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文檔簡介
專題14正多邊形和圓、弧長和扇形的面積考點一正多邊形和圓考點二求正多邊形的中心角考點三已知正多邊形的中心角求邊數(shù)考點四求弧長考點五求扇形的半徑考點六求圓心角考點七求某點的弧形運動路徑的長度考點八求扇形的馬面積考點九求圖形旋轉后掃過的面積考點十求不規(guī)則圖形的面積考點一正多邊形和圓例題:(2022·江蘇·九年級課時練習)如圖,已知的半徑為1,則它的內接正方形的邊長為(
)A.1 B.2 C. D.【變式訓練】1.(2022·江蘇·九年級課時練習)若正六邊形的邊長為4,則它的外接圓的半徑為(
)A. B.4 C. D.22.(2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末)如圖,的外切正六邊形的邊心距的長度為,那么正六邊形的周長為(
)A.2 B.6 C.12 D.考點二求正多邊形的中心角例題:(2022·遼寧大連·九年級期末)如圖,正五邊形ABCDE內接于⊙O,則正五邊形中心角∠COD的度數(shù)是()A.76° B.72° C.60° D.36°【變式訓練】1.(2022·湖北恩施·九年級期末)如圖.點O是正五邊形的中心,是正五邊形的外接圓,的度數(shù)為____.2.(2021·吉林·九年級階段練習)如圖,正五邊形ABCDE內接于⊙O,作OF⊥BC交⊙O于點F,連接FA,則∠OFA=_____°.考點三已知正多邊形的中心角求邊數(shù)例題:(2022·江蘇·九年級專題練習)正n邊形的中心角為72°,則______.【變式訓練】1.(2022·江蘇·九年級專題練習)一個正多邊形的中心角是30°,則這個多邊形是正____邊形.2.(2021·江蘇·泰興市濟川初級中學九年級階段練習)如圖,四邊形為的內接正四邊形,為的內接正三角形,若恰好是同圓的一個內接正邊形的一邊,則的值為_________.考點四求弧長例題:(2022·河北唐山·九年級期末)如圖,將⊙O沿弦AB折疊,恰好經(jīng)過圓心O,若⊙O的半徑為3,則的長為(
)A. B. C. D.【變式訓練】1.(2021·四川樂山·三模)如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,則的長為()A.π B.π C.π D.π2.(2022·河南安陽·九年級期末)如圖,在扇形OAB中,,則的長為______cm.考點五求扇形的半徑例題:(2022·黑龍江哈爾濱·三模)一個扇形的弧長是3π,面積是12π,則此扇形的半徑是___________.【變式訓練】1.(2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試)已知扇形的弧長,圓心角是,則該扇形的半徑為______(結果保留).2.(2022·江蘇·九年級專題練習)已知圓弧的度數(shù)為,弧長為,則圓弧的半徑為______考點六求圓心角例題:(2022·天津市靜海區(qū)第二中學九年級階段練習)一個扇形的弧長是20πcm,面積是240πcm2,則這個扇形的圓心角是(
)A.120° B.150° C.60° D.100°【變式訓練】1.(2021·山東煙臺·期中)將一個圓分割成三個扇形,使它們的圓心角度數(shù)比為,則這三個扇形中最大的圓心角度數(shù)為____________.2.(2022·遼寧鞍山·九年級開學考試)如果一個扇形的半徑是2,弧長是,則此扇形的圖心角的度數(shù)為____.考點七求某點的弧形運動路徑的長度例題:(2022·山東棗莊·中考真題)在活動課上,“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設計風車.如圖,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,將直角三角尺繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′,使點C′落在AB邊上,以此方法做下去……則B點通過一次旋轉至B′所經(jīng)過的路徑長為_____.(結果保留π)【變式訓練】1.(2022·湖北宜昌·中考真題)如圖,點,,都在方格紙的格點上,繞點順時針方向旋轉后得到,則點運動的路徑的長為______.2.(2022·廣東·紅嶺中學九年級階段練習)如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=4,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點,當點P沿半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長是______.考點八求扇形的面積例題:(2022·甘肅蘭州·中考真題)如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板,該展板的部分示意圖如圖2所示,它是以O為圓心,OA,OB長分別為半徑,圓心角形成的扇面,若,,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【變式訓練】1.(2022·內蒙古呼倫貝爾·九年級期末)如圖,在ABCD中,∠D=60°,對角線AC⊥BC,⊙O經(jīng)過點A,B,與AC交于點M,連接AO并延長與⊙O交于點F,與CB的延長線交于點E,AB=EB.(1)求證:EC是⊙O的切線;(2)若AD=2,求扇形OAM的面積(結果保留π).2.(2022·湖南益陽·中考真題)如圖,C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點,過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P,連接CA,CO,CB.(1)求證:∠ACO=∠BCP;(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度數(shù);(3)在(2)的條件下,若AB=4,求圖中陰影部分的面積(結果保留π和根號).考點九求圖形旋轉后掃過的面積例題:(2022·廣西河池·中考真題)如圖,在Rt△ABC中,,,,將繞點B順時針旋轉90°得到.在此旋轉過程中所掃過的面積為(
