3-經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：多元回歸

多元線性回歸模型多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的預(yù)測回歸模型的其他形式回歸模型的參數(shù)約束

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德§3.1多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。

一般表現(xiàn)形式：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，

j稱為回歸參數(shù)（regressioncoefficient）。

習(xí)慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣：

模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它的非隨機表達式為:

方程表示：各變量X值固定時Y的平均響應(yīng)。

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;

或者說

j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為

其中

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸函數(shù)其隨機表示式:

ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項

i的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達:

或其中：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。

假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性

假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān)

假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德上述假設(shè)的矩陣符號表示式：

假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩

=k+1，即X滿秩。

假設(shè)2，

假設(shè)3，E(X’

)=0，即

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德假設(shè)4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設(shè)：假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n

∞時，

或

其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的n

k階矩陣

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德§3.2多元線性回歸模型的估計

估計方法：OLS一、普通最小二乘估計二、參數(shù)估計量的性質(zhì)三、樣本容量問題四、估計實例

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應(yīng)該是下列方程組的解

其中

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德將上述過程用矩陣表示如下：

即求解方程組：得到：

于是：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消費支出例中，

可求得

于是

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?正規(guī)方程組的另一種寫法對于正規(guī)方程組

于是

或

(*)或（**）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法

(*)(**)

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?樣本回歸函數(shù)的離差形式i=1,2…n其矩陣形式為

其中：在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?隨機誤差項

的方差

的無偏估計

可以證明，隨機誤差項

的方差的無偏估計量為

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德二、參數(shù)估計量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)

的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有：

線性性、無偏性、有效性。

同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有：

漸近無偏性、漸近有效性、一致性。

1、線性性

其中,C=(X’X)-1X’為一僅與固定的X有關(guān)的行向量

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

2、無偏性

這里利用了假設(shè):E(X’)=0

3、有效性（最小方差性）

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德其中利用了

和

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

三、樣本容量問題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。⒈

最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即

n

k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計檢驗的角度：

n

30時，Z檢驗才能應(yīng)用；

n-k8時,t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗認為:

當(dāng)n

30或者至少n3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

四、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例

例3.2.2

在例2.5.1中，已建立了中國居民人均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：人均GDP：GDPP

前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間：1979~2000年

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德Eviews軟件估計結(jié)果

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德§3.2多元線性回歸模型的估計

估計方法：OLS一、普通最小二乘估計二、參數(shù)估計量的性質(zhì)三、樣本容量問題四、估計實例

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應(yīng)該是下列方程組的解

其中

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德將上述過程用矩陣表示如下：

即求解方程組：得到：

于是：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消費支出例中，

可求得

于是

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?正規(guī)方程組的另一種寫法對于正規(guī)方程組

于是

或

(*)或（**）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法

(*)(**)

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?樣本回歸函數(shù)的離差形式i=1,2…n其矩陣形式為

其中：在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德?隨機誤差項

的方差

的無偏估計

可以證明，隨機誤差項

的方差的無偏估計量為

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德二、參數(shù)估計量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)

的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有：

線性性、無偏性、有效性。

同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有：

漸近無偏性、漸近有效性、一致性。

1、線性性

其中,C=(X’X)-1X’為一僅與固定的X有關(guān)的行向量

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

2、無偏性

這里利用了假設(shè):E(X’)=0

3、有效性（最小方差性）

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德其中利用了

和

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

三、樣本容量問題

所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。⒈

最小樣本容量

樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即

n

k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德2、滿足基本要求的樣本容量

從統(tǒng)計檢驗的角度：

n

30時，Z檢驗才能應(yīng)用；

n-k8時,t分布較為穩(wěn)定

一般經(jīng)驗認為:

當(dāng)n

30或者至少n3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。

模型的良好性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

四、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例

例3.2.2

在例2.5.1中，已建立了中國居民人均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：人均GDP：GDPP

前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間：1979~2000年

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德Eviews軟件估計結(jié)果

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德§3.4多元線性回歸模型的預(yù)測

一、E(Y0)的置信區(qū)間

二、Y0的置信區(qū)間

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德對于模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測值：

它可以是總體均值E(Y0)或個值Y0的預(yù)測。但嚴格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。

為了進行科學(xué)預(yù)測，還需求出預(yù)測值的置信區(qū)間，包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

一、E(Y0)的置信區(qū)間易知

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德容易證明

于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間：

其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值。

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

二、Y0的置信區(qū)間

如果已經(jīng)知道實際的預(yù)測值Y0，那么預(yù)測誤差為：容易證明

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德e0服從正態(tài)分布，即

構(gòu)造t統(tǒng)計量

可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間：

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

中國居民人均收入-消費支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，

于是人均居民消費的預(yù)測值為

?2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）

實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：-0.31%預(yù)測的置信區(qū)間：

2009.3.1計量經(jīng)濟學(xué)劉照德于是E(?2001）的95%的置信區(qū)間為:

或（1741.8，1811.7）或

（1711.1,1842.4）

同樣，易得?2001的95%的置信區(qū)間為

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德§3.5＊

回歸模型的其他函數(shù)形式

一、模型的類型與變換

二、非線性回歸實例

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。

如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經(jīng)濟學(xué)方面的處理。

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

一、模型的類型與變換

1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法

例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線

s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設(shè)X1=r，X2=r2，則原方程變換為

s=a+bX1+cX2c<0

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法

例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù)

Q=AK

L

Q：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動

方程兩邊取對數(shù)：

lnQ=lnA+lnK+lnL

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法

方程兩邊取對數(shù)后，得到：

(

1+2=1)Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動投入：替代參數(shù)，1、

2：分配參數(shù)例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)

將式中l(wèi)n(

1K-+2L-)在

=0處展開臺勞級數(shù),取關(guān)于

的線性項，即得到一個線性近似式。

如取0階、1階、2階項，可得

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德并非所有的函數(shù)形式都可以線性化

無法線性化模型的一般形式為:其中，f(x1,x2,…,Xk)為非線性函數(shù)。如：

2009.3.1

計量經(jīng)濟學(xué)劉照德

二、非線性回歸實例

例3.5.1

建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數(shù)模型。

根據(jù)需求理論，居民對食品的消費需求函數(shù)大致為

Q:居民對食品的