廣西北流市某中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

Ax-］九>0

1.己知函數(shù)/(6=C若函數(shù)/(%)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

—I1n(—xI,x<U,

2.已知四棱錐￡-A6CD,底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，ED=1,平面ECD，平面ABC。，當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE

的距離最大時(shí)，該四棱錐的體積為()

A.—B.-C.—D.1

633

3.已知數(shù)列｛4｝滿足=2,且%%，%成等比數(shù)列?若｛%J的前"項(xiàng)和為S,,,則S”的最小值為（）

A.-10B.-14C.-18D.-20

4.記M的最大值和最小值分別為"max和"向「若平面向量a、b、C，滿足卜|=W=a⑺=c-（a+2入—c）=2,

則（）

AII6+巾I-Iy/3

A.\a-c\=-----------BR.\a+c\=-----------

IImax2IImax2

「IIA/3+A/7IIA/3-^/7

C.\a-c\=-----------D?\a+c[=-----------

IImin2IImin2

5.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出S的值為（）

6.已知命題p：“a>b”是“2。>2〃”的充要條件；?：3xeR,\X+1\<X,貝！|()

A.(「P)vq為真命題B.Pvq為真命題

C.夕人4為真命題D."為假命題

_4

7.已知sin(乃+a)=g）且sin2（z<0,則tan[tz]的值為（)

1

A.7C.一D.

77

8.已知函數(shù)/(X)=X2—3X+5,g(x)=ax-]nx,若對(duì)Vxe(0,e),Hr”%￡（°，￡）且%，使得

/（x）=g（%）a=i,2）,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

17\67A67、

A.B.一,e4C.0,-_,e,4D.

eee

777

a,a>b11

9.定義a?b—<”b'已知函數(shù)/⑴=55，gM=—,則函數(shù)*%）=/（%）區(qū)g（x）的最小值

b,2-cos2x

為)

24

A.C.一D.2

3

2

10.若Q￡[1,6],則函數(shù)y=±詈在區(qū)間[2,+。。）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）

4321

A.—B.-C.-D.-

5555

11.若復(fù)數(shù)z滿足(2+3i)z=13i,貝！|z=()

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

22

12.已知雙曲線C:斗-4=1（。>0,匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F],點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接p6與y軸交

ab~

于點(diǎn)M,若忻O|=2|OM|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），PF}LPF?則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±3%B.y=+43xC.y=+2xD.y=±0x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量乂"取/機(jī)3）與時(shí)間t（h）

kt,0<r<-

2（如圖所示），實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量（沖/加）對(duì)人體無害.（）

的函數(shù)關(guān)系為y=<]1y<0.7531

t>-

、kt'2

k=；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過分鐘

人方可進(jìn)入房間.

x+2y-3>Q

14.若實(shí)數(shù)％,y滿足不等式組2x+y-3>Q,貝！J2x+3y的最小值為.

x+y-3<0

15.已知等比數(shù)列｛?｝滿足。2+2%=4,a；=%，則該數(shù)列的前5項(xiàng)的和為

16.已知非零向量”，8滿足W=2|d，且僅-則。與人的夾角為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營(yíng)造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”

活動(dòng)，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)，已知這50名

學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在［50,100］內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表:

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51515123

（1）將競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)定義為“合格”，競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢?0,70）內(nèi)定義為“不合格”.請(qǐng)將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完

參考公式及數(shù)據(jù)：腔=&*焉萬萬其中〃=a+b+c+d.

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

18.(12分)已知拋物線r：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線r上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足用=(2,273)

(1)求拋物線r的方程；

(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線「于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)3(3,-6)和拉的直線與拋物線T交于

另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：/-4x-4=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建

7T

立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為6=—(peR).

3

(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若拋物線C與直線,交于A,5兩點(diǎn)，求目的值.

20.(12分)在多面體ABCD所中，四邊形ABC。是正方形，。尸，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G為8尸的中點(diǎn).

(1)求證：CGLAF；

(2)求平面5c5與平面所成角的正弦值.

21.(12分)已知三點(diǎn)尸,Q,A在拋物線「：*2=”上.

(I)當(dāng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，若直線PQ過點(diǎn)T(-2,4),求此時(shí)直線AP與直線AQ的斜率之積;

(II)當(dāng)且|AP|=|AQ|時(shí)，求一APQ面積的最小值.

22.(10分)在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且向量加=(2a-c,Z?)與向量〃=(cosC,cosB)共線.