)A.25π+24 B.5π+24 C.25π D.5π【變式訓練】1.(2022·河北邯鄲·九年級期末)如圖,將△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△A'B'C,已知AC=3,BC=2,則=__________;線段AB掃過的圖形(陰影部分)的面積為__________.2.(2022·山東·招遠市教學研究室一模)如圖,在平面直角坐標系中,等邊△ABC的頂點A在y軸的正半軸上,B(﹣5,0),C(5,0),點D(11,0),將△ACD繞點A順時針旋轉60°得到△ABE,則線段CD轉過區(qū)域的面積為________.考點十求不規(guī)則圖形的面積例題:(2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末)如圖,在矩形ABCD中,AC為對角線,,,以B為圓心,AB長為半徑畫弧,交AC于點M,交BC于點N,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【變式訓練】1.(2022·河南安陽·九年級期末)如圖,AB是半圓O的直徑,且AB=10,點P為半圓上一點.將此半圓沿AP所在的直線折疊,若恰好弧AP過圓心O,則圖中陰影部分的面積是______.(結果保留π)2.(2022·河南信陽·九年級期末)如圖,在中,,,,將繞點順時針旋轉,點的對應點落在邊上,交于點,則圖中陰影部分的面積為______.一、選擇題1.(2022秋·福建泉州·九年級??计谀┤粽噙呅蔚闹行慕菫?2°,則該正多邊形的邊數(shù)為(
)A.4 B.5 C.6 D.72.(2023秋·山東臨沂·九年級臨沂實驗中學??计谀┮阎粋€圓錐的底面半徑是,側面積是,則圓錐的母線長是(
)A. B. C. D.3.(2022秋·河北邢臺·九年級金華中學??计谀┤鐖D,正六邊形內接于,正六邊形的周長是12,則正六邊形的邊心距是(
)A. B.2 C. D.44.(2022春·廣東江門·九年級江門市怡福中學??茧A段練習)如圖,是的直徑,是的弦,連接,,若直徑,,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.5.(2022秋·重慶大渡口·九年級重慶市第三十七中學校校考期末)如圖,菱形的邊長為2,,以為圓心的弧與邊、相切,則陰影部分的面積為()A. B. C. D.6.(2022秋·廣東廣州·九年級??计谀┤鐖D,在中,,,分別以點B,C為圓心,線段長的一半為半徑作圓弧,交,,于點,,,則圖中陰影部分的面積是(
)A. B. C. D.二、填空題7.(2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中)如圖,正五邊形內接于,點F在劣弧上,則的度數(shù)為_____°.8.(2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末)半徑為3cm的圓內接正方形的對角線長為______cm,面積為______.9.(2022秋·全國·九年級專題練習)已知圓錐的底面直徑為,母線長為,則圓錐的表面積是__________.(結果保留)10.(2022秋·吉林長春·九年級校考期末)如圖,在的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為2.以點為圓心,8為半徑畫弧,交圖中網(wǎng)格線于點A、B,則的長為______.11.(2022秋·廣東廣州·九年級??计谀┤鐖D,將半徑為4,圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉,點,的對應點分別為,,連接,則圖中陰影部分的面積是___________.12.(2022秋·上?!ち昙墝n}練習)如圖,扇形的半徑,,分別以、的中點C、D為圓心,、為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為_________平方厘米.13.(2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中)如圖,正的邊長為2,為坐標原點,在軸上,在第二象限.沿軸正方向作無滑動的翻滾,經(jīng)第一次翻滾后得,則翻滾3次后點的對應點的坐標是________;翻滾2023次后中點經(jīng)過的路徑長為________.三、解答題14.(2022秋·陜西渭南·九年級??茧A段練習)如圖,已知正六邊形的中心為,半徑.(1)求正六邊形的邊長;(2)以為圓心,為半徑畫,求的長.(結果保留)15.(2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中)如圖,在中,,以為直徑的與線段交于點,作,垂足為,的延長線與的延長線交于點.(1)求證:直線是的切線;(2)若,,求劣弧的長.16.(2022秋·河北邢臺·九年級金華中學??计谀┤鐖D,在中,,以為直徑的分別交線段,于點,,過點作⊥,垂足為,線段,的延長線相交于點.(1)求證:是的切線;(2)若,,求圖中陰影部分的面積.17.(2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學校聯(lián)考階段練習)如圖,為的直徑,為上一點,垂直于過點的直線,垂足為,且平分.(1)判斷:是否是的切線;(2)若的半徑為2,,求線段的長;(3)在(2)的條件下,求圖中陰影部分的面積.18.(2022秋·湖北黃石·九年級黃石十四中校考期中)如圖,已知平行四邊形的三個頂點A、B、C在以O為圓心的半圓上,過點C作,分別交、的延長線于點D、E,交半圓O于點F,連接.(1)判斷直線與半圓O的位置關系,并說明理由;(2)①求證:;②若半圓O的半徑為12,求陰影部分的面積.專題14正多邊形和圓、弧長和扇形的面積考點一正多邊形和圓考點二求正多邊形的中心角考點三已知正多邊形的中心角求邊數(shù)考點四求弧長考點五求扇形的半徑考點六求圓心角考點七求某點的弧形運動路徑的長度考點八求扇形的馬面積考點九求圖形旋轉后掃過的面積考點十求不規(guī)則圖形的面積考點一正多邊形和圓例題:(2022·江蘇·九年級課時練習)如圖,已知的半徑為1,則它的內接正方形的邊長為(
