第5章兩點邊值問題求解方法介紹

航空航天中的計算方法授課教師：陳琪鋒中南大學航空航天學院2023最新整理收集do

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第二部分邊值問題求解方法

第5章兩點邊值問題求解方法2024/12/17內(nèi)容提要5.1 常微分方程邊值問題的概念5.2 打靶法5.3 有限差分法5.4 有限元法[1]Part3:Two-PointBoundaryValueProblems.[2]DavidL.Darmofal,ComputationalMethodsinAerospaceEngineering(LectureNotes),MIT,2005.Chap11,12.[3]清華大學數(shù)學系編，現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學手冊?計算方法分冊（第十一章，常微分方程邊值問題的數(shù)值方法），北京出版社，1990.2024/12/175.1常微分方程邊值問題的概念對于常微分方程：其中，x為標量，y和f為m維向量。在上求解之需要m個定解條件，若定解條件的形式為：其中g(shù)為m維向量。則該問題稱為兩點邊值問題（TPBVP，TwoPointBoundaryValueProblem）。如果邊值條件形式可寫為：其中g(shù)L和gR的維數(shù)之和等于m，則邊界條件為分離的。

5.1常微分方程邊值問題的概念2024/12/175.2打靶法以二階系統(tǒng)為例，考慮邊值問題：變換：考慮初值問題：初值問題的解為：找到α滿足：5.2打靶法如何求α？2024/12/17打靶法的幾何解釋：5.2打靶法打靶：求解初值問題2024/12/175.1.1割線法以兩個不同的α值求解初值問題，得到兩個解：根據(jù)初值條件知：假設(shè)是α的線性函數(shù)，可取α為：迭代求解公式：結(jié)束條件：5.2打靶法2024/12/17割線法的幾何解釋：5.2打靶法線性近似：按割線求根2024/12/175.1.2牛頓法求解非線性方程（組）：在已知初值α0的處Taylor展開：線性近似：迭代求解公式：結(jié)束條件：5.2打靶法2024/12/17差分法求偏導數(shù)或采用其它數(shù)值微分方法。f可微時解偏導數(shù)微分方程微分方程對α求偏導：5.2打靶法初值問題，可解！（與割線法等價）割線代替切線2024/12/17每一步迭代求解初值問題其中：解得：得到的終端值和對α的偏導數(shù)：5.2打靶法2024/12/17作業(yè)題5：用牛頓打靶法求解兩點邊值問題迭代初始條件取。5.2打靶法2024/12/175.3有限差分法以二階系統(tǒng)為例，邊值問題：有限差分近似將區(qū)間等分為N個子區(qū)間將在xi處Taylor展開：5.3有限差分法用差分近似代替微分，將微分方程化為代數(shù)方程求解2024/12/17若取x=xi+1=x+ih：忽略二階以上部分，得一階導數(shù)的前向差分近似：若取x=xi-1=x-ih：忽略二階以上部分，得一階導數(shù)的后向差分近似：5.3有限差分法一階精度一階精度2024/12/17xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相減，忽略三階以上部分，得一階導數(shù)的中心差分近似：xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相加，忽略四階以上部分，得二階導數(shù)中心差分近似：三階導數(shù)的中心差分近似？5.3有限差分法二階精度二階精度2024/12/17xi+1和xi-1在xi處的Taylor展開相減，忽略五階以上部分：xi+2和xi-2在xi處的Taylor展開相減，忽略五階以上部分：三階導數(shù)的中心差分近似：四階導數(shù)的中心差分近似：5.3有限差分法二階精度二階精度2024/12/17有限差分法解微分方程兩點邊值問題微分方程離散化，將區(qū)間等分為N個子區(qū)間：在節(jié)點上應(yīng)用中心差分公式，得到代數(shù)方程組：5.3有限差分法2024/12/17有限差分法解微分方程兩點邊值問題的幾何解釋5.3有限差分法離散點：微分用有限差分近似2024/12/17例5.1：用有限差分法求解兩點邊值問題取離散化區(qū)間h=0.1，N=10。5.3有限差分法2024/12/17線性方程組：即：5.3有限差分法2024/12/175.4有限元法以二階系統(tǒng)為例，考慮邊值問題：5.4.1投影類方法的基本思想以一簡單函數(shù)