(1)求成

...LUUU1UUUI,..—一

(2)若b=3幣,a=3,且AD=2DC，求30的長(zhǎng)度.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

考慮當(dāng)%＞0時(shí)，丘—l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令〃(x)=lnx—"+1,則川光)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?(光)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，

所以尤＞0時(shí)，質(zhì)—1=Inx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令/z(x)=Inx-Ax+1,則力⑴在(0,+8)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

「7,/、1-kx

又h(x)=-----,

當(dāng)上＜0時(shí)，/(％)＞0,故?尤)在(0,+8)上為增函數(shù)，

M九)在(o,+“)上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)左＞0時(shí),

,則“(%)>o,在(0」

若上為增函數(shù);

若口土+8!，+s］上為減函數(shù);

,則“(x)<0,/z(x)在

故Mx)max==ln/

因?yàn)镸光）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以ln1＞0,解得0〈上＜1.

又當(dāng)＜左＜時(shí)，〈,且/?

011<0,故〃⑺在上存在一個(gè)零點(diǎn).

ek

又“(我)=111強(qiáng)一2+1-2+2\nt-et,其中/=：〉1.

令g(/)=2+21nf—ef,則=

當(dāng)/>1時(shí)，gr(t)<0,故且⑺為(1,+℃)減函數(shù)，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因?yàn)槲?I,所以3）在1

,+oo上也存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0＜左＜1時(shí)，妝了）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

2.B

【解析】

過點(diǎn)E作E"J_CD,垂足為過"作族，AB,垂足為尸，連接EE因?yàn)镃D//平面ABE,所以點(diǎn)C到平面

TT

A5E的距離等于點(diǎn)"到平面A5E的距離〃.設(shè)NCDE=e（0＜8＜5）,將〃表示成關(guān)于。的函數(shù)，再求函數(shù)的最值,

即可得答案.

【詳解】

過點(diǎn)E作E"J_CD,垂足為H,過H作族，AB，垂足為凡連接EE

因?yàn)槠矫鍱CDL平面4BC。，所以石平面45。，

所以EH工HF.

因?yàn)榈酌鍭3C。是邊長(zhǎng)為1的正方形，HF//AD,所以班'=4）=1.

因?yàn)镃D//平面ABE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.

易證平面EFH，平面ABE,

所以點(diǎn)H到平面ABE的距離，即為〃到E歹的距離〃.

JTi---------

不妨設(shè)NCDE=e（0<9<5）,則EH=sin。，EF=Vl+sin26）.

因?yàn)镾EHF=g.EF-h=；-EH-FH,所以kjl+sii?，=sin。，

7sin。1A/2

fl_-h_--------7/

所以荷/「^二―2，當(dāng)夕=不時(shí)，等號(hào)成立?

Vsin2^+

1。1

此時(shí)皿與加重合，所以微=1,匕3》如1

故選：B.

本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，

求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.

3.D

【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得S“，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)〃=4或5時(shí)，S"取到最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，可知｛%,｝為等差數(shù)列，公差2=2,

由%,生,%成等比數(shù)列，可得d=q%，

(tZj+4)2=t?](%+6),解得q——8.

ccn（n-1）-2c,9、。81

???S——8/2H-------X2—72—9幾—（72---）----

〃224

根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)〃=4或5時(shí)，S.取到最小值，最小值為-20.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)n=4或5時(shí)同時(shí)取到最值.

4.A

【解析】

設(shè)。為a、b的夾角，根據(jù)題意求得6然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a=QA=(2,0),b=OB=(l,^3),

c=OC=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)C的軌跡方程，將口-c|和卜+4轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

71

由已知可得〃?b=。?mcos0=2,則cos0=—,Qo?e<?,

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a=QA=(2,0),b=OB=(l網(wǎng),c=OC=(x,y),

由<??(〃+2〃-c)=2,可得(羽丁>(4一2%,2百一2丁)=2,

即4x-2x2+26y-2y2=2,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)?+y-=|,叫a-c1j=^(x-2)2+y2,

/2

73=；上的點(diǎn)與點(diǎn)(2,0)的距離，.?.卜—c|

貝!)|a—c]轉(zhuǎn)化為圓(x—I1+y—12+

2Imax

722

2

2「A/3V7-V3

a-c\i+I―飛――2-，

Imin

ax+2)2+y2

轉(zhuǎn)化為圓(x—l)2+=；上的點(diǎn)與點(diǎn)(—2,0)的距離，

(2)4

斗+d=/+使］+且=G+a,卜+d=卜+用〔且=如-G.

?Lax丫(2J2211m加丫(2J22

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

5.D

【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運(yùn)行，即可求出答案.

【詳解】

運(yùn)行程序,

s=：—Li=2,

2.1..

S=H---1—,I—3,

52

S-H---1---1------,Z=4,

5523

1234,111」

s——I--1---1----1---------,i—5,

5555234

1234,111.0

s=—I--1---1----1---------i=5,

5555234

123451111一人一

s=-I--1---1---1---1-------------,i=6,結(jié)束循環(huán),

555552345

1「1111、13743

故輸出s=_(l+2+3+4+5)_]+_+_+±+±=3—*=上

5<2345J6060

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.

