2024年中考數(shù)學(xué)必考考點總結(jié)+題型專訓(xùn)概率（原卷版+解析）

專題33概率

考點一：概率

知識回顧

1.事件：

①確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件

稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定事件。

②隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。

2.事件的可能性（概率）大小：

事件的可能性大小用概率來表示。表示為尸（事件）。

必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0；隨機事件的概率為0VPV1。

3.概率的定義與計算公式：

①概率的意義：一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率生會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，

n

那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為尸（A）=p

隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)

②概率公式：隨機事件A的概率P（A）=

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果4

4.幾何概率：

在幾何中概率的求解皆用部分面積比總面積，或部分長度比總長度，或部分角度比整個大角角度。

微專題

1.（2023?巴中）下列說法正確的是（）

A.日是無理數(shù)

B.明天巴中城區(qū)下雨是必然事件

C.正五邊形的每個內(nèi)角是108°

D.相似三角形的面積比等于相似比

2.（2023?寧夏）下列事件為確定事件的有（

（1）打開電視正在播動畫片

（2）長、寬為機，〃的矩形面積是機〃

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

（4）TT是無理數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023?遼寧）下列事件中，是必然事件的是（）

A.射擊運動員射擊一次，命中靶心

B.擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6

C.任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)

D.從一個只裝有紅球的盒子里摸出一個球是紅球

4.（2023?廣西）下列事件是必然事件的是（）

A.三角形內(nèi)角和是180°

B.端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍

C.擲一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上

D.打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況

5.（2023?武漢）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機事件

6.（2023?貴陽）某校九年級選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識競賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式

決定每個人的出場順序、主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些

紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小

B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大

D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

7.（2023?襄陽）下列說法正確的是（）

A.自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件

B.成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機事件

C.“襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨

D.若抽獎活動的中獎概率為則抽獎50次必中獎1次

50

8.（2023?長沙）下列說法中，正確的是（）

A.調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查

B.“太陽東升西落”是不可能事件

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是條形統(tǒng)計圖

D.任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次

9.（2023?東營）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的

概率是（）

11

B.—C.—D

3

10.（2023?丹東）四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是-2,3,-10,6,除正面數(shù)字不同外，其余都

相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是-10的概

率是（）

113

A.—B.—C.—D.1

424

11.（2023?益陽）在某市組織的物理實驗操作考試中，考試所用實驗室共有24個測試位，分成6組，同組

4個測試位各有一道相同試題，各組的試題不同，分別標(biāo)記為A,B,C,D,E,F,考生從中隨機抽取

一道試題，則某個考生抽到試題A的概率為（）

2111

A.一B.一C.—D.—

34624

12.（2023?蘭州）無色酚酷溶液是一種常用酸堿指示劑，廣泛應(yīng)用于檢驗溶液酸堿性，通常情況下酚酰溶液

遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色.現(xiàn)有5瓶缺失標(biāo)簽的無色液體：蒸儲水、白

醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚麟試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是（）

1234

A.—B.—C.—D.—

5555

13.（2023?銅仁市）在一個不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍(lán)球3個，它們除顏色外，

大小、質(zhì)地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，則摸中哪種球的概率最大（）

A.紅球B.黃球C.白球D.藍(lán)球

14.（2023?百色）籃球裁判員通常用拋擲硬幣的方式來確定哪一方先選場地，那么拋擲一枚均勻的硬幣一次，

正面朝上的概率是（）

15.（2023?呼和浩特）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的。個白球、b個紅球，則任意摸出一個球是紅球

的概率是（）

16.（2023?齊齊哈爾）在單詞sfa加tics（統(tǒng)計學(xué)）中任意選擇一個字母，字母為“s”的概率是（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

17.（2023?鎮(zhèn)江）從2021、2022、2023、2024、2025這五個數(shù)中任意抽取3個數(shù).抽到中位數(shù)是2022的3

個數(shù)的概率等于.

