2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.1.1不等關(guān)系與不等式3.1.2不等式的性質(zhì)學(xué)案新人教B版必修5

PAGE1-3.1.1不等關(guān)系與不等式3.1.2不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解不等式的性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系．(難點(diǎn))1.通過不等關(guān)系與不等式的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．借助不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).1．不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)(1)不等符號(hào)<，≤，>，≥，≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系．2．比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)3．常用不等式的重要性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對(duì)稱性)a＞b?b＜a性質(zhì)2(傳遞性)a>b，b>c?a>c性質(zhì)3(可加性)a＞b?a＋c>b＋c性質(zhì)3推論1a＋b＞c?a＞c－b推論2a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d性質(zhì)4(可乘性)a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc性質(zhì)4推論1a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd推論2a＞b＞0?an＞bn(n∈N＋，n＞1)推論3a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，n>1)1．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿意的關(guān)系式是()A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200D[據(jù)題意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故選D．]2．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)A[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，故M>N.]3．用不等號(hào)填空：(1)若a>b，則ac2________bc2.(2)若a＋b>0，b<0，則b________a．(3)若a>b，c<d，則a－c________b－d．(4)已知x<1，則x2＋2________3x.(1)≥(2)<(3)>(4)>[(1)因?yàn)楫?dāng)c2>0時(shí)，有ac2>bc2.當(dāng)c2＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故應(yīng)填“≥”．(2)因?yàn)閍＋b>0，b<0，所以a>0，故應(yīng)填“<”．(3)因?yàn)閏<d，所以－c>－d，又因?yàn)閍>b，所以a－c>b－d，故應(yīng)填“>”．(4)因?yàn)閤2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，則(x－2)(x－1)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故應(yīng)填“>”．]用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】某汽車公司因發(fā)展須要，需購(gòu)進(jìn)一批汽車，安排運(yùn)用不超過1000萬元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，依據(jù)須要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿意上述全部不等關(guān)系的不等式．[解]設(shè)購(gòu)買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40x＋90y≤1000，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N＋.))1．此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系．2．當(dāng)問題中同時(shí)滿意幾個(gè)不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可．3．用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、大于等．(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量．(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式．1．如圖所示，在一個(gè)面積為350平方米的矩形地基上建立一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地．倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L大于寬W的4倍．寫出L與W的關(guān)系．[解]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L＋10W＋10＝350，,L>4W，,L>0，,W>0.))實(shí)數(shù)大小的比較【例2】設(shè)x，y，z∈R，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。甗解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)且z＝1時(shí)取等號(hào)．1．作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法：(1)作差法比較的步驟：作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類探討．2．假如兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采納作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.2．已知x<y<0，試比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小．[解](x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0.∴－2xy(x－y)>0.∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．不等式的性質(zhì)應(yīng)用[探究問題]1．小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你認(rèn)為正確嗎？為什么？[提示]不正確．因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向變更，在本題中只知道－6<a<8，不明確a值的正負(fù)．故不能將eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)與－6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認(rèn)為正確嗎？[提示]不正確．因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有耘c可乘性．但不能相減或相除，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不行隨意“創(chuàng)建”性質(zhì)．3．你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2沖突了呢？[提示]利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某不等式的范圍要留意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次運(yùn)用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴(kuò)大．【例3】(1)已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，試求eq\f(α－β,2)的取值范圍；(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．[思路探究](1)eq\x(－\f(π,2)≤α<β≤\f(π,2))→eq\x(α－β的范圍)→eq\x(\f(α－β,2)的范圍)(2)法一：eq\x(用f－1，f1表示f－2)→eq\x(f－2的范圍)法二：eq\x(用f－1，f1表示a，b)→eq\x(用a，b表示f－2)→eq\x(用f－1，f1表示f－2)→eq\x(f－2的范圍)[解](1)∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又α<β，∴eq\f(α－β,2)<0，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.∴eq\f(α－β,2)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).(2)法一：設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1，))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范圍是[5,10]．法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1]，))∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范圍是[5,10]．1．利用不等式的性質(zhì)證明不等式留意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．2．利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要留意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)留意不等式性質(zhì)的前提條件，切不行用好像是很明顯的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．(3)精確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤．3．(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍；(2)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[解](1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.∵eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.∴a－b和eq\f(a,b)的取值范圍分別是(－24,45)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)).(2)證明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd>0，兩邊同除以bd得，eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).1．本節(jié)課的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)及兩個(gè)數(shù)(式)的大小比較問題，難點(diǎn)是利用不等式(組)表示不等關(guān)系．2．要嫻熟駕馭常見的文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換．文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)大于>至多≤小于<至少≥大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤3．本節(jié)課要重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法(1)比較兩個(gè)代數(shù)式(數(shù))的大小．(2)利用不等式的性質(zhì)求取值范圍．這也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)某隧道入口直立著“限高4.5米”的警示牌，是指示司機(jī)要平安通過隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿意關(guān)系為h≤4.5.()(2)用不等式表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”為a－b>0.()(3)不等式x≥2的含義是指x不小于2.()(4)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．()[解析](1)√.因?yàn)椤跋薷?.5米”即為“高度不超過4.5米”．不超過用“≤”表示，故此說法正確．(2)×.因?yàn)椤胺秦?fù)數(shù)”即為“不是負(fù)數(shù)”，所以a－b≥0，故此說法錯(cuò)誤．(3)√.因?yàn)椴坏仁絰≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此說法是正確的．(4)√.因?yàn)椴坏仁絘≤b表示a<b或a＝b．故若a<b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b肯定正確．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是()A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5A[M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.]3．已知－1<2x－1<1，則eq\f(2,x)－1的取值范圍是____________．(1，＋∞)[－1<2x－1<1?0<x<1?eq\f(1,x)>1?eq\f(2,x)>2?eq\f(2,x)－1>1.]4．(1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。?2)若