易錯點05二次函數(shù)(原卷版+解析)

易錯點05二次函數(shù)1.二次函數(shù)的定義與圖像2.二次函數(shù)的性質(zhì)3.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系4.二次函數(shù)圖象上點的坐標特征5.二次函數(shù)圖象與幾何變換6．二次函數(shù)的最值7．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式8．拋物線與x軸的交點9．二次函數(shù)與不等式（組）01二次函數(shù)的定義與圖象：考慮要周全，注意二次項系數(shù)不能為0.1（2022?崆峒區(qū)校級二模）如果函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為．1．（2022?萊西市一模）二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是A． B． C． D．2．（2022秋?黔東南州期中）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是．3．（2022?福州模擬）下列關(guān)于的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．02二次函數(shù)的性質(zhì)：結(jié)合圖像分析更快1.（2022?賀州二模）已知二次函數(shù)，當時，取得最小值為，則的值為A． B．0 C．1 D．21.（2022?云巖區(qū)一模）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是拋物線，，為常數(shù)，對稱軸上的一個動點．若拋物線的對稱軸上恰存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值為A．或 B．或0 C．或2 D．0或22．（2022?天元區(qū)校級模擬）已知點，，，，，均在拋物線其中．下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則3．（2022?漢陽區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)，函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值如表：0234105225若、兩點都在函數(shù)的圖象上，則當滿足時，A． B． C． D．03二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：考慮對稱軸、3個系數(shù)，另外還有自變量的常用值。1．（2022?槐蔭區(qū)一模）二次函數(shù)為常數(shù)，，當時二次函數(shù)的函數(shù)值恒小于4，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或1．（2022?鳳翔縣二模）二次函數(shù)中的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如表：0141670則下列說法正確的是A． B．頂點坐標為C．該函數(shù)的圖象與軸僅有一個交點 D．若點、在該二次函數(shù)圖象上，則2．（2022?天津二模）已知拋物線，，均是不為0的常數(shù)）經(jīng)過點．有如下結(jié)論：①若此拋物線過點，則；②若，則方程一定有一根；③點，，，在此拋物線上，若，則當時，，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．33．（2022?龍湖區(qū)一模）如圖是拋物線的部分圖象，圖象過點對稱軸為直線，有下列四個結(jié)論：①；②；③的最大值為3；④方程有實數(shù)根；⑤．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．404二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：結(jié)合圖象解題1.（2022?江漢區(qū)模擬）若將雙曲線向下平移3個單位后，交拋物線于點，則的取值范圍是A． B． C． D．1．（2022?龍巖模擬）已知點，，，均在拋物線上，若，，則A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，2．（2022?臨安區(qū)一模）已知點，，，為拋物線上兩點，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則3．（2022?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標系中，點、、是拋物線上三個點．（1）直接寫出拋物線與軸的交點坐標；（2）當時，求的值；（3）當時，求的取值范圍．0505二次函數(shù)圖象與幾何變換：上加下減、左加右減1．（2021?灞橋區(qū)模擬）將拋物線向左平移4個單位后，再向下平移2個單位，則所得到的拋物線的解析式為A． B． C． D．1．（2022?南崗區(qū)校級一模）把拋物線向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．2．（2020?河南模擬）關(guān)于的一元二次方程兩根為，，則方程的兩根為．06二次函數(shù)的最值：常用到配方法或頂點坐標1．（2022?渦陽縣二模）如圖，在菱形中，，，矩形的四個頂點分別在菱形的四邊上，，則矩形的最大面積為A． B． C． D．1．（2022?錫山區(qū)校級二模）當時，二次函數(shù)的最小值為，則的值為A．2 B． C．2或 D．2或2．（2022?夏邑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)，當時，則函數(shù)的最小值和最大值A(chǔ)．和5 B．和5 C．和 D．和507待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2022?南通一模）已知拋物線經(jīng)過點，當時，的最小值為．（1）求拋物線的解析式；（2）當時，的取值范圍是，求的值．1．（2022?金水區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上．