《導學案》2021版高中數學(人教A版必修5)教師用書：1章末小結-

第一章章末小結1.正弦定理及其常見變形公式(1)正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即==.(2)正弦定理常見變形公式:①a=

=,b=

=,c=

=;

②a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;

③a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑).

2.余弦定理(1)余弦定理及表達式三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角余弦的積的兩倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

(2)余弦定理的推論:cosA=

;cosB=

;cosC=

.

3.解三角形的四種類型及正、余弦定理的應用依據三角形中的已知量,求解未知量的過程叫作解三角形.在解三角形時,有下面四種常見類型:(1)已知兩角A,B及其一邊a(“角邊角”型):求解時,我們可以依據A+B+C=180°求出C,再利用正弦定理

==求出b,c.

(2)已知三邊a,b,c(“邊邊邊”型):這種類型我們可以依據余弦定理求出其中的兩角,再依據A+B+C=180°求得第三角.

(3)已知兩邊a,b及其夾角C(“邊角邊”型):這種類型可以先由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC求得c,再依據余弦定理求出角A,B.

(4)已知兩邊及一邊的對角(“邊邊角”型):求解時一般需綜合使用正、余弦定理,有解的狀況分為以下幾種:在△ABC中,已知a,b和角A時,解的狀況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a=bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

解個數一解

兩解

一解

一解

上表中,A為銳角時,若a<bsinA,三角形無解;A為直角時,若a≤b三角形無解.這些類型在求解時,應依據題設機敏處理,使用正弦定理的狀況多一點,但很多時候也可接受余弦定理.

4.三角形面積公式(1)已知一邊和這邊上的高:S=aha=bhb=chc.(2)已知兩邊及其夾角:S=

absinC=

acsinB=

bcsinA.

(3)已知三邊:S=

,這里p=.

(4)已知三邊和外接圓半徑R,則S=

.

5.正、余弦定理應用舉例(1)解三角形應用題的基本思路解三角形時,通常要依據題意,對所給的實際問題進行分析,從中抽象出一個或幾個三角形.通過解這些三角形,得到其邊、角的大小,從而得出實際問題的解.具體解答主要分為以下幾步:①分析:理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖.

②建模:依據已知條件與求解目標,將實際問題轉化為抽象的數學問題.

③求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數學模型的解;

④檢驗:檢驗上述所求的解是否具有實際意義,從而得出實際問題的解.

(2)在使用正、余弦定理時應留意以下幾點:①已知三角形兩邊及其中一邊的對角時,要留意對解的個數的推斷;

②理解正、余弦定理及其常見的變形的結構及功能,是快速選擇公式解題的關鍵;③利用余弦定理解三角形時,要留意依據條件恰當選取公式.一般地,求邊長時,使用余弦定理,求角時,使用定理的推論;

④要留意正弦定理與余弦定理結合使用,同時,要留意三角恒等變換在其中的應用;⑤利用余弦定理求三角形內角時,一般先求小角,后求大角;⑥在解題時,留意體會分類爭辯思想、等價轉化思想的應用.在解三角形時,要依據題目特點,機敏選用正弦或余弦定理,力爭使求解思路、求解過程最為簡化,提高運算效率.(3)在實際應用問題中的有關的術語、名詞在實際問題中毀滅頻率較高的術語有仰角、俯角、方位角、方向角、鉛垂平面等.①鉛垂平面是指與水平面或海平面垂直的平面.

②仰角與俯角是指在同一鉛垂平面內,視線與水平線的夾角.當視線在水平線之上時,稱為仰角;當視線在水平線之下時,稱為俯角.

③方位角:從正北方向順時針到目標方向線的水平角,“方位角是45°”也就是“北偏東45°”.

④方向角:從指定方向線到目標方向線的水平角.如:“南偏西60°”,指以正南方向為始邊,向西順時針旋轉60°.

