【名師課堂-備課包】2013-2020學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修2教案-第2章第2.1.1節(jié)1

【新課教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）】其次章 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第2.1.1節(jié) 平面提出問題①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;②平面的畫法與表示方法;③如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？④直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能推斷直線在平面內(nèi)？⑤依據(jù)自己的生活閱歷，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？⑥假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫圖表示;⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？⑧自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)容.活動(dòng)：讓同學(xué)先思考或爭(zhēng)辯，然后再回答，經(jīng)老師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的同學(xué)準(zhǔn)時(shí)表揚(yáng)，對(duì)回答不精確?????的同學(xué)提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對(duì)有困難的同學(xué)可提示如下：①回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.③點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.④確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？⑤引導(dǎo)同學(xué)觀看教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確定.⑥兩個(gè)平面不行能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，由于平面有無限延展性.⑦文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.⑧平面的基本性質(zhì)小結(jié).爭(zhēng)辯結(jié)果：①平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對(duì)它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，由于它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何肯定不錯(cuò)).②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.假如一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮攔住，為了增加它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.圖2圖3平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面AC（圖5）.圖4圖5③下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)A在直線a上（或直線a經(jīng)過點(diǎn)A）A∈a元素與集合間的關(guān)系點(diǎn)A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點(diǎn)A）Aa點(diǎn)A在平面α內(nèi)（或平面α經(jīng)過點(diǎn)A）A∈α點(diǎn)A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點(diǎn)A）Aα④直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這是用文字語言描述，我們也可以用符號(hào)語言和圖形語言（圖6）描述.空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語言來表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號(hào)語言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.圖6圖7請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語言和圖形語言描述直線與平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.⑤在生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以堅(jiān)固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀等等.上述事實(shí)和類似的閱歷可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一.⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？不是，由于平面是無限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，由于直線是無限延長(zhǎng)的，假如平面是有限的，那么無限延長(zhǎng)的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們依據(jù)平面的無限延展性來觀看一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給同學(xué)看）.問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，由于平面是無限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).正由于平面是無限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有很多個(gè)公共點(diǎn).那么這很多個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見，這很多個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上.這說明，假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號(hào)語言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.圖9公理3告知我們，假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面肯定相交，且其交線肯定過這個(gè)公共點(diǎn).也就是說，假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線.由此看出公理3不僅給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告知我們?nèi)拷稽c(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.⑧“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個(gè)平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)應(yīng)用示例例1如圖10，用符號(hào)語言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動(dòng)：同學(xué)自己思考或爭(zhēng)辯，再寫出（最好用實(shí)物投影儀呈現(xiàn)寫的正確的答案）.老師在同學(xué)中巡察，發(fā)覺問題準(zhǔn)時(shí)訂正，并準(zhǔn)時(shí)評(píng)價(jià).解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.變式訓(xùn)練1.畫圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如圖11.圖112.依據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，F(xiàn)l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如圖12.圖12點(diǎn)評(píng)：圖形語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：(1)依據(jù)圖形，先推斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出來.(2)依據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.例2已知直線a和直線b相交于點(diǎn)A.求證：過直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.圖13證明：如圖13,點(diǎn)A是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)B，b上取一點(diǎn)C，依據(jù)公理2經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn)A、B、C有一個(gè)平面α，由于A、B在平面α內(nèi)，依據(jù)公理1，直線a在平面α內(nèi),同理直線b在平面α內(nèi)，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又由于A、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面肯定經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.于是依據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個(gè).變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F,圖14∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點(diǎn)評(píng)：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有