18.（2023?阜新）如圖，是由12個全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點

取在陰影部分的概率是（）

第18題第19題

19.（2023?徐州）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等,

則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

111V3

A.—B.—C.—D.-----

4323

20.（2023?朝陽）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取一點，那么這個

點取在陰影部分的概率是（）

21.（2023?通遼）如圖，正方形及其內(nèi)切圓O,隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率

是（）

AB

第21題第22題

7171一71

A.—B.1--D.1--

448

22.（2023?黔東南州）如圖，已知正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為廠的。。隨機地往內(nèi)投一粒米，落

在正六邊形內(nèi)的概率為（）

A,正

B.----

2萬2?

C.旦

D.以上答案都不對

4%

23.（2023?蘇州）如圖，在5義6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的

頂點稱為格點，扇形OA8的圓心及弧的兩端均為格點.假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中

扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形0A8（陰影部分）的

概率是（）

第24題

7171加57r后兀

A.——B.——C.--------D.------

12246060

24.（2023?成都）如圖，已知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點,

則這個點取在陰影部分的概率是

考點二：求概率的方法

知識回顧

1.古典概型:

①定義：若在一次實驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限多個，且每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相同,

那么這樣的實驗稱古典概型。

②概率求法：一般地，在一次實驗中，有〃種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且他們發(fā)生的可能性大小相同,

事件A包含了其中的加種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）='。

n

2.列表法：

當(dāng)試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，不重不漏地列舉

出所有可能的結(jié)果，再求出概率。

3.樹狀法：

當(dāng)試驗中存在三個及以上的元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用畫樹狀圖的方式，不

重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，再求出概率。

4.游戲的公平性：

判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不

公平。

5.用頻率估算概率：

大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這

個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率。

實驗的次數(shù)越多，則估算結(jié)果越精確。

微專題

\/

25.（2023?濟南）某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題,

若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）

26.（2023?棗莊）在踐行“安全在我心中，你我一起行動”主題手抄報評比活動中，共設(shè)置“交通安全、消

防安全、飲食安全、防疫安全”四個主題內(nèi)容，推薦兩名學(xué)生參加評比，若他們每人從以上四個主題內(nèi)

容中隨機選取一個，則兩人恰好選中同一主題的概率是（）

1121

A.—B.—C.—D.一

2334

27.（2023?綿陽）某校開展崗位體驗勞動教育活動，設(shè)置了“安全小衛(wèi)士”“環(huán)保小衛(wèi)士”“圖書管理小衛(wèi)士”

“宿舍管理小衛(wèi)士”共四個崗位，每個崗位體驗人數(shù)不限且每位同學(xué)只能從中隨機選擇一個崗位進行體

驗.甲、乙兩名同學(xué)都參加了此項活動，則這兩名同學(xué)恰好在同一崗位體驗的概率為（）

28.（2023?牡丹江）在一個不透明的袋子中裝有1個紅色小球，1個綠色小球，除顏色外無其他差別，隨機

摸出一個小球后放回并搖勻，再隨機摸出一個，則兩次都摸到紅色小球的概率是（）

1231

A.一B.—C.—D.一

2344

29.（2023?煙臺）如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關(guān)能形成閉合電路的概率是（）

30.（2023?鞍山）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和機個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學(xué)進行了

如下試驗：從袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，為一次摸球試驗.根據(jù)記錄在下表中的

摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出優(yōu)的值為

摸球的總次數(shù)a10050010002000

摸出紅球的次數(shù)619101199400

摸出紅球的頻率k0.1900.2020.1990.200

a

31.（2023?益陽）近年來，洞庭湖區(qū)環(huán)境保護效果顯著，南遷的候鳥種群越來越多.為了解南遷到該區(qū)域某

濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉40只，戴上識別卡并放回；經(jīng)過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只A種候

鳥中有10只佩有識別卡，由此估計該濕地約有只A種候鳥.