)A.1 B.2 C. D.【答案】C【分析】利用正方形的性質結合勾股定理得出正方形的邊長.【詳解】連接OB、OC,如圖所示,∵的半徑為1,四邊形正方形,∴OB=OC=1,∠BOC=90°,∴,故選C.【點睛】此題考查了正多邊形和圓、勾股定理,正確掌握正方形的性質是本題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·江蘇·九年級課時練習)若正六邊形的邊長為4,則它的外接圓的半徑為(
)A. B.4 C. D.2【答案】B【分析】畫出圖形(見解析),先求出正六邊形的中心角的度數(shù),再根據(jù)等邊三角形的判定與性質即可得.【詳解】解:如圖,正六邊形的中心角,邊長,,是等邊三角形,,即這個正六邊形的外接圓的半徑為4,故選:B.【點睛】本題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質,正確求出正六邊形的中心角的度數(shù)是解題關鍵.2.(2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末)如圖,的外切正六邊形的邊心距的長度為,那么正六邊形的周長為(
)A.2 B.6 C.12 D.【答案】C【分析】過點O作OG⊥AB,垂足為G,根據(jù)邊心距得到OG=,證明△OAB是等邊三角形,利用勾股定理求出AB,從而可得周長.【詳解】解:如圖,過點O作OG⊥AB,垂足為G,由題意可得:OG=,在正六邊形ABCDEF中,∠AOB==60°,OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=OA==2,∴正六邊形ABCDEF的周長為2×6=12,故選:C.【點睛】本題考查的是正多邊形和圓,根據(jù)正六邊形的性質求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關鍵.考點二求正多邊形的中心角例題:(2022·遼寧大連·九年級期末)如圖,正五邊形ABCDE內接于⊙O,則正五邊形中心角∠COD的度數(shù)是()A.76° B.72° C.60° D.36°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式:計算即可.【詳解】解:∵五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形,∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為=72°,故選:B.【點睛】本題考查的是正多邊形和圓,掌握正多邊形的中心角的計算公式:是解題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·湖北恩施·九年級期末)如圖.點O是正五邊形的中心,是正五邊形的外接圓,的度數(shù)為____.【答案】##36度【分析】連接,先求出中心角的度數(shù),再根據(jù)圓周角定理即可得.【詳解】解:如圖,連接,點是正五邊形的中心,是正五邊形的外接圓,中心角,由圓周角定理得:,故答案為:.【點睛】本題考查了圓內接正五邊形和圓周角定理,熟練掌握圓內接正五邊形的中心角的求法是解題關鍵.2.(2021·吉林·九年級階段練習)如圖,正五邊形ABCDE內接于⊙O,作OF⊥BC交⊙O于點F,連接FA,則∠OFA=_____°.【答案】36【分析】連接OA,OB,OB交AF于J.由正多邊形中心角、垂徑定理、圓周角定理得出∠AOB=72°,∠BOF=36°,再由等腰三角形的性質得出答案.【詳解】解:連接OA,OB,OB交AF于J.∵五邊形ABCDE是正五邊形,OF⊥BC,∴,∴∠AOB=72°,∠BOF=∠AOB=36°,∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=108°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA==36°故答案為:36.【點睛】本題主要考查了園內正多邊形中心角度數(shù)、垂徑定理和圓周角定理,垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧,垂徑定理常與勾股定理以及圓周角定理相結合來解題.正n邊形的每個中心角都等于.考點三已知正多邊形的中心角求邊數(shù)例題:(2022·江蘇·九年級專題練習)正n邊形的中心角為72°,則______.【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360°計算即可.【詳解】根據(jù)題意有:,故答案為:5.【點睛】本題考查的是正多邊形和圓,熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·江蘇·九年級專題練習)一個正多邊形的中心角是30°,則這個多邊形是正____邊形.【答案】十二【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角,計算即可得.