǎn)到平面的距離為．（2）連接，因?yàn)?，所以，則兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題可知，則．由，得．設(shè)平面的法向量為，，則取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為．17．解：（1），令，得．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，且極小值為，無極大值；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，無極小值．綜上，當(dāng)時(shí)，的極小值為3，無極大值；當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值．（2）等價(jià)于，則在區(qū)間內(nèi)有解．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，所以在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即，即，故的取值范圍是．18．解：（1）因?yàn)榧状饘γ康李}的概率均為，所以甲答錯(cuò)每道題的概率均為．（?。┘状鹆?道題就進(jìn)入決賽的概率為，甲答了5道題就進(jìn)入決賽的概率為．所以甲至多回答了5道題就進(jìn)入決賽的概率為．（ⅱ）易知的可能取值為4，5，6，7，對應(yīng)甲被淘汰或進(jìn)入決賽的答題個(gè)數(shù)，則，，，，所以的分布列