（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，．①求二次函數(shù)的解析式與圖象的頂點坐標；②當時，請直接寫出與的大小關(guān)系；（2）若只有當時，滿足，請求出此時二次函數(shù)的解析式．2．（2022?永嘉縣三模）已知拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．（2）直線交拋物線于點，．點在拋物線上且在直線下方（不與點，重合），設(shè)點橫坐標為，縱坐標為，若，求的取值范圍．3．（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，頂點為，點在對稱軸上且位于點下方，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點恰好落在拋物線上的點處．（1）求這條拋物線的解析式及頂點的坐標；（2）求線段的長．08拋物線與x軸的交點1.（2022?下城區(qū)校級二模）關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一個交點，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則1．（2022?文登區(qū)一模）如圖，點，點的坐標分別為，，拋物線的頂點在線段上運動，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．若點的橫坐標的最大值為6，則點的橫坐標的最小值為A． B．1 C． D．2．（2022?槐蔭區(qū)一模）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如表：01204664從表中可知，下列說法中正確的是A．拋物線的對稱軸是直線 B．拋物線與軸的一個交點為 C．函數(shù)的最大值為6 D．在對稱軸右側(cè)，隨增大而增大09二次函數(shù)與不等式（組）1．（2022?大冶市模擬）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，點，其中，下列結(jié)論：①，②，③方程有兩個不相等的實數(shù)根，④不等式的解集為，其中正確結(jié)論的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．41．（2022?牡丹江一模）如圖，拋物線，其頂點坐標為，拋物線與軸的一個交點為，直線與拋物線交于，兩點，下列結(jié)論：①，②，③方程有兩個相等的實數(shù)根，④拋物線與軸的另一個交點是，⑤當時，有．其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．22．（2022?寶應(yīng)縣一模）如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是．一．選擇題（共8小題）1．（2022?密云區(qū)二模）一輛經(jīng)營長途運輸?shù)呢涇囋诟咚俟纺臣佑驼炯訚M油后勻速行駛，下表記錄了該貨車加滿油之后油箱內(nèi)剩余油量（升與行駛時間（小時）之間的相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)，則與滿足的函數(shù)關(guān)系是行駛時間（小時）0122.5剩余油量（升100806050A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系2．（2022?萊西市一模）二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是A． B． C． D．3．（2022?云巖區(qū)一模）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是拋物線，，為常數(shù)，對稱軸上的一個動點．若拋物線的對稱軸上恰存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值為A．或 B．或0 C．或2 D．0或24．（2022?槐蔭區(qū)一模）二次函數(shù)為常數(shù)，，當時二次函數(shù)的函數(shù)值恒小于4，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或5．（2022?龍巖模擬）已知點，，，均在拋物線上，若，，則A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，6．（2022?夏邑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)，當時，則函數(shù)的最小值和最大值A(chǔ)．和5 B．和5 C．和 D．和57．（2022?下城區(qū)校級二模）關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一個交點，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則8．（2022?牡丹江一模）如圖，拋物線，其頂點坐標為，拋物線與軸的一個交點為，直線與拋物線交于，兩點，下列結(jié)論：①，②，③方程有兩個相等的實數(shù)根，④拋物線與軸的另一個交點是，⑤當時，有．其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2二．填空題（共2小題）9．（2019?東西湖區(qū)模擬）關(guān)于的一元二次方程兩根為，，則方程的兩根為．10．（2022?石家莊模擬）某游樂場的圓形噴水池中心有一雕塑，從點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為軸，點為原點建立直角坐標系，點在軸上，軸上的點，為水柱的落水點，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達式為．（1）雕塑高的值是；（2）落水點，之間的距離是．三．解答題（共2小題）11．（2022?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標系中，點、、是拋物線上三個點．（1）直接寫出拋物線與軸的交點坐標；（2）當時，求的值；（3）當時，求的取值范圍．