32.（2023?蘭州）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的

移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中

的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數(shù)878934485722489831344318044

（棵）

幼樹移植成活的頻0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是.（結(jié)果精確到0.1）

33.（2023?遼寧）質(zhì)檢部門對某批產(chǎn)品的質(zhì)量進行隨機抽檢，結(jié)果如下表所示:

抽檢產(chǎn)品數(shù)〃1001502002503005001000

合格產(chǎn)品數(shù)89134179226271451904

m

合格率典0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

n

在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是（結(jié)果保留一位小數(shù)）

34.（2023?桂林）當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率.歷史上數(shù)學(xué)家皮爾遜（Pearson）曾在

實驗中擲均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率約為0.5,則擲一枚均勻的硬幣，正面

朝上的概率是

專題33概率

考點一：概率

知識回顧

5.事件：

①確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不

會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定事件。

②隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。

6.事件的可能性（概率）大?。?/p>

事件的可能性大小用概率來表示。表示為P（事件）。

必然事件的概率為1;不可能事件的概率為0;隨機事件的概率為0VPVI。

7.概率的定義與計算公式：

①概率的意義：一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率'會穩(wěn)定在

n

某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)?就叫做事件A的概率，記為P（A）=p

隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)

②概率公式：隨機事件A的概率P（A）=

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，

8.幾何概率：

在幾何中概率的求解皆用部分面積比總面積，或部分長度比總長度，或部分角度比

整個大角角度。

微專題

1.（2023?巴中）下列說法正確的是（）

A.JZ是無理數(shù)

B.明天巴中城區(qū)下雨是必然事件

C.正五邊形的每個內(nèi)角是108°

D.相似三角形的面積比等于相似比

【分析】根據(jù)二次根式的化簡可得返=2,隨機事件，正五邊形每個內(nèi)角是108°,相

似三角形的性質(zhì)，逐一判斷即可解得.

【解答】解：A.vV4=2,

是有理數(shù)，

故A不符合題意；

B.明天巴中城區(qū)下雨是隨機事件，故3不符合題意；

C.正五邊形的每個內(nèi)角是108°,故C符合題意；

D.相似三角形的面積比等于相似比的平方，故。不符合題意；

故選：C.

2.（2023?寧夏）下列事件為確定事件的有（）

（1）打開電視正在播動畫片

（2）長、寬為72的矩形面積是”7〃

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

（4）TT是無理數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】直接利用隨機事件以及確定事件的定義分析得出答案.

【解答】解：（1）打開電視正在播動畫片，是隨機事件，不合題意；

（2）長、寬為根，”的矩形面積是是確定事件，符合題意；

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，是隨機事件，不合題意；

（4）n是無理數(shù)，是確定事件，符合題意；

故選：B.

3.（2023?遼寧）下列事件中，是必然事件的是（）

A.射擊運動員射擊一次，命中靶心

B.擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6

C.任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)

D.從一個只裝有紅球的盒子里摸出一個球是紅球

【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故A不符合題意;

2、擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6,是隨機事件，故B不符合題意；

C、任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)，是隨機事件，故C不符合題意；

D,從一個只裝有紅球的盒子里摸出一個球是紅球，是必然事件，故。符合題意；

故選：D.

4.（2023?廣西）下列事件是必然事件的是（）

A.三角形內(nèi)角和是180°

B.端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍

C.擲一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上

D.打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，逐一判斷

即可解答.

【解答】解：A、三角形內(nèi)角和是180°,是必然事件，故A符合題意；

8、端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍，是隨機事件，故8不符合題意；

C、擲一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上，是隨機事件，故C不符合題意；

。、打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況，是隨機事件，故。不符合題意；

故選：A.

5.（2023?武漢）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機事件

【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，即可判斷.

【解答】解：彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是隨機事件，

故選：D.

6.（2023?貴陽）某校九年級選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識競賽”.比賽規(guī)

定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序、主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫

在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一

張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小

B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大

D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

【分析】根據(jù)概率公式求出小星抽到各個數(shù)字的概率，然后進行比較，即可得出答案.

