【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：G4空間中的平行關(guān)系

G4空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】18、（本題滿分12分）如圖，三角形和梯形所在的平面相互垂直，，，是線段上一點(diǎn)，.（Ⅰ）當(dāng)時，求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)滿足平面？并說明理由.【學(xué)問點(diǎn)】線面平行的判定；線面垂直的條件；二面角求法.G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在點(diǎn)滿足平面，理由：見解析.解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，…1分DD又，所以.由于，所以,四邊形是平行四邊形，…………2分所以由于平面，平面所以平面.…………4分（Ⅱ）由于平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，…………5分由于，所以平面.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，………6分是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，則，即令，則，所以,所以，……………8分故二面角的正弦值為?！?分.（Ⅲ）由于，所以與不垂直,………11分所以不存在點(diǎn)滿足平面.…………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取中點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形即可；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.通過求平面ABF的法向量與平面BEF的法向量夾角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在點(diǎn)滿足平面，則AE,由推斷不存在點(diǎn)滿足平面.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】18、（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為菱形，是的中點(diǎn)（1）若，求證：平面平面；（2）若平面平面，且，在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，試確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請說明理由。【學(xué)問點(diǎn)】空間角與空間中的位置關(guān)系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD?平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則Q（0，0，0），），B（0，設(shè)0＜λ＜1，則平面CBQ的一個法向量=（0，0，1），設(shè)平面MBQ的法向量為=（x，y，z），

由，∵二面角M-BQ-C的大小為60°，

解得λ=，

∴存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意【思路點(diǎn)撥】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．

（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】3、已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行與垂直關(guān)系.G4,G5【答案】【解析】D解析：錯誤的緣由為n也可能屬于，所以A不正確，錯誤的緣由為n也可能與m都在平面內(nèi)，錯誤的緣由為可能是相交平面，所以C不正確，只有D是正確選項.【思路點(diǎn)撥】由平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得到正確結(jié)果.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】19．（本小題滿分12分）如圖,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．（1）求證：⊥（2）若，，為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【學(xué)問點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5G【答案】【解析】(1)見解析；(2)解析：(1)證明：三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，-平面，且平面，.又平面,平面,，平面，又平面，⊥…………5分(2)由（1）知,如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系平面，其垂足落在直線上,. 在中，，AB=2，,在直三棱柱中，.在中，,則(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）設(shè)平面的一個法向量則即可得設(shè)平面的一個法向量則即可得平面與平面的夾角的余弦值是………12分（或在中，，AB=2,則BD=1可得D(平面與平面的夾角的余弦值是………12分）【思路點(diǎn)撥】(1)由已知得平面，，．由此能證明．(2)由（1）知,如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，,,平面,為的中點(diǎn)，.(I)求證：∥平面;(II)求四周體的體積.【學(xué)問點(diǎn)】直線與平面平行；幾何體的體積.G4,G8【答案】【解析】(I)略(II)解析：1)法一：取AD得中點(diǎn)M，連接EM,CM.則EM//PA由于所以，（2分）在中，所以，而,所以,MC//AB.（3分）由于所以，（4分）又由于所以，由于（6分）法二：延長DC,AB,交于N點(diǎn)，連接PN.由于所以，C為ND的中點(diǎn).（3分）由于E為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN由于（6分）2)法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=（7分）由于，，所以，（8分）又由于，所以，（10分）由于E是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E平面PAC的距離，所以，四周體PACE的體積（12分）【思路點(diǎn)撥】由題意可直接證明直線與平面平行，再依據(jù)幾何體的體積公式求出四周體的體積.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆河南省試驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】3．若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列為真命題的是（）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5【答案解析】C對于A，則m與的關(guān)系有三種m平行，或相交A錯，對于B,，，則還有相交的狀況，B錯誤，對于D，，還有可能平行，故選C.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)線面關(guān)系面面關(guān)系排解法求結(jié)果?！緮?shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】19.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：∥平面;（2）求證：;（3）求點(diǎn)到平面的距離.【學(xué)問點(diǎn)】線面平行線面垂直點(diǎn)到平面的距離G4G5G【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3）解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．在△中，分別為的中點(diǎn)，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以．所以平面．（3）：平面,所以，所以又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離等于.【思路點(diǎn)撥】證明線面平行及線面垂直主要利用其判定定理進(jìn)行證明，求點(diǎn)到平面的距離，若直接求距離不便利時，可利用三棱錐的等體積法求距離.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】6．已知兩條不重合的直線和兩個不重合的平面有下列命題：①若，則； ②若則③若是兩條異面直線，則④若則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【學(xué)問點(diǎn)】空間平行與垂直關(guān)系G4G5【答案】【解析】C解析：若，則直線n與平面α平行或在平面α內(nèi)，所以①錯誤；若