2024屆河北省新高二年級上冊數(shù)學期末考試試題含解析

2024屆河北省新高二上數(shù)學期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看

作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30。，側棱長為亞米，則以下說法不正確()

A.底面邊長為6米B.體積為12百立方米

C.側面積為24^/3平方米D.側棱與底面所成角的正弦值為￡

2.已知銳角ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若向量)=(a-b,sinC),w=(c-^,sinA+sinB),

u1Z?]

m=0),則—I---tanC的最小值為。

c24

A.2B.2V3

2

「26n373

32

3.日常飲用水通常都是經過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知"水凈化到純凈度為X%時

所需費用(單位：元)為。(力=魯匕(80<^<100),那么凈化到純凈度為95%時所需凈化費用的瞬時變化率是()

元/t.

A.120B.160

C.-160D.-100

4.數(shù)學家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到

垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知一ABC的三個頂點分別為A(L1),5(7,1),C(5,5),

則ABC的歐拉線方程是()

A.％+y—6=。B.x-y-2=0

C.2x-y-6=0D.x+2y-ll=0

5.已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4,虛半軸長為5,則雙曲線的標準方程為()

A.-=122

B.土-匕=1

25161625

22DV---1

c"二=1

25161625

6.設S,是等差數(shù)列｛4｝的前"項和，若4=8,

52=13,則%二()

A.26B.-7

C.-10D.-13

7.已知函數(shù)/（犬）=三—12%,則（）

A.函數(shù)/(%)在0)上單調遞增

B.函數(shù)/(%)(-8,。)上有兩個零點

C.函數(shù)/(%)有極大值16

D.函數(shù)〃％)有最小值-16

8.直線y=H+l與曲線/(X)=alnx+A相切于點尸(1,2),則加+/=()

A.4B.3

C.2D」

9.已知直線/：龍+了一機=0與圓必+/=4交于A,B兩點,。為原點，且QbO3=2，則實數(shù)機等于()

A.+y[6B.±2

C.土百D.土亞

10.若4(0,1,2),5(2,5,8)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()

A.（3,2,l）B.（l,3,2）

C.（2,l,3）D.（l,2,3）

11.函數(shù)尸/+/一入+1在區(qū)間［-2,口上的最小值為()

22

A.—B.2

27

C.11D.-4

12.函數(shù)丁=6一％的導函數(shù)為（）

A.y=-eB.y=-e~x

C.y=exD.y=e~x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛q｝滿足q=1,an+l=an+2"^',則。5=.

14.已知球。的半徑為4,圓M與圓N為該球的兩個小圓，A3為圓M與圓N的公共弦，AB=4,若OM=ON=3,

則兩圓圓心的距離MN=

15.已知直線—2x+y+1=0在兩坐標軸上的截距分別為a,b,貝!la+b=.

16.若一個球表面積為不，則該球的半徑為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知｛4｝是公比不為1的等比數(shù)列，4=1,且%為出，%的等差中項.

（1）求｛%｝的公比;

（2）求｛4｝的通項公式及前"項和S,.

18.（12分）如圖，已知拋物線（？：丁=2內（0〉0）的焦點為尸，拋物線C上的點到準線的最小距離為1

（1）求拋物線C的方程；

穹）過點尸作互相垂直的兩條直線兒/2,與拋物線C交于4,8兩點，，2與拋物線C交于C,O兩點，M,N分別

為弦A3,CZ＞的中點，求|MFHNF|的最小值

19.（12分）已知數(shù)列｛4｝的首項4=1,其前"項和為S“，且滿足S〃+i=S“+a”+l.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

117

⑵設b*=------,數(shù)列也｝的前“項和為7“，且(=數(shù)，求加

anan+230

20.(12分)如圖，OP為圓錐的高，A8為底面圓。的直徑，C為圓。上一點，并且AC=BC，E為劣弧上的一

點，且AB=6,OP=4.

(1)若E為劣弧的中點，求證：平面POE；

(2)若E為劣弧5c的三等分點(靠近點C),求平面PE。與平面PE3的夾角的余弦值.