【解答】解：張同樣的紙條上分別寫有1,2,3,

???小星抽到數(shù)字1的概率是工，抽到數(shù)字2的概率是工，抽到數(shù)字3的概率是工，

333

/.小星抽到每個數(shù)的可能性相同；

故選：D.

7.（2023?襄陽）下列說法正確的是（）

A.自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件

B.成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機事件

C.“襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨

D.若抽獎活動的中獎概率為二-,則抽獎50次必中獎1次

50

【分析】根據(jù)概率的意義，概率公式，隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，即可

解答.

【解答】解：A、自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件，故A符合題意；

B,成語“水中撈月”所描述的事件，是不可能事件，故2不符合題意；

C、襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天降雨的可能性是60%,故C不符合題意；

D、若抽獎活動的中獎概率為工，則抽獎50次不一定中獎1次，故。不符合題意；

50

故選：A.

8.（2023?長沙）下列說法中，正確的是（）

A.調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查

B.“太陽東升西落”是不可能事件

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是條形統(tǒng)計圖

D.任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次

【分析】根據(jù)概率的意義，全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，條形統(tǒng)計圖，隨機事件，逐一判斷即

可解答.

【解答】解：4調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查，故A符合題意；

2、“太陽東升西落”是必然事件，故8不符合題意；

C、為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖，故C不

符合題意；

D、任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)可能是13次，故。不符

合題意；

故選：A.

9.（2023?東營）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形

是軸對稱圖形的概率是（）

1

D.-

6

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念、概率公式計算即可.

【解答】解：如圖，當(dāng)涂黑1或2或3或4區(qū)域時，所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱

圖形，

則尸（是軸對稱圖形）=&=2,

63

故選：A.

10.（2023?丹東）四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是-2,3,-10,6,除正面數(shù)字

不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機抽取一張卡片，則

這張卡片正面的數(shù)字是-10的概率是（）

113

A.—B.—C.—D.1

424

【分析】用-10的個數(shù)除以總數(shù)即可求得概率.

【解答】解：由題意可知，

共有4張標(biāo)有數(shù)字-2,3,-10,6的卡片，摸到每一張的可能性是均等的，其中為-10

的有1種，

所以隨機抽取一張，這張卡片正面的數(shù)字是-10的概率是工，

4

故選：A.

11.（2023?益陽）在某市組織的物理實驗操作考試中，考試所用實驗室共有24個測試位，

分成6組，同組4個測試位各有一道相同試題，各組的試題不同，分別標(biāo)記為A,B,C,

D,E,F,考生從中隨機抽取一道試題，則某個考生抽到試題A的概率為（）

2111

A.-B.-C.-D.—

34624

【分析】根據(jù)抽到試題A的概率=試題A出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)即可得

出答案.

【解答】解：總共有24道題，試題A共有4道，

P（抽到試題A）='=!，

246

故選：C.

12.（2023?蘭州）無色酚麟溶液是一種常用酸堿指示劑，廣泛應(yīng)用于檢驗溶液酸堿性，通常

情況下酚酸溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色.現(xiàn)有5瓶缺

失標(biāo)簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚麟

試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

【分析】總共5種溶液，其中堿性溶液有2種，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：：總共5種溶液，其中堿性溶液有2種，

/.將酚醐試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是2,

5

故選：B.

13.（2023?銅仁市）在一個不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍(lán)球3個，

它們除顏色外，大小、質(zhì)地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，則摸中哪種球的概率最

大（）

A.紅球B.黃球C.白球D.藍(lán)球

【分析】根據(jù)概率的求法，因為紅球的個數(shù)最多，所以摸到紅球的概率最大.

【解答】解：在一個不透明的布袋內(nèi)，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍(lán)球3個，

它們除顏色外，大小、質(zhì)地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，

因為紅球的個數(shù)最多，所以摸到紅球的概率最大，

摸到紅球的概率是：巨，

13

故選：A.