【詳解】解:∵一個正多邊形的中心角是30°,∴這個多邊形是:360°÷30°=12,即正十二邊形,故答案為:十二.【點睛】本題考查了正多邊形的性質,解題的關鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關系.2.(2021·江蘇·泰興市濟川初級中學九年級階段練習)如圖,四邊形為的內接正四邊形,為的內接正三角形,若恰好是同圓的一個內接正邊形的一邊,則的值為_________.【答案】12【分析】連接OA、OB、OC,如圖,利用正多邊形與圓,分別計算⊙O的內接正四邊形與內接正三角形的中心角得到∠AOD=90°,∠AOF=120°,則∠DOF=30°,然后計算即可得到n的值.【詳解】解:連接OA、OD、OF,如圖,∵AD,AF分別為⊙O的內接正四邊形與內接正三角形的一邊,∴∠AOD==90°,∠AOF==120°,∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°,∴n==12,即DF恰好是同圓內接一個正十二邊形的一邊.故選:C.【點睛】本題考查了正多邊形與圓:把一個圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份,依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形,這個圓叫做這個正多邊形的外接圓;熟練掌握正多邊形的有關概念.考點四求弧長例題:(2022·河北唐山·九年級期末)如圖,將⊙O沿弦AB折疊,恰好經(jīng)過圓心O,若⊙O的半徑為3,則的長為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】連接OA、OB,作OC⊥AB于C,根據(jù)翻轉變換的性質得到OC=OA,根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內角和定理求出∠AOB,根據(jù)弧長公式計算即可.【詳解】解:連接OA、OB,作OC⊥AB于C,由題意得,OC=OA,∴∠OAC=30°,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAC=30°,∴∠AOB=120°,∴劣的長==2π,故選:C.【點睛】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質、翻轉變換的性質,掌握弧長公式是解題的關鍵.【變式訓練】1.(2021·四川樂山·三模)如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,則的長為()A.π B.π C.π D.π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質得出∠A的度數(shù),再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù),再利用弧長公式求出答案.【詳解】解:∵∠OCA=50°,OA=OC,∴∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°,∵AB=4,∴BO=2,∴的長為:π.故選:B.【點睛】此題主要考查了弧長公式應用以及圓周角定理,正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關鍵.2.(2022·河南安陽·九年級期末)如圖,在扇形OAB中,,則的長為______cm.【答案】##【分析】利用弧長公式,代入數(shù)值計算即可.【詳解】解:由題意得的長==(cm),故答案為:【點睛】此題考查了弧長,熟練掌握弧長公式是解題的關鍵.考點五求扇形的半徑例題:(2022·黑龍江哈爾濱·三模)一個扇形的弧長是3π,面積是12π,則此扇形的半徑是___________.【答案】8【分析】根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR即可得出答案.【詳解】解:∵S扇形=lR,∴R==8.故答案為:8.【點睛】本題考查了扇形面積的計算,比較簡單,解答本題的關鍵是熟練掌握扇形面積的計算公式.【變式訓練】1.(2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校九年級學業(yè)考試)已知扇形的弧長,圓心角是,則該扇形的半徑為______(結果保留).【答案】30【分析】根據(jù)弧長公式代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】解:∵扇形的弧長,圓心角是,代入弧長公式中:∴,解得:cm,∴該扇形的半徑為30cm,故答案為:30.【點睛】本題考察了扇形弧長公式,屬于基礎題,熟練掌握扇形弧長公式是解題的關鍵.2.(2022·江蘇·九年級專題練習)已知圓弧的度數(shù)為,弧長為,則圓弧的半徑為______【答案】18【分析】利用弧長公式進行計算即可.【詳解】∵圓弧的度數(shù)為,弧長為,又∵,∴,解得,故答案為:18.【點睛】本題考查了圓弧的弧長公式,熟練應用弧長公式進行計算是解答本題的關鍵.考點六求圓心角例題:(2022·天津市靜海區(qū)第二中學九年級階段練習)一個扇形的弧長是20πcm,面積是240πcm2,則這個扇形的圓心角是(