21.(12分)已知直線4：2x—y+6=0和4：尤一丁+1=。的交點為P

(1)若直線/經過點P且與直線/3：4x-3y-5=0平行，求直線/的方程；

(2)若直線機經過點P且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5,求直線加的方程

22.(10分)某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少與手機網(wǎng)游的調查，數(shù)據(jù)如下表:

認為作業(yè)多認為作業(yè)不多總數(shù)

喜歡手機網(wǎng)游201030

不喜歡手機網(wǎng)游51520

總數(shù)252550

(1)若隨機地抽問這個班的一名學生，分別求事件“認為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機網(wǎng)游且認為作業(yè)多”的概率；

(2)若在“認為作業(yè)多”的學生中已經用分層抽樣的方法選取了5名學生.現(xiàn)要從這5名學生中任取2名學生了解情

況，求其中恰有1名“不喜歡手機網(wǎng)游”的學生的概率

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】連接底面正方形ABCD的對角線AC,交于點。，連接PO,則PO為該正四棱錐P-ABC。的高，即

平面ABC。，取CD的中點”，連接則NPM9的大小為側面與底面所成，設正方形ABC。的邊

長為。，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.

【詳解】連接底面正方形ABCD的對角線AC,3。交于點。，連接PO

則PO為該正四棱錐P-A6CD的高，即POL平面ABC。

取CD的中點H,連接OH,PH,由正四棱錐的性質，可得PH工CD

由分別為的中點，所以OH//BC,則C組，CD

所以ZPHO為二面角P—CD—0的平面角，由條件可得ZPHO=30°

設正方形ABCD的邊長為a,則O"=:，又=^PC2-CH2=.21--

2V4

a

的。OH2

則cos30=a=]=虧，解得<=6故選項A正確.

所以「”={21—?=26，「0=，。”2—0口2=(12—9=6

則該正四棱錐的體積為V=gx62><6=126,故選項B正確.

該正四棱錐的側面積為4X-XCDXPH=2X6X2A/3=246,故選項C正確.

2

由題意NPCO為側棱與底面所成角，貝！lsin/PCO=￡e=g=E,故選項D不正確.

PCJ217

故選：D

p

2、C

【解析】由加=wO),得至!1(。一/?),(511174+$1113)=5111。,(。一，5/7),根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡得到A=￡,

6

化簡得到2+LtanC=^+^^+'tanC,再結合基本不等式，即可求解.

c2422tanC24

【詳解】由題意，向量m=(a-b,sinC),n=(c-43b,sinA+sinB),

因為機=X〃(XwO),所以加//〃，可得(〃-Z?)(sinA+sin3)=sinC?(<?-，§/?),

由正弦定理得(Q-/?)(〃+6)=c(c-y/3b)，整理得/=/?2+c2-y[3bc，

又由余弦定理，可得"=與>=骨=冬

1Q3.「

—cosCH-----sinC后.

22=，3?1

sinC22tanC

g、ib1y/311

所以一+——tanC=——+--------+——tanC

C2422tanC24

717

因為ABC是銳角三角形，且人=—,可得<解得(<。(申

6八5?！改?/p>

0<------C<—

[62

所以tanC>A/3，

匚51〃迅1*2,

所以一H----tanC=------b+-tanC>-c—

c2422tanC242tanC243

當且僅當擊即tanC=2G時等號成立,

故2+^tanC的最小值為38.

c243

故選：C

3、B

【解析】由題意求出函數(shù)的導函數(shù)，然后令x=95即可求解

【詳解】因為C(x)=400°(80<x<100),

100-x

y=---------y

100-x(100-x)2

4000

貝！|C'(95)==160,

(100-95)

故選：B

4、B

【解析】根據(jù)一ABC的三個頂點坐標，先求解出重心的坐標，然后再根據(jù)三個點坐標求解任意兩條垂直平分線的方程,

聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標，最后根據(jù)重心和外心的坐標使用點斜式寫出直線方程.

<137>1

【詳解】由題意可得ABC的重心為G.因為5(7,1),所以線段A3的垂直平分線的方程為x=4.因

為C(5,5),所以直線AC的斜率左=1,線段AC的中點坐標為(3,3),則線段AC的垂直平分線的方程為

尤=4fx=4

y=-x+6.聯(lián)立〈/，解得<°，則_ABC的外心坐標為(4,2),故ABC的歐拉線方程是

y=-x+6y=2

y—2=^-----(x-4)=x-4,即x-y-2=0

-----4

3

故選：B.

5、D

【解析】根據(jù)雙曲線的性質求解即可.

【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4,虛半軸長為5,

y2f

可得a=4,b=5,所以雙曲線方程為：匕-土=1.

1625

故選：D.

6、C

【解析】直接利用等差數(shù)列通項和求和公式計算得到答案.

［詳解］§2=2%+〃=13,q=8,解得d=_3,故%=。1+61=8—18=—10.

故選：C.

7、C

【解析】對/'(x)求導，研究/Xx)的單調性以及極值，再結合選項即可得到答案.