14.（2023?百色）籃球裁判員通常用拋擲硬幣的方式來確定哪一方先選場地，那么拋擲一枚

均勻的硬幣一次，正面朝上的概率是（）

111

A.1B.—C.—D.—

246

【分析】根據(jù)概率的計算公式直接計算即可.一般地，如果在一次試驗中，有n種可能

的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的機種結(jié)果，那么事件A發(fā)生

的概率為P（A）=螞.

n

【解答】解：拋硬幣有兩種結(jié)果：正面向上、反面向上，

則正面向上的概率為工.

2

故選：B.

15.（2023?呼和浩特）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的。個白球、b個紅球，則任意摸

出一個球是紅球的概率是（）

a+baa+bb

【分析】根據(jù)概率的計算公式直接計算即可.一般地，如果在一次試驗中，有n種可能

的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的機種結(jié)果，那么事件A發(fā)生

的概率為尸（A）=螞.

n

【解答】解：不透明袋中裝有除顏色外完全相同的〃個白球、。個紅球，

則任意摸出一個球是紅球的概率是一L.

a+b

故選：A.

16.（2023?齊齊哈爾）在單詞s勿由，cs（統(tǒng)計學(xué)）中任意選擇一個字母，字母為“s”的概率

是（)

【分析】根據(jù)題意，可以寫出任意選擇一個字母的所有可能性和選擇的字母是S的可能

性，從而可以求出相應(yīng)的概率.

【解答】解：在單詞s3is〃cs（統(tǒng)計學(xué)）中任意選擇一個字母一共有10種可能性，其中

字母為“S”的可能性有3種，

任意選擇一個字母，字母為“s”的概率是且，

10

故選：c.

17.（2023?鎮(zhèn)江）從2021、2022、2023、2024、2025這五個數(shù)中任意抽取3個數(shù).抽到中

位數(shù)是2022的3個數(shù)的概率等于.

【分析】列舉得出共有10種等可能情況，其中中位數(shù)是2022有3種情況，再由概率公

式求解即可.

【解答】解：從2021、2022、2023、2024、2025這五個數(shù)中任意抽取3個數(shù)為：2021、

2022、2023,2021、2022、2024,2021、2022、2025,2021、2023、2024,2021、2023、

2025,2021、2024、2025,2022、2023、2024,2022、2023、2025,2022、2024、2025,

2023、2024、2025,

共有10種等可能情況，其中中位數(shù)是2022有3種情況，

抽到中位數(shù)是2022的3個數(shù)的概率為&,

10

故答案為：

10

18.（2023?阜新）如圖，是由12個全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機在圖中取

點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）

【分析】先設(shè)每個小等邊三角的面積為x,則陰影部分的面積是6無，得出整個圖形的面

積是Ux,再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案.

【解答】解：先設(shè)每個小等邊三角的面積為X,

則陰影部分的面積是6x,得出整個圖形的面積是12x,

則這個點取在陰影部分的概率是其=』

12x2

故選：D.

19.（2023?徐州）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各

點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

【分析】如圖，將整個圖形分割成圖形中的小三角形，令小三角形的面積為分別表示

出陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：如圖所示，設(shè)每個小三角形的面積為a,

則陰影的面積為6a,正六邊形的面積為18a,

將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為型-=1，

18a3

故選：B.

20.（2023?朝陽）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中取

一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）

【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可.

【解答】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的8，

8

即這個點取在陰影部分的概率是3,

8

故選：A.

21.（2023?通遼）如圖，正方形及其內(nèi)切圓O,隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰

影部分的概率是（）

71兀TC兀

A.—B.1--C.—D.1--

4488

【分析】直接表示出各部分面積，進而得出落在陰影部分的概率.

【解答】解：設(shè)圓的半徑為a,則圓的面積為：to2,正方形面積為：4a2,

故隨機地往正方形內(nèi)投一粒米，落在陰影部分的概率為：.

故選：B.

