2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.4.2空間兩點(diǎn)的距離公式學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE12．4．2空間兩點(diǎn)的距離公式1．了解空間兩點(diǎn)的距離的定義．2．理解空間兩點(diǎn)的距離公式的推導(dǎo)思路．3．駕馭空間兩點(diǎn)的距離公式．空間兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距離公式是d(A，B)＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2)．特殊地，點(diǎn)A(x，y，z)到原點(diǎn)的距離公式為d(O，A)＝eq\r(x2＋y2＋z2)．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面上兩點(diǎn)間的距離公式是空間兩點(diǎn)間距離公式的特例．()(2)將距離公式中兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次互換，結(jié)果不變．()答案：(1)√(2)√2．點(diǎn)P(1，eq\r(2)，eq\r(3))到原點(diǎn)O的距離是()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)答案：A3．求下列兩點(diǎn)間的距離．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝eq\r((1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2)＝1．(2)d(C，D)＝eq\r((－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2)＝eq\r(22)．求兩點(diǎn)間的距離在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，長方體的頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4，4，2)，E，F(xiàn)分別為BC，A′B′的中點(diǎn)，求|EF|的長．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，E(4，2，0)，F(xiàn)(2，0，2)．所以|EF|＝eq\r((4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2)＝2eq\r(3)．eq\a\vs4\al()利用空間兩點(diǎn)的距離公式求線段長度的一般步驟在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，3，0)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)B(5，1，0)關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為B′，求A′、B′兩點(diǎn)間的距離．解：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，3，0)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為A′，所以A′(2，3，0)．因?yàn)辄c(diǎn)B(5，1，0)關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝eq\r([2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2)＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，所以A′、B′兩點(diǎn)間的距離為eq\r(53)．利用距離公式求點(diǎn)的坐標(biāo)(1)在z軸上求一點(diǎn)使得它到點(diǎn)A(4，5，6)與到點(diǎn)B(－5，0，10)的距離相等；(2)已知點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離等于2eq\r(3)，且它的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)均相等，求該點(diǎn)的坐標(biāo)．【解】(1)由題意可設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為P(0，0，z)，則|PA|＝eq\r((4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2)，|PB|＝eq\r((－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2)．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，6)．(2)由題意可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)．所以|OP|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝2eq\r(3)．又x＝y(tǒng)＝z，所以eq\r(3x2)＝2eq\r(3)．所以x＝y(tǒng)＝z＝2或x＝y(tǒng)＝z＝－2．所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2，2)或(－2，－2，－2)．eq\a\vs4\al()已知點(diǎn)在某軸上(或者在坐標(biāo)平面內(nèi))，又滿意某些條件，求該點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般依據(jù)點(diǎn)所在的位置，先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由已知條件列出方程求解．在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般要依據(jù)點(diǎn)的特征設(shè)參數(shù)，這樣不但可以削減參數(shù)，也能簡(jiǎn)化計(jì)算．點(diǎn)的位置與相應(yīng)特征如下表：位置坐標(biāo)特征x軸上(x，0，0)y軸上(0，y，0)z軸上(0，0，z)xOy平面內(nèi)(x，y，0)yOz平面內(nèi)(0，y，z)xOz平面內(nèi)(x，0，z)已知空間中兩點(diǎn)A(－3，－1，1)、B(－2，2，3)，在z軸上有一點(diǎn)C，它到A、B兩點(diǎn)的距離相等，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，z)，則eq\r(32＋12＋(z－1)2)＝eq\r(22＋(－2)2＋(z－3)2)，即10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，解得z＝eq\f(3,2)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0，eq\f(3,2))．