【詳解】/'(X)=3X2-12,由/'(尤)>0,得％<—2或%>2,由/(x)<0,得—2<%<2,

所以f(x)在2)上遞增，在(-2,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以極大值為/(-2)=16>0,極小值為/(2)=-16<0,所以Ax)有3個零點，且無最小值.

故選：C

8、A

【解析】直線y=Ax+l與曲線/(x)="lnx+Z;相切于點P(l,2),可得左=1力=2,求得了(%)的導數(shù)，可得a=1,即可

求得答案.

【詳解】直線丁=區(qū)+1與曲線/(x)=alnx+匕相切于點P(l,2)

將P(l,2)代入y=Ax+l可得:左+1=2

解得:％=1

/(%)=fllnx+Z?

???/'(x)=-

X

由r⑴=；=1,解得:a=l.

可得/(尤)=lnx+b,

根據(jù)P(l,2)在)=lnx+b上

/(l)=lnl+b=2,解得:匕=2

故2a+/?=2+2=4.

故選:A.

【點睛】本題考查了根據(jù)切點求參數(shù)問題，解題關鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導數(shù)的求法，考查了分析能力和計算能力，

屬于中檔題.

9、A

【解析】根據(jù)給定條件求出ZAOB,再求出圓。到直線/的距離即可計算作答.

【詳解】圓爐+產=4的圓心。，半徑廠=2,因04.08=2,則cosNAOB」?=不,

(JA\(JB\乙

而0<NAO5?萬，則NA03=工，即_AO5是正三角形，點0到直線，的距離d=行，

3

Imlr-L

因此，d=—j==v3.解得加=±V^,

所以實數(shù)機等于土布.

故選：A

10、D

【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量A5,即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線(平行)的

坐標表示即可得出答案

【詳解】；4(0,1,2),5(2,5,8)在直線/上，

.,?直線/的一個方向向量A3=(2,4,6),

又???(l,2,3)=g(2,4,6),

(1,2,3)是直線1的一個方向向量

故選：D

11、C

【解析】詳解】y'=3x2+2x-l=(3x-l)(x+l),

令y>o,解得x〉g或x<—i；

令y<o,解得—i<x<g,.?.函數(shù)在［―2,—1］上遞增，在,1,；］遞減，在遞增，

122

—1時，取極大值，極大值是2,》=彳時，函數(shù)取極小值，極小值是丁，

327

而x=-2時，y=-l,x=l時，y=2,故函數(shù)的最小值為一1,

故選C.

12、B

【解析】利用復合函數(shù)求導法則即可求導.

【詳解】_/=(eT)=e~x-(-x)=0-，x(-l)=-H"，

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、16

【解析】由題設可得4+1-?！?2"-。應用累加法有%-%=23+22+21+2°,結合已知即可求生.

n

【詳解】由題設，an+l-an=2-',

所以—%+。4—。3+。3—。2+-%=%_+2-+2'+20=15,又q=1,

所以%=16.

故答案為：16.

14、3

【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形中，只要求出球心角即可，通過球的性質構成的

直角三角形即可解得

【詳解】???QV=3,球半徑為4,

小圓N的半徑為S，

?小圓N中弦長AB=4,作NE垂直于AB,

?*.NE=y/3,同理可得ME=百，在直角三角形ONE中，

,:NE=。ON=3,

乃

NEON=-,

6

n

：.AMON=-,

3

：.MN=3

故答案為：3.

15、--##-0.5

2

【解析】根據(jù)截距定義，分別令x=0,y=0可得.

【詳解】由直線—2x+y+l=0,令x=0得y=—1,即b=—1

令y=。，得％=,，即〃=,，

22

故〃+/?=」.

2

故答案為：-大

2

16、

~2

【解析】設球的半徑為H,代入球的表面積公式得答案

【詳解】解：設球的半徑為R,

則4兀內=不，得R2=J,即氏=工或R=(舍去)

422

故答案為：—

2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)-2

-

/9V-1o1(2)"

⑵《,=(-2),Sn=--——

【解析】(1)設數(shù)列｛4｝公比為式4，1),根據(jù)列出方程2%=%4+?；?,即可求解;

(2)：由(1)得到為=(-2)1,利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：設數(shù)列｛%｝公比為q(q7D，

因為《為的等差中項，可得2%=%+%，即2%=44+%鄉(xiāng)2,

即/+q_2=0,解得q=—2或4=1（舍去）,

所以等比數(shù)列｛4｝的公比為-2.