)A.120° B.150° C.60° D.100°【答案】B【分析】利用扇形的弧長與面積公式確定出所求圓心角即可.【詳解】解:設這個扇形的半徑為r,圓心角是n,面積為S,弧長為l,由題意得:,即240π=×20πr,解得:r=24,又由可得:,解得:,故選:B.【點睛】此題考查了扇形面積的計算以及弧長的計算,熟練掌握各自的公式是解本題的關鍵.【變式訓練】1.(2021·山東煙臺·期中)將一個圓分割成三個扇形,使它們的圓心角度數(shù)比為,則這三個扇形中最大的圓心角度數(shù)為____________.【答案】160°【分析】利用題目中所給的圓心角的度數(shù)之比去乘360°,從而可求得各個扇形的圓心角的度數(shù).【詳解】由題意可知,三個圓心角的和為360°,又∵三個圓心角的度數(shù)比為,∴最大的圓心角度數(shù)為:.故答案為:160°.【點睛】本題考查了扇形圓心角的度數(shù)問題,掌握周角的度數(shù)即三個扇形圓心角的和是360°是解題關鍵.2.(2022·遼寧鞍山·九年級開學考試)如果一個扇形的半徑是2,弧長是,則此扇形的圖心角的度數(shù)為____.【答案】45°##45度【分析】直接利用扇形弧長公式代入求出即可.【詳解】解:∵扇形的弧長是,半徑為2,∴,解得:n=45,故答案為:45°.【點睛】本題考查的是弧長的計算,掌握弧長公式是解題的關鍵.考點七求某點的弧形運動路徑的長度例題:(2022·山東棗莊·中考真題)在活動課上,“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設計風車.如圖,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,將直角三角尺繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′,使點C′落在AB邊上,以此方法做下去……則B點通過一次旋轉至B′所經(jīng)過的路徑長為_____.(結果保留π)【答案】【分析】根據(jù)題意,點B所經(jīng)過的路徑是圓弧,根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半,易知AB=4,結合旋轉的性質可知∠BAB′=∠BAC=60°,,最后求出圓弧的長度即可.【詳解】∵∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴AB=2AC=4,∠BAC=60°,由旋轉的性質得,∠BAB′=∠BAC=60°,∴B點通過一次旋轉至B′所經(jīng)過的路徑長為,故答案為:.【點睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半,旋轉的性質,以及圓弧的求法,熟練地掌握相關內容是解題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·湖北宜昌·中考真題)如圖,點,,都在方格紙的格點上,繞點順時針方向旋轉后得到,則點運動的路徑的長為______.【答案】【分析】先求出AB的長,再根據(jù)弧長公式計算即可.【詳解】由題意得,AC=4,BC=3,∴,∵繞點順時針方向旋轉后得到,∴,∴的長為:,故答案為:.【點睛】本題考查了旋轉的性質,勾股定理和弧長公式,熟記弧長公式是解題的關鍵.2.(2022·廣東·紅嶺中學九年級階段練習)如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=4,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點,當點P沿半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長是______.【答案】【分析】取的中點、的中點、的中點,連接、、、、、,可得四邊形CEOF是正方形,由OP=OC得OM⊥PC,則可得點M的運動路徑,從而求得路徑的長.【詳解】取的中點、的中點、的中點,連接、、、、、,如圖,則OE∥BC,且,OF∥AC,,∴四邊形CEOF為平行四邊形,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴四邊形為正方形,∴CE=CF=2,EF=OC,由勾股定理得:,∵在等腰中,,∴,∴,,∵為的中點,∴,∴,
∴點在以為直徑的圓上,當點點在點時,點在點;點點在點時,點在點,∴點的路徑為以為直徑的半圓,∴點運動的路徑長.故答案是:.【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質及正方形的判定,確定點M的運動路徑是關鍵與難點.考點八求扇形的面積例題:(2022·甘肅蘭州·中考真題)如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板,該展板的部分示意圖如圖2所示,它是以O為圓心,OA,OB長分別為半徑,圓心角形成的扇面,若,,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可.【詳解】解:S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π(m2)故選:D.【點睛】本題考查扇形面積,不規(guī)則圖形面積,熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·內蒙古呼倫貝爾·九年級期末)如圖,在ABCD中,∠D=60°,對角線AC⊥BC,⊙O經(jīng)過點A,B,與AC交于點M,連接AO并延長與⊙O交于點F,與CB的延長線交于點E,AB=EB.(1)求證:EC是⊙O的切線;(2)若AD=2,求扇形OAM的面積(結果保留π).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接OB,根據(jù)平行四邊形的性質得到∠ABC=∠D=60°,求得∠E=∠BAE=30°,根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的外角的性質得到∠ABO=∠OAB=30°,然后說明∠OBC=90°即可證明結論;(2)根據(jù)平行四邊形的性質得到BC=AD=2,過O作OH⊥AM于H,則四邊形OBCH是矩形,然后再說明△AOM是等邊三角形,即∠AOM=60°;最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可.(1)證明:連接OB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=90°∴OB⊥CE∵OB是半徑