6.B

【解析】

由y=2'的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解

【詳解】

由函數(shù)y=2、是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題.

對(duì)于命題q,當(dāng)x+120,即改之一1時(shí)，|x+l|=x+l>x；

當(dāng)x+l<0,即x<—l時(shí)，,+1|=—兀一1,

由一x—1<X,得X=—不，無解，

因此命題q是假命題.所以（rp）vq為假命題，A錯(cuò)誤;

pvq為真命題，B正確;

。八4為假命題，C錯(cuò)誤;

「△（「q）為真命題，D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

4

由sin("+a)=不及sin2。<0得到sin1、cosa,進(jìn)一步得到tana,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.

【詳解】

443

因?yàn)閟in(〃+a)=二，所以sina=—《，又sin2of=2sinacosa<0,所以cosa=g,

-l-4

4(7C1tana-\

tana=——,所以tana———_3=7

3I41+tana

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

先求出/（九）的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,e）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因?yàn)間(x)=Q一府，故g<x)=a*1,

X

當(dāng)aWO時(shí)，g'(%)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)曰0,0時(shí)，令/(4=0,解得x=:,

故g(x)在區(qū)間，￡|單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又g[：[=l+勿a,g(e)=/—1,且當(dāng)x趨近于零時(shí)，g(x)趨近于正無窮;

對(duì)函數(shù)/(力，當(dāng)xe(O,e)時(shí)，f(x)e

根據(jù)題意，對(duì)Vxe(0,e),羽e(0,e)且石彳々，使得/(x)=g(xj(i=L2)成立,

只需g[]<T，g(e”5，

即可得1+山a<U,W—125,

4e

「6二、

解得ae-,e4.

祥)

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

9.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(%),F(x)>g(x),則2F(x)>/(x)+g(九)，再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得F(x)>/(九),F(x)>g(x),則2F(x)>/(%)+g(x),

1111199

/(x)+g(x)=------~?----1----------o--sinr)+(2-)]

2-sinx2-cosx

2222/業(yè)口后業(yè)一2

2-cos%2-sinx)>|(2+2.2-cos%2-sinxx42cos?%2-sinxHn

(2+------2---1--------5-------5-----------)=—(當(dāng)且僅當(dāng)--------=--------廠，即

42-sinx2-cosx2-sinx2-cosx32-sinx2-cosx

001242

sinx=cosx=e時(shí)“=”成立.此時(shí),/(犬)=g(%)=],.?.2F(x)>-,F(x)的最小值為—,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2廠(x)2/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

10.B

22

【解析】函數(shù)'=-9在區(qū)間[2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，.?.歹=1—「=*幺20,在[2,+8)恒成立，,awf在

[2,+8)恒成立，aW4,ae[l,6],aw[1,4],.?.函數(shù)y=三產(chǎn)在區(qū)間[2,+刃)內(nèi)單調(diào)遞增的概率是篇=|，

故選B.

11.B

【解析】

由題意得,z=F:，求解即可.

2+31

【詳解】

13i13i(2-3i)26i+39。、

因?yàn)?2+3%=1m所以2=--------------------=------------=3+21

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

利用三角形AOM耳與相似得歸耳|=2\PF2\,結(jié)合雙曲線的定義求得”,仇。的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設(shè)耳(一

c,0),F2(C,0),

由閨O|=2|OM|,AOMK與相似,

所以\EO局\=\P局F.\=2,即.附,1=,2附.I，

又因?yàn)閨尸耳Hp閭=2a,

所以|尸￡|=4a,|P閭=2a,

所以4c2=16/+44,即。2=5〃，/=44,

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.240

【解析】

(1)由/=工時(shí)，y=l,即可得出左的值；

2

f1

t>-

2

(2)解不等式組，即可得出答案.

—<0.75

[2t

【詳解】

1_i_=1n"=2

(1)由圖可知，當(dāng)?=—時(shí)，y=l,即71--

2左X]

'、1

12—

22

(2)由題意可得，，解得￡〉一

1<0.753

[2t

2

則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過§x60=40分鐘人方可進(jìn)入

房間.

故答案為:(1)2；(2)40

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.5

【解析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值，即可求解

【詳解】

x+2y-3>0

畫出不等式組2x+y-3N0,表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示,

x+y-3<0

2I

令z=2x+3y,則y=—§x+§z.分析知，當(dāng)x=l,y=l時(shí)，z取得最小值，且2^=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題

15.31

【解析】

設(shè)%?=%可化為。二/=4/，得4=1,4=4-2%=2,q=-^=2,

5

^=<7（1-^）=31

1-（/

16.1（或?qū)懗?0°）

【解析】

設(shè)。與b的夾角為凡通過僅,可得僅-化簡(jiǎn)整理可求出cos。，從而得到答案.

