【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(北師大版)基礎鞏固：第8章-第3節(jié)-空間圖形的基本關系與公理

第八章第三節(jié)一、選擇題1．下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在此平面內(nèi)D．假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線[答案]A[解析]由空間幾何中的公理可知，僅有A不是公理，其余皆為公理．2．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M[答案]D[解析]∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．3．設l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β[答案]B[解析]A選項中由l∥α，l∥β不能確定α與β的位置關系，C選項中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D選項由α⊥β，l∥α不能確定l與β的位置關系．4．(文)已知a、b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b()A．確定是異面直線 B．確定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線[答案]C[解析]a、b是異面直線，直線c∥直線A．因而c不與b平行，否則，若c∥b，則a∥b，與已知沖突，因而c不與b平行．(理)給出下列命題：①和一條直線都相交的兩條直線在同一個平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一個平面內(nèi)；③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]對于①兩條直線可以異面；對于②三條直線若交于一點，則可以異面；對于③這三點若共線，則兩平面可以相交；對于④兩兩平行的三條直線也可以在三個平面．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥βB．若m不垂直于α，則m不行能垂直于α內(nèi)的很多條直線C．若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥βD．若α⊥β，m∥n，n⊥β，則m∥α[答案]C[解析]∵n∥m，mα，n?α，∴n∥α，同理有n∥β，故C正確．6．(文)已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，則b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.其中正確命題的序號是()A．①②③ B．①③C．②③ D．①②③④[分析]本題是爭辯直線與平面的平行與垂直關系的問題，解答時留意選擇合適的圖形來說明，還要能舉出反例．[答案]C[解析]①錯誤，三個平面可以兩兩相交且交線相互平行；④錯誤，a，b相交時結論才成立．(理)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE與FD1所成角的余弦值等于A．eq\f(\r(10),5) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]取C1D1的中點G，連OG，GE，易知∠GOE就是兩直線OE與FD1所成的角或所成角的補角．在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝eq\f(OG2＋OE2－EG2,2OG·OE)＝eq\f(5＋3－2,2×\r(5)×\r(3))＝eq\f(\r(15),5).二、填空題7．平面α、β相交，在α、β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．[答案]1或4[解析]若過四點中任意兩點的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面．8．(文)已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條相互垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．在上面結論中，正確結論的編號是________(寫出全部正確結論的編號)．[答案]①②④[解析]只有當a∥b時，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯，其余都有可能．(理)對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有________．[答案]①④[解析]①中兩直線相交確定平面，則第三條直線在這個平面內(nèi)；②中可有線和平面平行；③中直線最多可確定3個平面；④同①.9．空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，若BD＝1，則AC的取值范圍是________．[答案](0，eq\r(3))[解析]如圖①所示，△ABD與△BCD均為邊長為1的正三角形，當△ABD與△CBD重合時，AC＝0，將△ABD以BD為軸轉動，到A，B，C，D四點共面時，AC＝eq\r(3)，如圖②，故AC的取值范圍是0<AC<eq\r(3).三、解答題10．如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD上的點，請回答下列問題：(1)滿足什么條件時，四邊形EFGH為平行四邊形？(2)滿足什么條件時，四邊形EFGH為矩形？(3)滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？[分析]四邊形是平行四邊形、矩形、正方形，首先轉化為線線平行問題，而證線線平行或用平面幾何的方法也可用公理4.[解析]本題是一個開放性問題．(1)E、F、G、H為所在邊的中點時，四邊形EFGH為平行四邊形．證明如下：∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD．同理，F(xiàn)G∥BD，且FG＝eq\f(1,2)BD，從而EH∥FG，且EH＝FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．