湖南省名校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期入學考試 數(shù)學試題含答案

名校聯(lián)盟?2024年下學期高二入學考試數(shù)學本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．32．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，則以為單位正交基底時的坐標為（

）A． B． C． D．4．樣本數(shù)據(jù)：48，49，50，50，50，50，51，52的方差為（

）A．1 B．1.25 C．2.5 D．45．底面圓周長為，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心為，，則（

）A． B． C． D．7．近日，我國某生命科學研究所的生物研究小組成員通過大量的實驗和數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位時間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（

）A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg8．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個不等的實根，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的值域為C．在上單調遞減 D．11．已知正數(shù)，滿足且，則（

）A．的最小值為16 B．的最小值為4C．的最小值為 D．，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知冪函數(shù)在0,+∞上單調遞減，則.13．的取值范圍為.14．已知正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點，建立如圖所示空間直角坐標系，點在平面內(nèi)運動，則點到，，，這四點的距離之和的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在空間直角坐標系中，已知點，，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.16．已知為純虛數(shù).(1)求；(2)求.17．2024年西部數(shù)學邀請賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對中學生數(shù)學能力的一次全面考驗，更是對數(shù)學教育未來發(fā)展的深刻實踐探索，共有200多名學生參賽，引起社會廣泛關注，點燃了全社會對數(shù)學的熱情.甲、乙、丙3名同學各自獨立去做2024年西部數(shù)學邀請賽預賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為.(1)求乙、丙各自解出該題的概率；(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.18．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，，分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)求四棱柱被平面截得的截面周長；(3)求直線與平面所成角的正切值.19．已知，，分別為銳角內(nèi)角的對邊，，，（為外接圓的半徑）.(1)證明：；(2)求的最小值.1．B【分析】由空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】因為，，且，所以，解得，故選：B.2．C【分析】先解對數(shù)不等式求出集合A，再結合交集定義計算即可.【詳解】因為，所以，即，所以所以.故選：C.3．B【分析】由空間向量的線性運算和空間向量基本定理，結合單位正交基底，求向量的坐標.【詳解】空間向量，，則，故以為單位正交基底時的坐標為.故選：B.4．B【分析】先求出數(shù)據(jù)的平均值，由方差公式計算方差.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故選：B.5．C【分析】作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，利用直角三角形求出內(nèi)切球的半徑，再計算內(nèi)切球的體積.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，故內(nèi)切球體積為.故選：C.6．A【分析】根據(jù)兩相鄰對稱中心的距離為周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函數(shù)的中心對稱結論列式，根據(jù)求解即可.【詳解】由圖象的兩個相鄰對稱中心為，，可得，所以，故，又，則，結合，得.故選：A.7．D【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型代入即可得出，最后再根據(jù)脈搏率得出體重.【詳解】根據(jù)題意，當時，，則，當時，則，故.故選：D.8．A【分析】先分和兩種情況得出函數(shù)的圖象再結合圖象得出2個不等的實根，再計算可得的取值范圍.【詳解】當時，，當時，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

結合圖象可得，當時，方程在上有且僅有2個不等的實根，，且，所以的取值范圍是.故選：A.9．BD【分析】運用空間向量的基底表示，結合平面向量的三角形法則和線性運算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.10．BC【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)指數(shù)復合函數(shù)值域的求法求解判斷B，結合指數(shù)函數(shù)的單調性及復合函數(shù)的單調法則判斷C，利用單調性比較大小判斷D.【詳解】易得的定義域為R，且，故不為偶函數(shù)，故A錯誤；令，則，因為在上的值域為，故B正確；因為在上單調遞增，且在上單調遞減，所以根據(jù)復合函數(shù)單調性法則，得函數(shù)在上單調遞減，故C正確；由于函數(shù)在上單調遞減，所以，故D錯誤.故選：BC11．D【分析】根據(jù)不等式的性質計算求和再結合基本不等式計算求出和的最小值判斷A,B,C，最后根據(jù)不等式性質判斷D.【詳解】由題意可得，，，,當且僅當時取等號，經(jīng)檢驗后無法取得等號，故A、B錯誤；由得，由得：，，又，當且僅當時取等號，經(jīng)檢驗后無法取得等號，的最小值不為，故C錯誤；，，，，故D正確，故選：D.12．【分析】先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)計算求參得出或，最后結合函數(shù)的單調性計算得出符合題意的參數(shù).【詳解】由題意可得為冪函數(shù)，則，解得或.當時，為增函數(shù)，不符合題意；當時，在0,+∞單調遞減，符合題意.故答案為:.13．【分析】利用輔助角公式及同角三角函數(shù)的平方關系、三角函數(shù)的性質計算即可.【詳解】由題意可得，又，所以，所以.故答案為：.14．【分析】由圖形的結構特征，當為正方體中心時，點到兩點的距離之和最小值為，到這兩點的距離之和的最小值為，求值即可.【詳解】點與點和點的距離之和為，因為關于平面的對稱點為，故，當且僅當為中點，即為正方體中心時等號成立；點與點和點的距離之和可表示為，則，當且僅當在所在直線上時等號成立，故的最小值為，當且僅當為正方體中心時等號成立.故答案為：.15．(1)2或(2)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標運算公式計算求參；（2）先由空間兩點間的距離公式計算，再結合二次函數(shù)值域求解.【詳解】（1）由題意可得，，因為，解得或（2）由空間兩點間的距離公式，得，當時，有最小值.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的除法及乘法運算化簡，最后根據(jù)復數(shù)類型求參；（2）根據(jù)復數(shù)的乘方計算，再結合復數(shù)的周期性，再求和即可.【詳解】（1）由題意可得，因為是純虛數(shù)，所以，解得.（2）由（1）得到，又，，，，則，，，，，即有，，故.17．(1)，(2)【分析】（1）設出事件，運用相互獨立事件概率的乘法公式及對立事件概率公式求解即可；（2）運用相互獨立事件概率的乘法公式，結合對立事件概率公式計算即可.【詳解】（1）設“甲解出該題”為事件，“乙解出該題”為事件，“丙解出該題”為事件，則，，相互獨立，由題意得，，所以，，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，.（2）設“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，則，因為，，，所以，，，因為、、相互獨立，所以.所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）應用面面垂直性質定理得出線面垂直，進而得出根據(jù)角得出，最后應用線面垂直判定定理證明；（2）根據(jù)線面平行性質定理得出線線平行得出截面再根據(jù)圖形特征計算邊長即可；（3）先根據(jù)線面角定義得出與平面所成角為，再等面積求邊長比即可得出正切值.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，，為的中點，所以，在直四棱柱中，平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形是矩形，，，，分別為，的中點，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，且平面，所以平面.（2）因為平面，所以平面與平面的交線與平行，所以交線為，連接，，，則四棱柱被平面截得的截面為四邊形，，，，因為，所以，因為，所以，所以四邊形的周長為.（3）過點作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以點在平面上的射影必在上，所以直線與平面所成角為，因為，，，，所以，所以，即直線與平面所成角的正切值為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓的特征得出，從