【詳解】

設(shè)a與6的夾角為。

\b—a\±a

可得?1=0,

〃?/?_(〃)=0

^p|-|^|-cos^-|?|=0,將網(wǎng)=2時(shí)代入可得

得到COS8=L,

2

于是。與人的夾角為三.

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能

力及計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.(1)見解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下：

合格不合格合計(jì)

高一新生121426

非高一新生18624

合計(jì)302050

貝！IK2的觀測(cè)值k=5嚶2裝614;7共x4.327>3.841,

30x20x24x2652

所以有95%的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān).

(2)抽取的5名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)合格的有30x*=3名學(xué)生，記為a,b,c,

競(jìng)賽成績(jī)不合格的有20x卷=2名學(xué)生，記為

從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：ab,ac,bc,am,an,bm,bn,an,cn,mn,共10種,

這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的基本事件有：ab.ac.bc,共3種，

3

所以這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率為P=—.

18.(l)j2=4x；；(2)直線NL恒過定點(diǎn)(-3,0),理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程，求得焦點(diǎn)廠(go),利用"=(2,2月)，表示點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解.

4x+yny.4%+y,

(2)設(shè)M(xo,jo),N(xi,ji),L(X2,J2),表示出MN的方程y=-----和板的方程y=-----------,因?yàn)?/p>

%+X>0+>2

A(3,-2),B(3,-6)在這兩條直線上，分別代入兩直線的方程可得以/=12,然后表示直線NL的方程為：j-

4/

Ji=------(x-里)，代入化簡(jiǎn)求解.

%+%4

【詳解】

(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)歹(y,0),滿足〃=(2,273)的P的坐標(biāo)為(2+g,28)，尸在拋物線上，

所以(2班)2=2。(2+7),即p2+4p-12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為：j2=4x；

2

(2)設(shè)M(xo,yo),N(xi,ji),L(必,以)，貝！Jy/=4xi,J2=4X2,

直線MN的斜率kMNAj-x0yj—靖％+%,

4

4Y2

則直線MN的方程為：y-yo=------(x-'),

%+為4

4x+%%①

即產(chǎn)

4x+y?y

同理可得直線ML的方程整理可得y=——39②,

%+%

將A(3,-2),B(3,-6)分別代入①，②的方程

2_12+%,

%+X

可得《,消刈可得以刈=12,

V12+為先

-6=1^7

44y2

易知直線fcvi=------,則直線NL的方程為：J-J1=-------(r-2L),

%+%%+%4

4412

即產(chǎn),故了=x+

%+%X+%%+%%+%

4

所以y=(x+3),

因此直線NL恒過定點(diǎn)(-3,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的

能力，屬于中檔題.

1A

19.(1)p2s***6in20-4pcos61-4=0(2)|A2?|=—

【解析】

⑴利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式X=qcose,y=夕sin8，即可求得結(jié)果.

⑵由夕的幾何意義得-夕2〔?將6=:代入拋物線。的方程，利用韋達(dá)定理夕i+B=|，即

可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)因?yàn)閤=/7cose,y=psmO9

代入y?—4%一4=0得夕2sin20-4/7cos。一4=0,

所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為p2sin2?！?夕cos6—4=0.

(2)將6=工代入拋物線C的方程得藝—2P—4=0,

34

816

所以夕1+夕2=耳，P\P1=一"

I,2z、2彳6464256

|Pi_A|=(A+A)_4夕172二豆+5二-^

所以上一局二?,

由夕的幾何意義得，MW=g.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，難

度一般.

20.(1)證明見解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先證明CGLA5,CG±BF,AB跖=3,二CGL平面AB廠.即可得到”u平面A5尸，CG±AF.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AEE

和平面BC尸的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1)平面ABC。，ABI平面ABC。，ACFLAB.

又?.?四邊形ABC。是正方形，AB，5c.

■:BCCF=C,：.AB，平面BCF.

；CGu平面8C產(chǎn)，/.CG±AB.

又,：BC=CF=2,G為3歹的中點(diǎn)，???CGLB尸.

,/AB3歹=3,二CG_L平面AB尸.

AFu平面AB產(chǎn)，，CGJ_Ab.

(2)???。r，平面ABC。，CFDE,二DE,平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,￡（0,0,1）F（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,￡>C=（0,2,0）.

設(shè)”=(九,y,z)為平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

則,得《

nEF=02y+z=0

令x=l,則n=（LT2）.

由題意知DC=(0,2,0)為平面BCF的一個(gè)法向量,

__n_、_D_C__-2_76

:.cos（〃,