22.（2023?黔東南州）如圖，已知正六邊形ABCDEE內(nèi)接于半徑為廠的OO,隨機地往。。

內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（）

【分析】求出正六邊形的面積占圓面積的幾分之幾即可.

【解答】解：圓的面積為it/,

正六邊形ABCDEF的面積為2rX返廠X6=右巨/，

222

3732

所以正六邊形的面積占圓面積的2丁=2返,

2

nr2冗

故選：A.

23.（2023?蘇州）如圖，在5義6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相

同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OA8的圓心及弧的兩端均為格點.假設(shè)飛鏢擊中每

一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲

飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（）

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積

的比值.

【解答】解：???總面積為5義6=30,其中陰影部分面積為空=旦L,

3602

5冗

二.飛鏢落在陰影部分的概率是_2_=工，

3012

故選：A.

24.（2023?成都）如圖，已知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以

隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是.

【分析】作OBLAB,設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)。。是小正方形的外接圓，是

大正方形的內(nèi)切圓，可得O8=OC=r,△A08、△COD是等腰直角三角形，即可得AE

=2r,CF=42r,從而求出答案.

【解答】解：作ODLCD,OBLAB,如圖：

設(shè)O。的半徑為r,

,；o。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓，

：.OB=OC=r,△M）B、△COD是等腰直角三角形，

：.AB=OB^r,OD=CD=y~^r,

2

：.AE^2r,CF=Jjr,

這個點取在陰影部分的概率是兀=“一（、反=）2=三工

⑵）24

故答案為：2Lz2.

4

考點二：求概率的方法

知識回顧

6.古典概型:

①定義：若在一次實驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限多個，且每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能

性大小相同，那么這樣的實驗稱古典概型。

②概率求法：一般地，在一次實驗中，有八種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且他們發(fā)生的可

能性大小相同，事件A包含了其中的加種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）='。

n

7.列表法:

當(dāng)試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，不

重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，再求出概率。

8.樹狀法：

當(dāng)試驗中存在三個及以上的元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用畫樹狀

圖的方式，不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，再求出概率。

9.游戲的公平性：

判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公

平，否則就不公平。

10.用頻率估算概率：

大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來

越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似

值就是這個事件的概率。

實驗的次數(shù)越多，則估算結(jié)果越精確。

微專題

25.（2023?濟南）某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速

度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題

的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.—

9633

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結(jié)

果有3種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結(jié)果有3種，

小明和小亮恰好選擇同一個主題的概率為皂=工，

93

故選：c.

26.（2023?棗莊）在踐行“安全在我心中，你我一起行動”主題手抄報評比活動中，共設(shè)置

“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個主題內(nèi)容，推薦兩名學(xué)生參加評比，

若他們每人從以上四個主題內(nèi)容中隨機選取一個，則兩人恰好選中同一主題的概率是

（）

1121

A.—B.—C.-D.一

2334

【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩人恰好選中同一主題的結(jié)果有4種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如圖:

共有16種等可能的結(jié)果，兩人恰好選中同一主題的結(jié)果有4種，

則兩人恰好選中同一主題的概率為-生=』.

164

故選：D.

27.（2023?綿陽）某校開展崗位體驗勞動教育活動，設(shè)置了“安全小衛(wèi)士”“環(huán)保小衛(wèi)士”

“圖書管理小衛(wèi)士”“宿舍管理小衛(wèi)士”共四個崗位，每個崗位體驗人數(shù)不限且每位同學(xué)

只能從中隨機選擇一個崗位進行體驗.甲、乙兩名同學(xué)都參加了此項活動，則這兩名同

學(xué)恰好在同一崗位體驗的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

46816

【分析】利用樹狀圖把兩名同學(xué)體驗崗位所有可能的情況都表示出來，然后利用概率公

式求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如圖所示，

開始

甲

乙

莖

宿

痞

環(huán)

安

環(huán)S

安

安

舍

保

毛

全

舍

王

全

保