12．（2022?永嘉縣三模）已知拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．（2）直線交拋物線于點，．點在拋物線上且在直線下方（不與點，重合），設(shè)點橫坐標為，縱坐標為，若，求的取值范圍．易錯點05函數(shù)1.二次函數(shù)的定義與圖像2.二次函數(shù)的性質(zhì)3.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系4.二次函數(shù)圖象上點的坐標特征5.二次函數(shù)圖象與幾何變換6．二次函數(shù)的最值7．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式8．拋物線與x軸的交點9．二次函數(shù)與不等式（組）01二次函數(shù)的定義與圖象：考慮要周全，注意二次項系數(shù)不能為0.1（2022?崆峒區(qū)校級二模）如果函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得且，然后進行計算即可解答．【解析】由題意得：且，或且，．故答案為：．1．（2022?萊西市一模）二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是A． B． C． D．【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比是否一致．【解答】、由二次函數(shù)可知，圖象過原點，故本選項錯誤；、由二次函數(shù)可知，圖象過原點，故本選項錯誤；、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項錯誤；、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項正確．故選：．2．（2022秋?黔東南州期中）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是．【分析】由圖可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點，然后代入函數(shù)解析式進行計算即可求出的值，再根據(jù)拋物線開口向下求出的取值范圍，從而得解．【解析】二次函數(shù)經(jīng)過，，解得，，拋物線開口向下，，解得，．故答案為：．3．（2022?福州模擬）下列關(guān)于的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，、、為常數(shù)，，判斷即可．【解析】、，是二次函數(shù)，故符合題意；、，是一次函數(shù)，故不符合題意；、，不是二次函數(shù)，故不符合題意；、，不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選：．02二次函數(shù)的性質(zhì)：結(jié)合圖像分析更快1.（2022?賀州二模）已知二次函數(shù)，當時，取得最小值為，則的值為A． B．0 C．1 D．2【分析】先求出二次函數(shù)圖像的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的增減性判斷出當時，，代入函數(shù)關(guān)系式求出的值即可．【解析】二次函數(shù)，二次函數(shù)圖像的對稱軸為，，開口向下，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，當時，即在對稱軸左側(cè)，取得最小值為，當時，，，解得：或（舍去），故的值為．故選：．1.（2022?云巖區(qū)一模）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是拋物線，，為常數(shù)，對稱軸上的一個動點．若拋物線的對稱軸上恰存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值為A．或 B．或0 C．或2 D．0或2【分析】由題意是直角三角形，當對稱軸或時，可知一定存在兩個以，為直角頂點的直角三角形，當對稱軸或時，不存在滿足條件的點，當以為直徑的圓與拋物線的對稱軸相切時，對稱軸上存在1個以點為直角頂點的直角三角形，此時對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形，利用圖象法求解即可．【解析】是直角三角形，當對稱軸或時，一定存在兩個以，為直角頂點的直角三角形，且點在對稱軸上的直角三角形，當對稱軸或時，不存在滿足條件的點，當以為直徑的圓與拋物線的對稱軸相切時，對稱軸上存在1個以為直角頂點的直角三角形，此時對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形（如圖所示）．觀察圖象可知，或4，或2．故選：．2．（2022?天元區(qū)校級模擬）已知點，，，，，均在拋物線其中．下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】先將拋物線的解析式化為頂點式，然后得到函數(shù)的頂點即為點，再由的正負分情況討論，得到之間的大小關(guān)系．【解析】，函數(shù)的頂點坐標為，即為點，當時，拋物線開口向下，則當越靠近3時，的值越大，當時，，當時，，當時，拋物線開口向上，則當越靠近3時，的值越小，當時，，故選項，無法確定，不符合題意；當時，是最小值，此時，開口向上，則當越靠近3時，的值越小，，故選項正確，符合題意．故選：．3．（2022?漢陽區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)，函數(shù)與自變量的部分對應(yīng)值如表：0234105225若、兩點都在函數(shù)的圖象上，則當滿足時，A． B． C． D．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得滿足什么條件時，．【解析】由表格可知，該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸直線，、兩點都在函數(shù)的圖象上，，，解得，，故選：．03二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：考慮對稱軸、3個系數(shù)，另外還有自變量的常用值。