適用于新高考新教材廣西專(zhuān)版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式第二節(jié)基本不等式課件

第二節(jié)基本不等式第二章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.3.理解基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理

基本不等式也稱(chēng)為“均值不等式”(1)基本不等式成立的條件:

.

(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),等號(hào)成立.

(3)其中,

叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),

叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

a>0,b>0a=b

2.幾個(gè)重要的不等式(1)a2+b2≥

(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

2ab3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0.(1)如果積xy等于定值P,那么當(dāng)

時(shí),和x+y有最小值

(簡(jiǎn)記:積定和最小).

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)

時(shí),積xy有最大值

(簡(jiǎn)記:和定積最大).

x=yx=y微點(diǎn)撥利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)滿足“一正、二定、三相等”,忽略某一條件就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.(2)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)盡量避免多次運(yùn)用基本不等式,若必須多次使用,一定要保證它們的等號(hào)成立的條件一致.常用結(jié)論

對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.××√×2.下列結(jié)論不正確的是(

)A.若a,b∈R,則a10+b10≥2a5b5答案C

A.5 B.1 C.-5 D.-1答案

C

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用基本不等式判斷命題真假典例突破例1.(多選)(2023湖南岳陽(yáng)模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+4b=2,則(

)答案

ABC

名師點(diǎn)析利用基本不等式判斷命題真假的注意點(diǎn)(1)要熟記基本不等式及其各種變形的形式與成立的條件,明確其中等號(hào)成立的條件.(2)理解基本不等式的一般性,基本不等式中,a,b可以換成不同的數(shù)、式,但必須滿足相應(yīng)的條件,否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(多選)下列不等式的證明過(guò)程正確的是(

)答案

AD考點(diǎn)二利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1.通過(guò)拼湊利用基本不等式求最值典例突破答案

(1)A

(2)方法總結(jié)

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知a,b∈R,若a-3b=2,則2a+的最小值為

.

答案

4

考向2.通過(guò)常數(shù)代換利用基本不等式求最值典例突破答案

C

方法點(diǎn)撥常數(shù)代換法求最值

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3若實(shí)數(shù)x,y滿足x>2y>0,且xy=1,則

的最小值是

.

答案

4考向3.通過(guò)消元利用基本不等式求最值典例突破例4.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x-2y=1,則

+y的最小值為

.

名師點(diǎn)析消元法求最值在條件最值問(wèn)題中,當(dāng)含有多個(gè)變量時(shí),可以根據(jù)已知條件,用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量,從而將欲求最值的代數(shù)式中的變量減少,只保留一個(gè)變量,然后通過(guò)拼湊,創(chuàng)造符合基本不等式應(yīng)用的條件,求得最值.答案C

考向4.利用基本不等式“和”“積”互化求最值典例突破例5.已知正數(shù)a,b滿足

=3,則a+b的取值范圍是

;ab的最小值為

.

名師點(diǎn)析“和”“積”互化求最值的方法(1)基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,因此可以用在一些不等式的證明中,還可以用于求代數(shù)式的最值.(2)在解決條件最值時(shí),如果條件等式中,含有兩個(gè)變量的和與積的形式,可以直接利用均值不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解,或者通過(guò)構(gòu)造一元二次方程,利用根的分布解決問(wèn)題.答案

CD考向5.通過(guò)多次利用基本不等式求最值典例突破答案

D易錯(cuò)警示多次利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)注意對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化不當(dāng)則無(wú)法連續(xù)運(yùn)用基本不等式;(2)當(dāng)多次連續(xù)運(yùn)用基本不等式時(shí),應(yīng)確保每次使用的基本不等式中等號(hào)成立的條件是一致的,否則,相應(yīng)的最值是取不到的.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6若a>b>0,則a2+的最小值為

.

答案

4

考點(diǎn)三基本不等式的綜合應(yīng)用(多考向探究)考向1.基本不等式與其他知識(shí)的綜合典例突破答案B

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由題意得2S2=S3-a1,即2(a1+a2)=a2+a3=q(a1+a2),又等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以q=2,an>0.名師點(diǎn)析基本不等式是求最值的一種重要方法,因此具有廣泛的應(yīng)用,在三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量、立體幾何等綜合問(wèn)題中,常常利用基本不等式求得最值.答案

A

考向2.基本不等式的實(shí)際應(yīng)用典例突破例8.(2023山東淄博二模)某學(xué)生到工廠實(shí)踐,欲將一個(gè)底面半徑為2,高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體,并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗,則得到的圓柱體的最大體積是(

)答案

A

名師點(diǎn)析利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法(1)理解題意,明確數(shù)量關(guān)系,引進(jìn)變量,注意設(shè)變量時(shí),一般把求最大值或最小值的量定義為函數(shù).(2)根據(jù)題意抽象出函數(shù)解析式,利用基本不等式求函數(shù)的最值.(3)求最值時(shí),注意在函數(shù)定義域內(nèi)求解,并驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.答案

A

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8(2023安徽蕪湖一中模擬)一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金.一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放