∴EC是⊙O的切線.(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=2過O作OH⊥AM于H則四邊形OBCH是矩形∴OH=BC=2,OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2,AM=4,OA=4,∠OAH=60°∵OA=OM,∠OAH=60°∴△AOM是等邊三角形∴∠AOM=60°∴.【點睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質、平行四邊形的性質、矩形的判定和性質、扇形面積計算等知識點,正確的作出輔助線是解答本題的關鍵.2.(2022·湖南益陽·中考真題)如圖,C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點,過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P,連接CA,CO,CB.(1)求證:∠ACO=∠BCP;(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度數(shù);(3)在(2)的條件下,若AB=4,求圖中陰影部分的面積(結果保留π和根號).【答案】(1)見解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】(1)由AB是半圓O的直徑,CP是半圓O的切線,可得∠ACB=∠OCP,即得∠ACO=∠BCP;(2)由∠ABC=2∠BCP,可得∠ABC=2∠A,從而∠A=30°,∠ABC=60°,可得∠P的度數(shù)是30°;(3)∠A=30°,可得BC=AB=2,AC=BC,即得S△ABC,再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題.(1)∵AB是半圓O的直徑,∴∠ACB=90°,∵CP是半圓O的切線,∴∠OCP=90°,∴∠ACB=∠OCP,∴∠ACO=∠BCP;(2)由(1)知∠ACO=∠BCP,∵∠ABC=2∠BCP,∴∠ABC=2∠ACO,∵OA=OC,∴∠ACO=∠A,∴∠ABC=2∠A,∵∠ABC+∠A=90°,∴∠A=30°,∠ABC=60°,∴∠ACO=∠BCP=30°,∴∠P=∠ABC﹣∠BCP=60°﹣30°=30°,答:∠P的度數(shù)是30°;(3)由(2)知∠A=30°,∵∠ACB=90°,∴BC=AB=2,AC=BC=2,∴S△ABC=BC?AC=×2×2=2,∴陰影部分的面積是﹣2=2π﹣2,答:陰影部分的面積是2π﹣2.【點睛】本題考查圓的綜合應用,涉及圓的切線性質,直角三角形性質及應用等知識,題目難度不大.考點九求圖形旋轉后掃過的面積例題:(2022·廣西河池·中考真題)如圖,在Rt△ABC中,,,,將繞點B順時針旋轉90°得到.在此旋轉過程中所掃過的面積為(
)A.25π+24 B.5π+24 C.25π D.5π【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB,然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解.【詳解】解:∵,,,∴,∴所掃過的面積為.故選:A.【點睛】本題主要考查了旋轉的性質,扇形的面積的計算,勾股定理,熟練掌握扇形的面積公式是解答的關鍵.【變式訓練】1.(2022·河北邯鄲·九年級期末)如圖,將△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△A'B'C,已知AC=3,BC=2,則=__________;線段AB掃過的圖形(陰影部分)的面積為__________.【答案】
##【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長;根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C,由旋轉的性質就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可.【詳解】解:∵△ABC繞點C旋轉120°得到△A′B′C,∴△ABC≌△A′B′C,∴S△ABC=S△A′B′C,∠BCB′=∠ACA′=120°.∴的長為:2π;∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C,∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′,∴AB掃過的圖形的面積=.故答案為:2π;.【點睛】本題考查了旋轉的性質的運用,全等三角形的性質的運用,弧長公式以及扇形的面積公式的運用,解答時根據(jù)旋轉的性質求解是關鍵.2.(2022·山東·招遠市教學研究室一模)如圖,在平面直角坐標系中,等邊△ABC的頂點A在y軸的正半軸上,B(﹣5,0),C(5,0),點D(11,0),將△ACD繞點A順時針旋轉60°得到△ABE,則線段CD轉過區(qū)域的面積為________.【答案】【分析】先判斷出OB=OC=5,根據(jù)勾股定理可得OA和AD的長,根據(jù)△ACD繞點A順時針旋轉60°得到△ABE,可得∠DAE=60°,AE=AD;再利用扇形面積公式即可求出結果.【詳解】解:∵B(?5,0),C(5,0),∴OB=OC=5,AB=AC=BC=10,∴,∵D(11,0),∴OD=11,∴AD2=AO2+OD2=75+121=196,∵△ACD繞點A順時針旋轉60°得到△ABE,∴∠DAE=60°,AE=AD=,∴圖中陰影部分面積=S扇形DAE?S扇形BAC故答案為:16π【點睛】本題考查了扇形面積的計算,旋轉的性質,等邊三角形的性質,勾股定理,坐標與圖形變化?