1．（2022?槐蔭區(qū)一模）二次函數(shù)為常數(shù)，，當時二次函數(shù)的函數(shù)值恒小于4，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或【分析】分，兩種情況討論，當時，拋物線開口向上，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為，且與軸交于這個點，可得當時，，代入二次函數(shù)解析式，形成關(guān)于的不等式，解之即可；當時，拋物線開口下，其頂點坐標為，根據(jù)題意可得，當時，函數(shù)值恒小于4，解關(guān)于的不等式即可．【解析】①當時，拋物線開口向上，且拋物線的對稱軸為，根據(jù)拋物線的對稱性可得，點與關(guān)于對稱軸對稱．時，．，（不合題意）．時，，把，代入拋物線解析式得，，解得．的取值范圍為．②當時，拋物線開口向下，拋物線的頂點為最高點，其坐標為．，，解得．的取值范圍為．綜上所述，的取值范圍為或．故選：．1．（2022?鳳翔縣二模）二次函數(shù)中的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如表：0141670則下列說法正確的是A． B．頂點坐標為C．該函數(shù)的圖象與軸僅有一個交點 D．若點、在該二次函數(shù)圖象上，則【分析】先求二次函數(shù)的解析式，再判斷．【解析】將點，，代入得：，解得：，，，，拋物線的頂點坐標為．，不合題意．△，拋物線與軸有兩個不同交點，不合題意．，，符合題意．故選：．2．（2022?天津二模）已知拋物線，，均是不為0的常數(shù)）經(jīng)過點．有如下結(jié)論：①若此拋物線過點，則；②若，則方程一定有一根；③點，，，在此拋物線上，若，則當時，，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解析】拋物線經(jīng)過點，，拋物線的對稱軸為直線，，①正確．拋物線過點．，，，．方程可化為：，，，或，②正確．，拋物線開口向上，拋物線經(jīng)過點．，，對稱軸，當時，隨的增大而減小，，③正確．故選：．3．（2022?龍湖區(qū)一模）如圖是拋物線的部分圖象，圖象過點對稱軸為直線，有下列四個結(jié)論：①；②；③的最大值為3；④方程有實數(shù)根；⑤．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解析】拋物線開口向下，與軸交于正半軸，，，拋物線的對稱軸為，且過點，，拋物線過點．，．①錯誤，②正確．拋物線開口向下，對稱軸是直線，當時，有最大值，其值與有關(guān)，③錯誤．方程的根即是的圖象與的交點，由圖象知，的圖象與的圖象有兩個交點．④正確．拋物線過點，，，，，⑤正確．故選：．04二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：結(jié)合圖象解題1.（2022?江漢區(qū)模擬）若將雙曲線向下平移3個單位后，交拋物線于點，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得出平移后的函數(shù)的解析式，由兩個函數(shù)交于點可得出關(guān)于的方程，利用方程的根的正負關(guān)系可得出結(jié)論．【解析】雙曲線向下平移3個單位后的函數(shù)為，交拋物線于點，，整理得，，令，且隨的增大而增大．當時，，當時，，當時，，若，則的取值范圍為：．故選：．1．（2022?龍巖模擬）已知點，，，均在拋物線上，若，，則A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，【分析】根據(jù)題意可知，拋物線對稱軸是直線；再對的不同范圍進行討論，判斷和的大?。窘獯稹拷馕觯河蓲佄锞€得，故拋物線對稱軸是直線．①當時，拋物線開口向上，，點比點距離對稱軸更遠，；②當時，拋物線開口向下，同理；當時，且，和的大小不確定．，都錯誤．③當時，此時開口向下，，點比點距離對稱軸更遠，．故選：．2．（2022?臨安區(qū)一模）已知點，，，為拋物線上兩點，且，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】通過函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸，分類討論及時各選項求解．【解析】，拋物線對稱軸為直線，，關(guān)于直線的對稱點為，，若，由，，可得，當拋物線開口向上時，，選項錯誤．若，由，，可得，當拋物線開口向下時，，選項錯誤．若，當時，則，，拋物線開口向上，，當時，則，，拋物線開口向下，，選項正確．若，當時，，，拋物線開口向下，，選項錯誤．解法二：作差法，，，，，當時，則，，故選：．3．（2022?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標系中，點、、是拋物線上三個點．（1）直接寫出拋物線與軸的交點坐標；（2）當時，求的值；（3）當時，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)軸上點的坐標特征計算即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線計算；（3）根據(jù)拋物線的對稱性、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列出不等式，解不等式得到答案．【解析】（1）對于，當時，，則拋物線與軸的交點坐標為；（2）當時，拋物線的對稱軸為，，解得：；（3）當時，對稱軸在的左側(cè)，即，解得：，當時，，解得：，當時，．0505二次函數(shù)圖象與幾何變換：上加下減、左加右減1．（2021?灞橋區(qū)模擬）將拋物線向左平移4個單位后，再向下平移2個單位，則所得到的拋物線的解析式為A． B． C． D．【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【解析】將拋物線向左平移4個單位所得拋物線解析式為：；再向下平移2個單位后拋物線解析式為：．故選：．1．（2022?南崗區(qū)校級一模）把拋物線向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．【分析】易得原拋物線的頂點及平移后新拋物線的頂點，根據(jù)平移不改變二次項系數(shù)利用頂點式可得拋物線解析式．