近似y(x)，給出連續(xù)近似解，例如：一般形式：，已知，待定。殘差：某種意義上使殘差最小，則得到某種準則下最佳的近似解。5.4有限元法2024/12/17區(qū)間殘差平方和最小：最小二乘法若干特定點處殘差為零：配點法加權(quán)殘差為零：加權(quán)殘差法Galerkin法：。5.4有限元法計算復雜，不常用為權(quán)函數(shù)2024/12/17例5.2：考慮兩點邊值問題解析解為：試用配點法和加強殘差法求解該問題近似解。5.4有限元法2024/12/17

5.4有限元法解析解2024/12/17設(shè)近似解的形式：基函數(shù)的選擇示例：

為滿足邊值條件要求

取二次函數(shù)

以及三次項

N=2（1）配點法

近似解的殘差

令N個點處殘差為零求解系數(shù)，如5.4有限元法線性函數(shù)不滿足配點？2024/12/17（2）加權(quán)殘差法

要求： Galerkin法，取

即：5.4有限元法2024/12/17

5.4有限元法配點法、Galerkin加權(quán)殘差法與精確解的比較2024/12/175.4.2有限元法的基本思想將區(qū)域（區(qū)間）劃分為小的單元，在單元上表示近似解以及求殘差加權(quán)積分。第i個單元，Ei，，在每個單元上解用多項式近似；在每個單元上計算加權(quán)殘差；根據(jù)各單元滿足的方程確定多項式近似解的系數(shù)。5.4有限元法局部近似，分段光滑可以用簡單的低階近似2024/12/175.4.3有限元法：線性元為例解在每個單元上采用x的線性函數(shù)近似表示。

5.4有限元法2024/12/17線性函數(shù)具有2個自由度：由兩個端點的函數(shù)值確定；N個線性單元，近似連續(xù)函數(shù)，N+1個自由度：由N+1個節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。

設(shè)近似解表達為：

由

可知5.4有限元法線性函數(shù)2024/12/17近似解可以用節(jié)點基函數(shù)表示為：節(jié)點基函數(shù)

在節(jié)點j處：

由于近似表達式中取值的任意性，可知：5.4有限元法節(jié)點基函數(shù)的特性2024/12/17對于線性元，節(jié)點基函數(shù)在每個單元內(nèi)是線性函數(shù)：

5.4有限元法第i個節(jié)點基函數(shù)的幾何表示2024/12/17節(jié)點函數(shù)值的求解：加權(quán)殘差Galerkin法近似解的節(jié)點基函數(shù)表示：

Galerkin法求，即解方程組：其中：（對于示例二階系統(tǒng)）即：分部積分：5.4有限元法2024/12/17在第i個單元內(nèi)，Ei：

5.4有限元法單元內(nèi)為連續(xù)函數(shù)2024/12/17方程組：當時方程為：當時方程為：當時方程為：5.4有限元法2024/12/17給定邊值條件：上述N+1個方程可解出N+1個未知量：最終得到問題的解：5.4有限元法2024/12/17例5.2（續(xù)）：兩點邊值問題用線性元和加權(quán)殘差Galerkin法得到N+1個方程：給定：，可求解剩余N+1個未知數(shù)。5.4有限元法2024/12/17高斯求積

將積分表示為被積函數(shù)在若干點處的函數(shù)值加權(quán)和：若適當選取和，可使公式對次數(shù)≤2N+1的多項式被積函數(shù)均精確成立（具有2N+1次代數(shù)精度），這類公式稱為高斯求積公式。節(jié)點稱為高斯點。5.4有限元法2024/12/17例：N=0時，只能實現(xiàn)對1次多項式精確滿足，對比系數(shù)，得：N=1時，不大于3次的多項式可精確滿足，對比系數(shù)，得：N=……，高斯點和系數(shù)可查數(shù)學手冊。5.4有限元法注意積分區(qū)間變換到[-1,1]！2024/12/175.4.4有限元法拓展高次元：分段高次插值多維問題

5.4有限元法2024/12/17作業(yè)題6：用有限元法，采用線性元，求解兩點邊值問題：將區(qū)間等分