題型一:正弦定理在解三角形中的應用如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求BD的長.【方法指導】在△ABD中,AB與對角∠ADB確定,由正弦定理可知,要求BD只需求出sin∠BAD,而∠BAD與∠ABC互補.在△ABC中,AB=5,∠BCA=30°,AC=9,故用正弦定理可得sin∠ABC.【解析】在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,由正弦定理,得=,∴sin∠ABC===.∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC.于是sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=.同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=,∠ADB=45°,解得BD=.【小結】本題的求解,主要是依據條件選擇合適的三角形反復使用正弦定理.在求解三角形的過程中,有時并不是單一的毀滅一個三角形,當多個三角形毀滅、數據比較雜亂時,一方面要留意認真甄別數據,將關鍵的數據聚焦到盡可能少的三角形中,另一方面要發(fā)覺數據間的聯(lián)系,以便能串聯(lián)起解題的線索.題型二:三角形外形的推斷在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC.試推斷三角形的外形【方法指導】已知條件中有邊和角的混合關系,可將邊轉化為角或將角轉化為邊.【解析】將已知等式變?yōu)閎2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC即b2+c2=(bcosC+ccosB)2.令b=2RsinB,c=2RsinC,則右式=4R2(sinBcosC+sinCcosB)2=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2∴b2+c2=a2,故△ABC為直角三角形.【小結】三角形外形的推斷,一般要涉及到三角等式的化簡或者三角關系式的求解,其解答的思路和過程化繁為簡、統(tǒng)一“邊”、“角”.在三角形外形的推斷中,不僅有常見的一些特殊三角形外形的推斷,如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形等,而且還有斜三角形的推斷,如銳角三角形、鈍角三角形等.題型三:三角恒等式的證明在△ABC中,求證:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.【方法指導】本題所要求證的等式中,邊、角混合在一起,并且等式右端明顯比左端繁瑣,所以基本的證題思路是從右向左化簡.在化簡右邊的式子時,要依據余弦定理的推論,將“角”向“邊”進行轉化,使所要求證的等式在形式上統(tǒng)一.【解析】第一個等式右邊=bcosC+ccosB=b×+c×=+==a=左邊.類似可以證明另外兩個等式.【小結】三角恒等式的證明,實際上是使用正、余弦定理以及三角關系式的過程,在證明時要把握我們所講的策略,即化繁為簡、統(tǒng)一“邊”“角”.化繁為簡指的是從較為繁雜的一邊向簡潔的一邊進行轉化,從而證明等式的成立,統(tǒng)一“邊”“角”指的是在等式的一端假如邊、角同時存在,要利用定理將“邊”化為“角”或者將“角”化為“邊”,使等式在形式上完成統(tǒng)一,以利于等式的證明.題型四:三角形面積公式的考查已知外接圓半徑為6的△ABC的邊長a,b,c和面積S滿足條件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=.求:(1)sinA;(2)△ABC面積的最大值.【方法指導】(1)由S=bcsinA,結合條件得出關系式,再結合余弦定理得出sinA與cosA的關系;(2)由sinB+sinC=及外接圓半徑可得b+c的值,再由S=bcsinA結合二次函數性質得出最值.【解析】(1)由S=bcsinA得bcsinA=a2-(b-c)2,即bcsinA=2bc-(b2+c2-a2),即bcsinA=2bc-2bccosA,∴sinA=4-4cosA,∵sin2A+cos2A=1,∴sin(2)∵sinB+sinC=+=,∴b+c=×2R=16,即c=16-b,∴S=bcsinA=b(16-b)×=(-b2+16b)=[-(b-8)2+64].∴當b=8時,Smax=.【小結】三角形的面積公式與正、余弦定理聯(lián)系親熱,也是高考考查的熱點題型.由于相關的面積公式有三個,所以在使用時,要結合條件、待求量等選擇合適的面積公式.已知面積求邊長、角度的大小,以及已知邊、角求面積等的考查,無非是對正弦定理、余弦定理、三角形面積公式的綜合應用.題型五:解三角形在實際問題中的應用如圖所示,為了計算渭河岸邊兩景點B與C的距離,由于地形的限制,需要在岸上選取A和D兩個測量點.現測得AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求兩景點B與C之間的距離(假設A,B,C,D在同一平面內,測量結果保留整數,參考數據:≈1.414,≈1.732,≈2.236).【方法指導】欲求BC,可以考慮解△BCD,而在△BCD中,由條件可知∠BCD=135°,∠CDB=30°,先用余弦定理求出一邊BD,然后再用正弦定理求出BC的距離即可.【解析】在△ABD中,設BD為x,則BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即1402=x2+1002-2×100×x×cos60°,整理,得x2-100x-9600=0,解得x1=160,x2=-60(舍去),故BD=160(m).在△BCD中,由正弦定理,得=,又AD⊥CD,∠BDA=60°,所以∠CDB=30°,所以BC=·sin30°=80≈113(m).即兩景點B與C之間的距離約為113【小結】應用解三角形學問解決實際問題需要下列四步:(1)分析題意,理清已知與所求,尤其要理解題中的有關名詞、術語,如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等;(2)依據題意畫出示意圖,并將已知條件在圖形中標出;(3)將所求問題歸結到一個或幾個三角形中,通過合理運用正、余弦定理等有關學問正確求解;(4)檢驗解出的結果是否具有實際意義,對結果進行取舍,得出正確答案.題型六:正、余弦定理與三角函數、平面對量的綜合考查已知向量m=(sin2x,2cosx),n=(,cosx)(x∈R),函數f(x)=m·n-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,若f(A)=1,b=1,△ABC的面積為,求邊a的值.【方法指導】(1)利用向量的數量積以及掛念角公式將f(x)化簡,然后可求得周期;(2)可利用f(A)=1求得角A的值,再依據三角形的面積公式進行求解.【解析】(1)f(x)=m·n-1=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期為T=π.(2)由題意知:f(A)=2sin(2A+)=1∴sin(2A+)=,又<2A∴2A+=,又S△ABC=bcsinA=c=,∴c=2.a2=b2+c2-2bccosA=1+4-4×=3,∴a=.【小結】正、余弦定理,三角形面積公式,和差角公式,二倍角公式,平面對量等學問的綜合應用是命題的重點.熟記相應的公式,并在此基礎上依據問題與條件機敏運用,一般的思路無非是邊角的求解或轉化.1.(2021年·天津卷)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC等于().A.B.C.D.【解析】由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|·cosB=5,由正弦定理得=?sinA==,故選C.【答案】C2.(2021年·山東卷)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.【解析】(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,∴4=a2+c2-ac,∴4=(a+c)2-ac,∴ac=9,又a+c=6,∴a=c=3.(2)由(1)知A=C,如圖,在等腰三角形ABC中,取AC中點D,連接BD,則BD⊥AC,且BD==2,∴sinA=,cosA=,∴sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=×-×=.3.(2021年·江西卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