【小問2詳解】

解：由(1)知％=1且q=—2,可得4=。］.01=(—2廠1,

%.（1-，）」（-2）”

1（-2）"

所以S,,=

~1+233-

18、（1）y2=4x

(2)8

【解析】(1)由拋物線C上的點到準線的最小距離為1,所以4=1,即可求得拋物線的方程;

2

14

(2)設直線AB的斜率為k,則直線CD的斜率為-丁，得到直線AB的方程為y=奴％-D,聯(lián)立方程,求得％+%=—，

kk

進而求得M,N的坐標，得到耳的表達式，結合基本不等式，即可求解.

【小問1詳解】

解：因為拋物線C上的點到準線的最小距離為1,所以3=1,解得。=2,

2

所以拋物線C的方程為y2=4x

【小問2詳解】

解：由(1)可知焦點為F(L0),

由已知可得所以直線A3,的斜率都存在且均不為0,

設直線A3斜率為左，則直線的斜率為

k

所以直線AB的方程為y=k(x-l),

y=k(x-l)

聯(lián)立方程，，消去x得62_4y-必=0,

y=4x

設點A(X1,Jl),5(X2,yi),則%+%=一，

k

__12

因為M(XM,JM)為弦A3的中點，所以y”=一(％+%)=7，

2k

由%—1),得如=字'+1=記+i,所以點四(乒+1,工

同理可得N(2k2+l,-2k),

所以加典=J'+l—1）2+（—21）2=2也2（左2+i）,

_241+/

k2

241+F1+k2

所以|MF||NF|=------------------X=4（'+網(wǎng)）22山4=8,

W

當且僅當g+ki,

即左=±i時，等號成立,

所以的最小值為8

19、(1)an=n

(2)n=4

【解析】(1)由條件得%+1-4=1,則利用等差數(shù)列的定義可得答案;

17

(2)利用裂項求和求出Tn,再根據(jù)Tn=—可求出n.

【小問1詳解】

由sn+l=Sn+an+1得an+l-an=l,

從而數(shù)列｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以=〃；

【小問2詳解】

,11\(11)

由(1)得d=-----=-----77

%A+2〃("+2)2\n〃+2J

Tn=bx+b2+b3+>+bn

1

2+￡)

lf3_J_____

2(2〃+ln+2)

17

由(=4得lb?—27〃—68=0

又〃eN*，所以〃=4.

20、(1)證明見解析

⑵理

91

【解析】(1)推導出P。，平面ABC,POLBC,BCLOE,由此能證明平面POE

(2)推導出ACL3C,OC±AB,以。為原點，0c為x軸，08為丁軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系,

利用向量法能求出二面角O-PE-3的余弦值

【小問1詳解】

證明：為圓錐的高，

..尸平面ABC,又BCu平面ABC,.?.尸OL3C,

E為劣弧的中點，，3C_LOE,

POOE=O,P0,0Eu平面POE,，呂。，平面POE

【小問2詳解】

解：解：E為劣弧5c的三等分點(靠近點O,

QAB為底面圓。的直徑，C為圓。上一點，并且AC=3C，

以。為原點，0C為x軸，08為V軸，0P為z軸，建立空間直角坐標系，

.?.0(0,0,0),尸(0,0,4),E當,1,0),C(3,0,0),8(0,3,0)

???OP=(0,0,4),OE=(孚，；，0),「￡=(孚，；，-4),PB=(0,3,-4)

設平面OPE的法向量〃=(x,丁，z),

n-OP=4z=0

則3J33，取x=l得〃=（i,—60）,

n-OE=^-x+-y=0

22

設平面PXB的法向量7〃=(a,b,c),

m-PE=a+—b-4c=0.ZB733

22，取3=1，Mm=（—,1,一）,

m-PB=3b-4c=0

設二面角O-P￡-5的平面角為凡

2G

\m-n\

貝［|cos6=\cos<n,m>|=

mxn

二二面角。一PE—3的余弦值為公匣

91

21、（1）4x—3y+8=0

(2)2x—5y—10=0或8x—5y+20=0

【解析】(1)由已知可得交點坐標，再根據(jù)直線間的位置關系可得直線方程；

(2)設直線方程，根據(jù)直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.

【小問1詳解】

2x-y+6=0fx=-5

解：聯(lián)立44的方程.，八，解得/即尸(一5,T)

x-y+l=0U=—4

設直線/的方程為：4x—3y+c=0,將P(—5,T)帶入可得c=8

所以/的方程為：4x-3y+8=0；

【小問2詳解】

解：法①：易知直線加在兩坐標軸上的截距均不為0,設直線方程為：-+-=1,

ab

'—5-41

-----1--