2024屆安徽高中教科研聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽高中教科研聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為（）A． B． C． D．12．一個平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個圓面的距離為4，則這個球的體積為()A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．某學(xué)校高一、高二、高三教師人數(shù)分別為100、120、80，為了解他們在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為45的樣本，則抽取高一教師的人數(shù)為（）A．12 B．15 C．18 D．305．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A． B． C． D．6．經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．7．化簡的結(jié)果是()A． B．C． D．8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．在0°到360°范圍內(nèi)，與角－130°終邊相同的角是（）A．50° B．130° C．170° D．230°10．如圖，中，，，用表示，正確的是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足：，，則_____.12．已知函數(shù)在時取得最小值，則________．13．的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則的面積為__________.14．下列說法中：①若，滿足，則的最大值為；②若，則函數(shù)的最小值為③若，滿足，則的最小值為④函數(shù)的最小值為正確的有__________．（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）15．已知球的一個內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．16．圓與圓的公共弦長為______________。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米．（1）求線段的長度；（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值．18．已知.（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若，解關(guān)于x的不等式.19．已知函數(shù)．（1）求（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．20．已知數(shù)列和中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．設(shè)數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求數(shù)列的最大值.21．已知函數(shù)。（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

對任意的實(shí)數(shù)x都成立，說明三角函數(shù)f（x）在時取最大值，利用這個信息求ω的值．【詳解】由題意，當(dāng)時，取到最大值，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時，取到最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心、最值等為?？碱}，本題屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

過球心作垂直圓面于.連接與圓面上一點(diǎn)構(gòu)造出直角三角形再計(jì)算球的半徑即可.【詳解】如圖,過球心作垂直圓面于,連接與圓面上一點(diǎn).則.故球的體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了球中構(gòu)造直角三角形求解半徑的方法等.屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用特殊值，對選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得到正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時，，由此排除D選項(xiàng).當(dāng)時，，由此排除B選項(xiàng).當(dāng)時，，由此排除A選項(xiàng).綜上所述，本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查利用特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由分層抽樣方法即按比例抽樣，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由分層抽樣方法可得抽取高一教師的人數(shù)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣方法，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【詳解】解：由可得，則，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了兩角和的正弦公式，屬中檔題.6、B【解析】

設(shè)出圓心坐標(biāo)，由圓心到切線的距離和它到點(diǎn)的距離都是半徑可求解．【詳解】由題意設(shè)圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求出圓心坐標(biāo)與半徑是求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法．7、D【解析】

確定角的象限，結(jié)合三角恒等式，然后確定的符號，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，故選D.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，象限三角函數(shù)的符號，考查計(jì)算能力，?？碱}型．8、D【解析】

由，，，得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪，對數(shù)值的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先表示與角－130°終邊相同的角，再在0°到360°范圍內(nèi)確定具體角，最后作選擇.【詳解】因?yàn)榕c角－130°終邊相同的角為，所以，因此選D.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，考查基本分析判斷能力，屬基本題.10、C【解析】

由平面向量基本定理和三角形法則求解即可【詳解】由，可得，則，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理和三角形法則,熟記定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

從開始，直接代入公式計(jì)算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.12、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)：基本不等式13、【解析】

由已知及正弦定理可得：，進(jìn)而利用余弦定理即可求得a的值，進(jìn)而可求c，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】，由正弦定理可得：，，由余弦定理，可得，整理可得：或（舍去），，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題注意考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.14、③④【解析】

①令，得出，再利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性判斷該命題的正誤；②將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式判斷該命題的正誤；③由得出，得出，利用基本不等式可判斷該命題的正誤；④將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值，進(jìn)而判斷出該命題的正誤?！驹斀狻竣儆傻?，則，則，設(shè)，則，則，則上減函數(shù)，則上為增函數(shù)，則時，取得最小值，當(dāng)時，，故的最大值為，錯誤；②若，則函數(shù)，則，即函數(shù)的最大值為，無最小值，故錯誤；③若，滿足，則，則，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即得，即時取等號，即的最小值為，故③正確；④，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取等號，即函數(shù)的最小值為，故④正確，故答案為：③④?！军c(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式來判斷命題的正誤，利用基本不等式需注意滿足“一正、二定、三相等”這三個條件，同時注意結(jié)合雙勾函數(shù)單調(diào)性來考查，屬于中等題。15、【解析】

求出面積的最大值，結(jié)合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進(jìn)一步求得球的半徑的最小值得答案．【詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，考查空間想象能力，是中檔題．16、【解析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長公式可得所求.【詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基本題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）1.【解析】

（1），．用余弦定理，即可求出；（2）設(shè)，，用正弦定理求出，，展開，結(jié)合輔助角公式可化為，由的取值范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，所以線段的長度為3千米．（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，．所以，，因此，因?yàn)?，所以．所以?dāng)，即時，取到最大值1．答：兩條觀光線路距離之和的最大值為1千米．【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，尤其是輔助角公式要熟練應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）或；（2）答案不唯一，具體見解析【解析】

（1）將代入，解對應(yīng)的二次不等式可得答案；

（2）對值進(jìn)行分類討論，可得不同情況下不等式的解集．【詳解】解：（1）當(dāng)時，有不等式，，∴不等式的解集為或（2）∵不等式又當(dāng)時，有，∴不等式的解集為；當(dāng)時，有，∴不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，解二次不等式，難度中檔．19、（1）,的增區(qū)間是．（2）．【解析】試題分析：（1）利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡，得到的形式，利用公式計(jì)算周期．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求的單調(diào)性．（3）求三角函數(shù)的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解較復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化成形式，再的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，注意先把化為正數(shù),這是容易出錯的地方．試題解析：（1）因?yàn)椋?＝－1，故最小正周期為得故的增區(qū)間是．（2）因?yàn)?，所以．于是，?dāng)，即時，取得最大值2；當(dāng)，即時，取得最小值－1．考點(diǎn)：（1）求三角函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）求三角函數(shù)在閉區(qū)間的最值．20、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根據(jù)題設(shè)知，再利用求得，驗(yàn)證符合，最后答案可得．

（2）由題設(shè)可知，把代入，然后用錯位相減法求和；（3）計(jì)算，判斷其大于零時的范圍，可得數(shù)列取最大值時的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而可得最大值..【詳解】解：（1）由已知得：，∵當(dāng)時，，又當(dāng)時，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最大，故最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推式解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題，考查數(shù)列最大項(xiàng)的