【解析】函數(shù)的頂點為，向上平移1個單位，再向右平移1個單位的頂點為，將函數(shù)的圖象向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到拋物線的解析式為，故選：．2．（2020?河南模擬）關(guān)于的一元二次方程兩根為，，則方程的兩根為2或6．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系及函數(shù)平移的規(guī)律，變形要求的方程，利用平移規(guī)律可解．【解析】由方程得①方程①可看作左邊是二次函數(shù)，右邊是一次函數(shù)根據(jù)平移知識，可知方程①相當于關(guān)于的一元二次方程②，左右兩邊都向右平移3個單位而方程②的兩根為，方程①的兩根為，故答案為2或6．06二次函數(shù)的最值：常用到配方法或頂點坐標1．（2022?渦陽縣二模）如圖，在菱形中，，，矩形的四個頂點分別在菱形的四邊上，，則矩形的最大面積為A． B． C． D．【分析】將矩形面積表示出來，再求最值．【解析】如圖：連接，交于點，分別交，于點，．菱形中，，，是等邊三角形，，．矩形，，，．，設(shè)，，．由勾股定理得：．．．，當時，矩形面積有最大值．故選：．1．（2022?錫山區(qū)校級二模）當時，二次函數(shù)的最小值為，則的值為A．2 B． C．2或 D．2或【分析】將二次函數(shù)化成頂點式，再求最值．【解析】．拋物線開口向上，對稱軸為直線．當時，若時，隨的增大而增大，當時，有最小值，，，不合題意，舍去．當時，，有最小值．．，，．當時，若，隨的增大而減小．當時，有最小值．．．．不合題意，舍去．綜上：．故選．2．（2022?夏邑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)，當時，則函數(shù)的最小值和最大值A(chǔ)．和5 B．和5 C．和 D．和5【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)開口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可．【解析】二次函數(shù)，對稱軸是：，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，由圖象可知：在內(nèi)，時，有最大值，，時有最小值，是，故選：．07待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2022?南通一模）已知拋物線經(jīng)過點，當時，的最小值為．（1）求拋物線的解析式；（2）當時，的取值范圍是，求的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象分別計算對應(yīng)的函數(shù)值，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解析】（1）拋物線經(jīng)過點，，．，該拋物線的對稱軸為直線．當時，的最小值為．當時，，解得：．；（2）由（1）知，拋物線為．當時，的取值范圍是，不能取最小值，即，在對稱軸的同側(cè)．分兩種情況討論：①，即時，在對稱軸左側(cè)隨的增大而減小，當時，，解得：或，當時，，解得：或，，．②時，在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大，當時，，整理得：．當時，，整理得：．與不一致，不合題意，舍去．綜上所述，當時，的取值范圍是時，．1．（2022?金水區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上．（1）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，．①求二次函數(shù)的解析式與圖象的頂點坐標；②當時，請直接寫出與的大小關(guān)系；（2）若只有當時，滿足，請求出此時二次函數(shù)的解析式．【分析】（1）①用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，配成頂點式求出圖象的頂點坐標；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征表示，，比較大小看差的結(jié)果；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征表示，，①當時，，②當時，，分兩種情況討論得出函數(shù)所經(jīng)過的點的坐標，從而求出解析式．【解析】（1）①把，代入，得，，解得，二次函數(shù)的解析式，頂點坐標；②點在二次函數(shù)上，，點在一次函數(shù)的圖象上，，，，，，；（2）點在二次函數(shù)的圖象上，，點在一次函數(shù)的圖象上，，，時，滿足，①當時，，，②當時，，，的圖象過，，，，二次函數(shù)的解析式：．2．（2022?永嘉縣三模）已知拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標．（2）直線交拋物線于點，．點在拋物線上且在直線下方（不與點，重合），設(shè)點橫坐標為，縱坐標為，若，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得解析式，然后化成頂點式即可求得頂點坐標；（2）分析函數(shù)圖像，根據(jù)求得與的關(guān)系及的取值，將結(jié)果代入點，然后即可解得的值，最后根據(jù)函數(shù)圖像的特征，即可完成求解．【解析】（1）把，代入，得，解得，拋物線的表達式為，配方得，頂點坐標為．（2），點在拋物線上且在直線下方（不與點，重合），直線交拋物線于點，，頂點坐標為，或，①時，，解得，，②時，，，，解得（舍去），或，，綜上所述：．3．（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，頂點為，點在對稱軸上且位于點下方，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點恰好落在拋物線上的點處．（1）求這條拋物線的解析式及頂點的坐標；（2）求線段的長．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，再利用配方法求出頂點坐標．