一般地eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)時四邊形EFGH為平行四邊形．(2)eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)且BD⊥AC時，四邊形EFGH為矩形．(3)當E、F、G、H為所在邊的中點且BD⊥AC，AC＝BD時，四邊形EFGH為正方形．[點評]上述答案并不唯一，如當AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD時，四邊形EFGH也為平行四邊形.一、選擇題1．(文)對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)α，bα B．a(chǎn)α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)α，b⊥α[答案]B[解析]a、b異面時，A錯，C錯；若D正確，則必有a⊥b，故排解A、C、D，選B．(理)一個正方體紙盒開放后如圖，在原正方體紙盒中有下列結論：①AB⊥EF；②AB與CM成60°的角；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．其中正確的是()A．①② B．③④C．②③ D．①③[答案]D[解析]如圖，畫出折疊后的正方體后，由正方體的性質(zhì)知①③正確，故選D．2．(文)如圖是某個正方體的側面開放圖，l1，l2是兩條側面對角線，則在正方體中，l1與l2()A．相互平行B．異面且相互垂直C．異面且夾角為eq\f(π,3)D．相交且夾角為eq\f(π,3)[答案]D[解析]將側面開放圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點重合．故l1與l2相交，連接AD，△ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為eq\f(π,3).故選D．(理)(2022·安徽高考)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對 B．30對C．48對 D．60對[答案]C[解析]解法1：先找出正方體一個面上的對角線與其余面對角線成60°角的對數(shù)，然后依據(jù)正方體六個面的特征計算總對數(shù)．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C，BC1，C1D，CD1，A1D，AD1，A1B，AB1共8條，同理與BD成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其相鄰4個面的對角線，共組成16對，又正方體共有6個面，全部共有16×6＝96對．由于每對都被計算了兩次(例如計算與AC成60°角時，有AD1，計算與AD1成60°角時有AC，故AD1與AC這一對被計算了2次)，因此共有eq\f(1,2)×96＝48對．解法2：間接法．正方體的面對角線共有12條，從中任取2條有Ceq\o\al(2,12)種取法，其中相互平行的有6對，相互垂直的有12對，∴共有Ceq\o\al(2,12)－6－12＝48對．二、填空題3．已知線段AB、CD分別在兩條異面直線上，M、N分別是線段AB、CD的中點，則MN________eq\f(1,2)(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．[答案]<[解析]如圖所示，四邊形ABCD是空間四邊形，而不是平面四邊形，要想求MN與AB、CD的關系，必需將它們轉化到平面來考慮．我們可以連接AD，取AD的中點為G，再連接MG、NG，在△ABD中，M、G分別是線段AB、AD的中點，則MG∥BD，且MG＝eq\f(1,2)BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝eq\f(1,2)AC，又依據(jù)三角形的三邊關系知，MN<MG＋NG，即MN<eq\f(1,2)BD＋eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)(AC＋BD)．4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點．給出以下四個結論①直線AM與直線C1C相交②直線AM與直線BN平行；③直線AM與直線DD1異面；④直線BN與直線MB1異面．其中正確結論的序號為________．(留意：把你認為正確的結論序號都填上)[答案]③④[解析]AM與C1C異面，故①錯；AM與BN異面，故②錯；③，④正確三、解答題5．已知四棱錐P－ABCD以及其三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．(1)求此四棱錐的體積；(2)若E是PD的中點，求證：AE⊥平面PCD；(3)在(2)的條件下，若F是PC的中點，證明：直線AE和直線BF既不平行也不異面．[解析](1)由題意可知，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的正方形，高h＝2，所以此四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AE平面PAD，∴AE⊥CD．∵△PAD是等腰直角三角形，E是PD的中點，∴AE⊥PD．又PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD．(3)∵E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，∴EF∥CD且EF＝eq\f(1,2)CD，又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)AB．∴四邊形ABEF為梯形，AE，BF是梯形的兩腰，∴AE與BF所在的直線必相交．即直線AE和直線BF既不平行也不異面．6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，∠PAB＝60°.M是PD的中點．(1)證明：PB∥平面MAC；(2)證明：平面PAB⊥平面ABCD；(3)求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)證明：連接OM.∵M是PD中點，矩形ABCD中O為BD中點，∴OM∥PB．又OM平面MAC，PB?平面MAC，∴PB∥平面MAC．(2)證明：由題設知PA＝2，AD