空間兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點(diǎn)M，使M到點(diǎn)N(6，5，1)的距離最?。窘狻坑梢阎稍O(shè)M(x，1－x，0)，則|MN|＝eq\r((x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2)＝eq\r(2(x－1)2＋51)．所以當(dāng)x＝1時(shí)，|MN|min＝eq\r(51)．所以xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上到點(diǎn)N的距離最小的點(diǎn)為M(1，0，0)．eq\a\vs4\al()本題利用空間兩點(diǎn)的距離公式，將空間距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，此類題目的解題方法是干脆設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式就可以將幾何問題代數(shù)化，分析函數(shù)即可．在空間直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)分別是A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)，3))．求證：△ABC是直角三角形．證明：d(A，B)＝eq\r((－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2)＝5，d(A，C)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))\s\up12(2)＋(3－3)2)＝eq\f(\r(10),2)，d(B，C)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(5,2)))\s\up12(2)＋(3－3)2)＝eq\f(3\r(10),2)eq\r()．故[d(B，C)]2＋[d(A，C)]2＝eq\f(90,4)＋eq\f(10,4)＝25＝[d(A，B)]2，所以△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形．(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間的距離公式的推廣，它可以求空間直角坐標(biāo)系下，隨意給定坐標(biāo)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離．其推導(dǎo)過程體現(xiàn)了化空間為平面的轉(zhuǎn)化思想．(2)求距離的步驟：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入空間兩點(diǎn)間的距離公式求值．對(duì)于空間幾何體建立空間直角坐標(biāo)系后，就把點(diǎn)和坐標(biāo)聯(lián)系起來，這樣就可以把空間中的線段長、距離及位置關(guān)系等幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)式再用代數(shù)的方法來解決，從而借助代數(shù)中最基本最普遍的函數(shù)與方程的思想，解決幾何問題，使很多困難的幾何問題迎刃而解．1．點(diǎn)A(2，－3，5)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)是A′，則|AA′|等于()A．4 B．6C．10 D．eq\r(38)解析：選C．因?yàn)辄c(diǎn)A到平面xOy的距離為5，所以|AA′|＝10．2．若O(0，0，0)，P(x，y，z)，且|OP|＝1，則x2＋y2＋z2＝1表示的圖形是________________．解析：由題意知，P點(diǎn)滿意球的定義．答案：以原點(diǎn)O為球心，以1為半徑的球面3．點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為9，且它在x、y、z軸上的坐標(biāo)都相等，則點(diǎn)A坐標(biāo)為________．答案：(3eq\r(3)，3eq\r(3)，3eq\r(3))或(－3eq\r(3)，－3eq\r(3)，－3eq\r(3))[學(xué)生用書P131(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3，4，0)和點(diǎn)B(2，－1，6)的距離是()A．2eq\r(43) B．2eq\r(21)C．9 D．eq\r(86)解析：選D．由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|＝eq\r((－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2)＝eq\r(86)．2．已知點(diǎn)A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|等于()A．eq\f(\r(53),4) B．eq\f(\r(53),2)C．eq\f(53,2) D．eq\f(\r(13),2)解析：選B．AB的中點(diǎn)M(2，eq\f(3,2)，3)，它到點(diǎn)C的距離d(M，C)＝eq\r((2－0)2＋(\f(3,2)－1)2＋(3－0)2)＝eq\f(\r(53),2)．3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若D(0，0，0)、A(4，0，0)、B(4，2，0)、A1(4，0，3)，則對(duì)角線AC1的長為()A．9 B．eq\r(29)C．5 D．2eq\r(6)解析：選B．由已知易求得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝eq\r(42＋22＋32)＝eq\r(29)．4．已知點(diǎn)A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形態(tài)是()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形解析：選B．|AB|＝eq\r((1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2)＝eq\r(89)，|BC|＝eq\r((4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2)＝eq\r(14)，|AC|＝eq\r((1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2)＝eq\r(75)，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2．所以△ABC為直角三角形．5．一束光線自點(diǎn)P(1，1，1)動(dòng)身，被xOy平面反射到達(dá)點(diǎn)Q(3，3，6)被汲取，那么光線所經(jīng)過的距離是()A．eq\r(37) B．eq\r(33)C．eq\r(47) D．eq\r(57)解析：選D．