（2）利用（1）中點的坐標可得出拋物線的對稱軸為，設(shè)，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，則代入得到關(guān)于的方程，從而解方程可得到的長．【解析】（1）把和代入，得，解得：，拋物線的解析式：，配成頂點式為：，頂點的坐標為：，（2）由（1）知：拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，則，線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點恰好落在拋物線上的點處，，，，將代入得，整理得：，解得：，（舍去）線段的長為2．08拋物線與x軸的交點1.（2022?下城區(qū)校級二模）關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一個交點，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】求二次函數(shù)與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)△，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求出、的數(shù)量關(guān)系，再進一步求出的值，進而選出正確答案．【解析】關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一個交點，令，，，，，關(guān)于的二次函數(shù)，，，，，因為方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得，，，、當時，，，，，當，，，，，無法確定大小，、錯誤；當，，，，、錯誤；、正確；故選：．1．（2022?文登區(qū)一模）如圖，點，點的坐標分別為，，拋物線的頂點在線段上運動，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．若點的橫坐標的最大值為6，則點的橫坐標的最小值為A． B．1 C． D．【分析】根據(jù)題意可以得到的值，的取值范圍，再根據(jù)點的橫坐標最大值為6，可以求得的值，從而可以求得點的橫坐標最小值．【解析】點，的坐標分別為，，拋物線的頂點在線段上運動，，，又與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），點的橫坐標最大值為6，當時，函數(shù)與軸的交點的橫坐標是6，，得，當時，函數(shù)與軸的交點的坐標為，此時點的橫坐標就是該函數(shù)與軸交點的橫坐標最小值，即點的橫坐標的最小值為．故選：．2．（2022?槐蔭區(qū)一模）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如表：01204664從表中可知，下列說法中正確的是A．拋物線的對稱軸是直線 B．拋物線與軸的一個交點為 C．函數(shù)的最大值為6 D．在對稱軸右側(cè)，隨增大而增大【分析】先利用待定系數(shù)法確定拋物線解析式為，利用函數(shù)的對稱性可判定，；求得拋物線的對稱軸為直線，可知函數(shù)的最大值不是6，由此判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出選項．【解析】設(shè)拋物線解析式為，把，，分別代入得，解得，拋物線解析式為，拋物線過點，，拋物線的對稱軸為直線，故不正確，不符合題意；拋物線過點，拋物線與軸的一個交點為．故正確，符合題意．拋物線的最值在處取得，不是6，故不正確，不符合題意；，在對稱軸右側(cè)，隨增大而減小，故不正確，不符合題意；故選：．09二次函數(shù)與不等式（組）1．（2022?大冶市模擬）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，點，其中，下列結(jié)論：①，②，③方程有兩個不相等的實數(shù)根，④不等式的解集為，其中正確結(jié)論的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用點，點求出對稱軸，然后利用判斷即可；②把點代入中可得，再結(jié)合①中的結(jié)論即可解答；③利用直線與二次函數(shù)的圖象的交點個數(shù)判斷即可；④先求出函數(shù)的對稱軸，再求出與軸的兩個交點坐標即可解答．【解析】①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線：，，，，，，，，故①正確；②把點代入中可得：，，由①得：，，，，，故②正確；③由圖可知：直線與二次函數(shù)的圖象拋物線有兩個交點，方程有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；④二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，二次函數(shù)的對稱軸為直線：，把代入二次函數(shù)中可得：，二次函數(shù)的圖象與軸的交點為：，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點為，，，不等式的解集為，不等式的解集為，二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線：，，，不等式的解集為，故④正確，所以：正確結(jié)論的個數(shù)有4個，故選：．1．（2022?牡丹江一模）如圖，拋物線，其頂點坐標為，拋物線與軸的一個交點為，直線與拋物線交于，兩點，下列結(jié)論：①，②，③方程有兩個相等的實數(shù)根，④拋物線與軸的另一個交點是，⑤當時，有．其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)拋物線的圖象特征和對稱性可得①②④；將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象求交點問題可解；通過數(shù)形結(jié)合可得⑤．【解析】由拋物線對稱軸為直線，則①正確；由圖象，同號，，則，則②正確；方程可以看作是拋物線與直線求交點橫坐標，由拋物線頂點為則直線過拋物線頂點．方程有兩個相等的實數(shù)根．故③正確；由拋物線對稱軸為直線，與軸的一個交點則有對稱性拋物線與軸的另一個交點為則④正確；，，直線與拋物線交于，兩點當當時，拋物線的圖象在直線上方，則，故⑤正確．