旋轉,熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵.考點十求不規(guī)則圖形的面積例題:(2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末)如圖,在矩形ABCD中,AC為對角線,,,以B為圓心,AB長為半徑畫弧,交AC于點M,交BC于點N,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】連接BM,過M作MH⊥BC于H,由∠ACB=30°得到∠BAC=60°,求得△ABM是等邊三角形,得到∠ABM=60°,推出∠MBN=30°,根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結論.【詳解】解:連接BM,過M作MH⊥BC于H,在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∵AB=1,∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,AC=2AB=2,BC=,∵BA=BM,∴△ABM是等邊三角形,∴∠ABM=60°,∴∠MBN=30°,∴MH=BM=,∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==,故選:A.【點睛】本題考查扇形面積的計算,等邊三角形的判定和性質,扇形的面積公式等知識,明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關鍵.【變式訓練】1.(2022·河南安陽·九年級期末)如圖,AB是半圓O的直徑,且AB=10,點P為半圓上一點.將此半圓沿AP所在的直線折疊,若恰好弧AP過圓心O,則圖中陰影部分的面積是______.(結果保留π)【答案】【分析】過點O作OD⊥BC于點D,交弧AP于點E,則可判斷點O是弧AOP的中點,由折疊的性質可得OD=DE=R=,在Rt△OBD中求出∠OAD=30°,繼而得出∠AOC,求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積.【詳解】解:過點O作OD⊥BC于點D,交弧AP于點E,連接OP,則點E是弧AEP的中點,由折疊的性質可得點O為弧AOP的中點,∴S弓形AO=S弓形PO,在Rt△AOD中,OA=OB=R=5,OD=DE=R=,∴∠OAD=30°,∴∠BOP=60°,∴S陰影=S扇形BOP==π.故答案為:π.【點睛】本題考查了扇形面積的計算,解答本題的關鍵是作出輔助線,判斷點O是弧AOP的中點,將陰影部分的面積轉化為扇形的面積.2.(2022·河南信陽·九年級期末)如圖,在中,,,,將繞點順時針旋轉,點的對應點落在邊上,交于點,則圖中陰影部分的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)旋轉的性質,可得,,再由勾股定理可得,再證得為等邊三角形,可得,,進而得到,,再根據(jù)陰影部分的面積等于,即可求解.【詳解】解:根據(jù)題意得:,,在中,,,,∴AB=2BC=4,,∴,,∴為等邊三角形,∴,,∴,∴,∴,,∴,∴陰影部分的面積等于.故答案為:【點睛】本題主要考查了求扇形面積,勾股定理,等邊三角形的判定和性質等知識,根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關鍵.一、選擇題1.(2022秋·福建泉州·九年級??计谀┤粽噙呅蔚闹行慕菫?2°,則該正多邊形的邊數(shù)為(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形的中心角,求出n即可.【詳解】由題意,,解得.故選:B.【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角問題,熟記基本公式是解題關鍵.2.(2023秋·山東臨沂·九年級臨沂實驗中學??计谀┮阎粋€圓錐的底面半徑是,側面積是,則圓錐的母線長是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)圓錐側面積公式,其中r為圓錐的底面半徑,l為圓錐的母線長,將數(shù)據(jù)直接代入求出即可.【詳解】解:∵圓錐的底面半徑是,側面積為,圓錐側面積公式,∴,解得:,故B正確.故選:B.【點睛】本題主要考查了圓錐側面積公式的有關計算,解決問題的關鍵是正確記憶圓錐的側面積公式,以及各字母所代表的意義.3.(2022秋·河北邢臺·九年級金華中學??计谀┤鐖D,正六邊形內接于,正六邊形的周長是12,則正六邊形的邊心距是(
)A. B.2 C. D.4【答案】A【分析】連接、,求出,可得是等邊三角形,即可求出正六邊形的邊長和的半徑,再解直角三角形即可求得邊心距.【詳解】解:連接、,如圖所示:∵六邊形為正六邊形,∴,∴是等邊三角形,∵正六邊形的周長是12,∴,∴,∵,∴,即邊心距為,故選:A.【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、解直角三角形等邊三角形的判定與性質;熟練掌握正六邊形的性質,證明三角形是等邊三角形是解題的關鍵.4.(2022春·廣東江門·九年級江門市怡福中學??茧A段練習)如圖,是的直徑,是的弦,連接,,若直徑,,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】連接,,根據(jù),計算即可.【詳解】解:連接,,如圖,∵是直徑,,∴,∵,∴,故選C.【點睛】本題考查扇形的面積,圓周角定理等知識,解題的關鍵是熟練掌握基本知識.5.(2022秋·重慶大渡口·九年級重慶市第三十七中學校??