第2課時解三角形的綜合問題

第2課時解三角形的綜合問題關(guān)鍵能力互動探究命題點1平面多邊形中的解三角形問題eq\x(例1)(2023·四川成都模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝eq\f(\r(3),3)BC，點D在AB的延長線上，且AD＝eq\f(5,2)BD．(1)求eq\f(sin∠ACD,sin∠BCD)；(2)若△ABC的面積為eq\r(3)，求CD．命題點睛?平面多邊形中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．eq\x(針對訓(xùn)練)(2024·山東煙臺質(zhì)檢)如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，DC＝3，AD＝5，AC＝7，∠DAC＝∠ABC．(1)求∠ADC的大??；(2)求△ABC的面積．命題點2解三角形中的最值(范圍)問題eq\x(例2)(2023·山東濰坊三模)定義平面凸四邊形為平面上每個內(nèi)角度數(shù)都小于180°的四邊形．已知在平面凸四邊形ABCD中，∠ABC＝105°，∠ADB＝60°，AB＝eq\r(3)，∠ADB的平分線為DE，且eq\o(AE,\s\up17(→))＝2eq\o(EB,\s\up17(→)).(1)求△ABD的面積；(2)求CD的取值范圍．命題點睛?解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于某一個角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍).eq\x(針對訓(xùn)練)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cos2C－cos2A＝1－2sinBsinC．(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面積的最大值．命題點3解三角形中的證明問題eq\x(例3)(2024·河北唐山質(zhì)檢)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，eq\f(a－b,c)＝eq\f(sinC－sinB,sinA＋sinB).(1)求A；(2)若3c＝3b＋eq\r(3)a，證明：c＝2b.命題點睛?對于解三角形中的證明問題，要仔細觀察所給的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程．eq\x(針對訓(xùn)練)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝3，eq\r(3)sinAcosC＋(eq\r(3)sinC＋b)·cosA＝0.(1)求角A；(2)若AD為△ABC的角平分線，證明：eq\f(1,AC)＋eq\f(1,AB)＝eq\f(1,AD).課時作業(yè)[基礎(chǔ)鞏固練]1．(2023·四川宜賓模擬)如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓，且AB＝5，BD＝3eq\r(5)，A為鈍角，sinA＝eq\f(3,5).(1)求cos∠ADB；(2)若BC＝5，求△BCD的面積．2．(2024·湖北武漢質(zhì)檢)如圖，在△ABC中，AB＝9，點D在邊BC上，AD＝7.(1)若cosB＝eq\f(2,3)，求BD的值；(2)若cos∠BAC＝－eq\f(2,3)，且點D是邊BC的中點，求AC的值．3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B為鈍角．若△ABC的面積為S，且4bS＝a(b2＋c2－a2).(1)證明：B＝eq\f(π,2)＋A；(2)求sinA＋sinC的最大值．4．在△ABC中，A<B<C，且tanA，tanB，tanC均為整數(shù)．(1)求A的大??；(2)設(shè)AC的中點為D，求證：BC＝BD．[能力提升練]5．(2023·湖南益陽聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知asinA＋csinC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)asinC＋b))sin B．(1)求B；(2)若AC邊上的中線BD的長為2，求△ABC面積的最大值．6．(2023·云南麗江聯(lián)考