故選：．2．（2022?寶應(yīng)縣一模）如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是．【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【解析】拋物線與直線交于，兩點，，，拋物線與直線交于，兩點，觀察函數(shù)圖象可知：當時，直線在拋物線的上方，不等式的解集是．故答案為．一．選擇題（共8小題）1．（2022?密云區(qū)二模）一輛經(jīng)營長途運輸?shù)呢涇囋诟咚俟纺臣佑驼炯訚M油后勻速行駛，下表記錄了該貨車加滿油之后油箱內(nèi)剩余油量（升與行駛時間（小時）之間的相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)，則與滿足的函數(shù)關(guān)系是行駛時間（小時）0122.5剩余油量（升100806050A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【分析】從表格可看出，貨車每行駛一小時，耗油量為20升，即余油量與行駛時間成一次函數(shù)關(guān)系．【解析】從表格可看出，貨車每行駛一小時，耗油量為20升，即余油量與行駛時間成一次函數(shù)關(guān)系．故選：．2．（2022?萊西市一模）二次函數(shù)和一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是A． B． C． D．【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比是否一致．【解答】、由二次函數(shù)可知，圖象過原點，故本選項錯誤；、由二次函數(shù)可知，圖象過原點，故本選項錯誤；、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項錯誤；、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項正確．故選：．3．（2022?云巖區(qū)一模）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標為，點是拋物線，，為常數(shù)，對稱軸上的一個動點．若拋物線的對稱軸上恰存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值為A．或 B．或0 C．或2 D．0或2【分析】由題意是直角三角形，當對稱軸或時，可知一定存在兩個以，為直角頂點的直角三角形，當對稱軸或時，不存在滿足條件的點，當以為直徑的圓與拋物線的對稱軸相切時，對稱軸上存在1個以點為直角頂點的直角三角形，此時對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形，利用圖象法求解即可．【解析】是直角三角形，當對稱軸或時，一定存在兩個以，為直角頂點的直角三角形，且點在對稱軸上的直角三角形，當對稱軸或時，不存在滿足條件的點，當以為直徑的圓與拋物線的對稱軸相切時，對稱軸上存在1個以為直角頂點的直角三角形，此時對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形（如圖所示）．觀察圖象可知，或4，或2．故選：．4．（2022?槐蔭區(qū)一模）二次函數(shù)為常數(shù)，，當時二次函數(shù)的函數(shù)值恒小于4，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或【分析】分，兩種情況討論，當時，拋物線開口向上，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為，且與軸交于這個點，可得當時，，代入二次函數(shù)解析式，形成關(guān)于的不等式，解之即可；當時，拋物線開口下，其頂點坐標為，根據(jù)題意可得，當時，函數(shù)值恒小于4，解關(guān)于的不等式即可．【解析】①當時，拋物線開口向上，且拋物線的對稱軸為，根據(jù)拋物線的對稱性可得，點與關(guān)于對稱軸對稱．時，．，（不合題意）．時，，把，代入拋物線解析式得，，解得．的取值范圍為．②當時，拋物線開口向下，拋物線的頂點為最高點，其坐標為．，，解得．的取值范圍為．綜上所述，的取值范圍為或．故選：．5．（2022?龍巖模擬）已知點，，，均在拋物線上，若，，則A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，【分析】根據(jù)題意可知，拋物線對稱軸是直線；再對的不同范圍進行討論，判斷和的大?。窘獯稹拷馕觯河蓲佄锞€得，故拋物線對稱軸是直線．①當時，拋物線開口向上，，點比點距離對稱軸更遠，；②當時，拋物線開口向下，同理；當時，且，和的大小不確定．，都錯誤．③當時，此時開口向下，，點比點距離對稱軸更遠，．故選：．6．（2022?夏邑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)，當時，則函數(shù)的最小值和最大值A(chǔ)．和5 B．和5 C．和 D．和5【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)開口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可．【解析】二次函數(shù)，對稱軸是：，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，由圖象可知：在內(nèi)，時，有最大值，，時有最小值，是，故選：．7．（2022?下城區(qū)校級二模）關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一個交點，下列正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】求二次函數(shù)與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)△，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求出、的數(shù)量關(guān)系，再進一步求出的值，進而選出正確答案．【解析】關(guān)于的二次函數(shù)與軸只有一