计谀┤鐖D,菱形的邊長為2,,以為圓心的弧與邊、相切,則陰影部分的面積為()A. B. C. D.【答案】B【分析】分別求出菱形與扇形的面積,再相減即可求解.【詳解】解:∵四邊形是菱形,邊長為2,∴,,∴,∵∴,,∵以為圓心的弧與邊、相切,設其中與邊的切點為E,如圖,連接,則,∴,∴,∴,∴菱形的面積為,扇形面積為∴陰影部分的面積為,故選:B.【點睛】本題考查了菱形的性質、扇形的面積、切線的性質等內容,解題關鍵是正確求出菱形的面積與扇形的面積,要求學生牢記扇形面積公式,即扇形面積為.6.(2022秋·廣東廣州·九年級??计谀┤鐖D,在中,,,分別以點B,C為圓心,線段長的一半為半徑作圓弧,交,,于點,,,則圖中陰影部分的面積是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】陰影部分的面積等于的面積減去空白處的面積即可得出答案.【詳解】解:等腰直角三角形中,,,,,為中點,,陰影部分的面積.故選:C.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、扇形的面積公式,正確熟記扇形的面積公式是解此題的關鍵,題目比較好,難度適中.二、填空題7.(2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中)如圖,正五邊形內接于,點F在劣弧上,則的度數(shù)為_____°.【答案】72【分析】先求得正五邊形的內角的度數(shù),再根據(jù)圓內接四邊形的性質求解即可.【詳解】解:∵正五邊形內接于,∴,∵四邊形是內接四邊形,∴,∴,故答案為:72.【點睛】此題考查了正多邊形與圓,涉及了正多邊形的性質以及圓內接四邊形的性質,解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質.8.(2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末)半徑為3cm的圓內接正方形的對角線長為______cm,面積為______.【答案】
6
18【分析】由正方形的性質得出、是直徑,求出對角線的長,即可得出正方形的面積.【詳解】解:如圖所示,四邊形是的內接正方形,,,、是直徑,,正方形的面積,故答案為6,18.【點睛】該題主要考查了圓內接正方形的性質及其應用問題;由正方形的性質得出對角線為直徑是解決問題的關鍵.9.(2022秋·全國·九年級專題練習)已知圓錐的底面直徑為,母線長為,則圓錐的表面積是__________.(結果保留)【答案】【分析】根據(jù)圓錐表面積=側面積+底面積=底面周長×母線長+底面積計算.【詳解】解:圓錐的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查了圓錐的計算,解決本題的關鍵記準圓錐的側面面積和底面面積公式.10.(2022秋·吉林長春·九年級??计谀┤鐖D,在的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為2.以點為圓心,8為半徑畫弧,交圖中網(wǎng)格線于點A、B,則的長為______.【答案】##【分析】根據(jù)題意,得,在中,結合,計算得到,利用弧長公式計算即可.【詳解】如圖,根據(jù)題意,得,在中,因為,所以,所以的長為.故答案為:.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,弧長公式,熟練掌握三角函數(shù)值,弧長公式是解題的關鍵.11.(2022秋·廣東廣州·九年級??计谀┤鐖D,將半徑為4,圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉,點,的對應點分別為,,連接,則圖中陰影部分的面積是___________.【答案】【分析】連接,根據(jù)旋轉的性質得到,推出是等邊三角形,得到,推出是等邊三角形,得到,得到,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論.【詳解】解:連接,∵將半徑為4,圓心角為的扇形繞點A逆時針旋轉,∴,∴是等邊三角形,∴,∴點O′在上,∵,∴,∴是等邊三角形,∴,∵,∴,∴,圖中陰影部分的面積為故答案為:【點睛】本題考查了扇形面積的計算,等邊三角形的判定和性質,旋轉的性質,正確的作出輔助線是解題的關鍵.12.(2022秋·上?!ち昙墝n}練習)如圖,扇形的半徑,,分別以、的中點C、D為圓心,、為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為_________平方厘米.【答案】【分析】如圖,設與交于點,連接、,則,求解即可.【詳解】解:設與交于點,連接、,如圖所示,由題意可得:四邊形為正方形,且,=平方厘米,故答案為:【點睛】此題考查了不規(guī)則圖形的面積計算,涉及扇形面積的計算,解題的關鍵是正確表示出陰影部分的面積.13.(2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中)如圖,正的邊長為2,為坐標原點,在軸上,在第二象限.沿軸正方向作無滑動的翻滾,經(jīng)第一次翻滾后得,則翻滾3次后點的對應點的坐標是________;翻滾2023次后中點經(jīng)過的路徑長為________.【答案】
【分析】如圖作軸于,易知,,觀察圖象可求點的運動路徑.【詳解】解:如圖作軸于,易知,,,觀察圖象可知三次一個循環(huán),一個循環(huán)點的運動路徑為,翻滾2023次后中點經(jīng)過的路徑長為:,故答案為,.【點睛】本題考查軌跡、規(guī)律題、弧長公式、等邊三角形的性質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,循環(huán)從特殊
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