P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)為P′(1，1，－1)，則光線所經(jīng)過的距離為|P′Q|＝eq\r((3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2)＝eq\r(57)．6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(1，0，3)與N(－1，1，a)兩點(diǎn)間的距離為eq\r(6)，則a＝________．答案：2或47．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，點(diǎn)P在z軸上，且|PA|＝|PB|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)點(diǎn)P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，所以eq\r((1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2)＝eq\r((2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2)，解得z＝3．答案：(0，0，3)8．點(diǎn)A(1－t，1－t，t)和B(2，t，t)的距離的最小值為________．解析：|AB|2＝(1－t－2)2＋(1－t－t)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2．當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，|AB|eq\o\al(2,min)＝eq\f(9,5)，即|AB|min＝eq\f(3\r(5),5)．答案：eq\f(3\r(5),5)9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值時(shí)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)的|AB|．解：由空間兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|＝eq\r((1－x)2＋[(x＋2)－(5－x)]2＋[(2－x)－(2x－1)]2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))，當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，|AB|有最小值eq\r(\f(5,7))＝eq\f(\r(35),7)．此時(shí)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,7)，\f(6,7)))．10．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是正方體對(duì)角線D1B的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CC1上．(1)當(dāng)2|C1Q|＝|QC|時(shí)，求|PQ|；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在棱CC1上移動(dòng)時(shí)，求|PQ|的最小值．解：(1)由題意知點(diǎn)C1(0，1，1)，點(diǎn)D1(0，0，1)，點(diǎn)C(0，1，0)，點(diǎn)B(1，1，0)，點(diǎn)P是體對(duì)角線D1B的中點(diǎn)，則點(diǎn)P(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．因?yàn)辄c(diǎn)Q在棱CC1上，且2|C1Q|＝|QC|，所以點(diǎn)Q為(0，1，eq\f(2,3))．由空間兩點(diǎn)的距離公式，得|PQ|＝eq\r((\f(1,2)－0)2＋(\f(1,2)－1)2＋(\f(1,2)－\f(2,3))2)＝eq\r(\f(19,36))＝eq\f(\r(19),6)．(2)當(dāng)點(diǎn)Q在棱CC1上移動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q(0，1，a)，a∈[0，1]．由空間兩點(diǎn)的距離公式有|PQ|＝eq\r((\f(1,2)－0)2＋(\f(1,2)－1)2＋(\f(1,2)－a)2)＝eq\r((a－\f(1,2))2＋\f(1,2))．故當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，|PQ|取得最小值eq\f(\r(2),2)，此時(shí)點(diǎn)Q(0，1，eq\f(1,2))．[B實(shí)力提升]11．若P(x，2，1)到Q(1，1，2)，R(2，1，1)的距離相等，則x的值為()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2解析：選B．由eq\r((x－1)2＋(2－1)2＋(1－2)2)＝eq\r((x－2)2＋(2－1)2＋(1－1)2)，解得x＝1．12．若點(diǎn)P(x，y，z)到平面xOz與到y(tǒng)軸距離相等，則P點(diǎn)坐標(biāo)滿意的關(guān)系式為________．解析：由題意得|y|＝eq\r(x2＋z2)即x2＋z2－y2＝0．答案：x2＋z2－y2＝013．如圖所示，在長方體OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中點(diǎn)，作OD⊥AC于點(diǎn)D，求線段B1E的長度及頂點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離．解：由已知的空間直角坐標(biāo)系及長方體的棱長可得長方體的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，3，0)、C(0，3，0)、O1(0，0，2)、A1(2，0，2)、B1(2，3，2)、C1(0，3，2)．因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，3，0)，所以由兩點(diǎn)間的距離公式得|B1E|＝eq\r((2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2)＝eq\r(5)．設(shè)D(x，y，0)，在Rt△AOC中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝eq\r(13)，所以|OD|＝eq\f(2×3,\r(13))＝eq\f(6\r(13),13)．在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，所以x＝eq\f(\f(36,13),2)＝eq\f(18,13)．在Rt△ODC中，|OD|2＝y(tǒng)·|OC|，所以y＝eq\f(\f(36,13),3)＝eq\f(12,13)．所以點(diǎn)D(eq\f(18,13)，eq\f(12,13)，0)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|O1D|＝eq\r((0－\f(18,13))2＋(0－\f(12,13))2＋(2－0)2)＝eq\r(\f(1144,132))＝eq\f(2\r(286),13)．14