初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題訓(xùn)練題

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題訓(xùn)練題?一、工程問題的基本概念與公式1.工程問題的定義工程問題是研究工作總量、工作效率和工作時間之間關(guān)系的一類應(yīng)用題。它通常將完成一項工程看作一個整體，通過分析不同工作主體在不同時間內(nèi)完成的工作量來求解相關(guān)問題。2.基本公式工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率

二、簡單的工程問題訓(xùn)練題

（一）單人完成工程問題1.例題1一項工程，甲單獨做需要10天完成，求甲的工作效率。解：根據(jù)工作效率=工作總量÷工作時間，把這項工程的工作總量看作單位"1"，則甲的工作效率為$1\div10=\frac{1}{10}$。2.例題2一件工作，乙單獨做15小時完成，那么乙每小時完成這件工作的幾分之幾？解：乙的工作效率=$1\div15=\frac{1}{15}$。3.練習(xí)一項工程，丙單獨做20天完成，丙的工作效率是多少？答案：丙的工作效率為$1\div20=\frac{1}{20}$。

（二）兩人合作完成工程問題1.例題1一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。甲乙兩人合作，多少天可以完成這項工程？解：首先求出甲、乙的工作效率，甲的工作效率為$\frac{1}{10}$，乙的工作效率為$\frac{1}{15}$。然后根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率和，兩人合作的工作效率和為$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$。所以兩人合作完成這項工程需要的時間為$1\div\frac{1}{6}=6$（天）。2.例題2一件工作，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要4小時完成，丙單獨做要3小時完成。甲、乙合作2小時后，剩下的由丙單獨做，丙還要做幾小時才能完成？解：先求甲、乙合作2小時完成的工作量，甲、乙合作的工作效率為$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$。那么甲、乙合作2小時完成的工作量為$\frac{5}{12}\times2=\frac{5}{6}$。剩下的工作量為$1\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$。丙的工作效率為$\frac{1}{3}$，所以丙完成剩下工作需要的時間為$\frac{1}{6}\div\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}$（小時）。3.練習(xí)一項工程，甲單獨做8天完成，乙單獨做12天完成。甲乙合作，幾天可以完成這項工程的一半？答案：甲的工作效率為$\frac{1}{8}$，乙的工作效率為$\frac{1}{12}$，甲乙合作的工作效率和為$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$。完成工程的一半，即工作量為$\frac{1}{2}$，所需時間為$\frac{1}{2}\div\frac{5}{24}=\frac{1}{2}\times\frac{24}{5}=\frac{12}{5}=2.4$（天）。

（三）多人合作完成工程問題1.例題1一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成，丙隊單獨做40天完成。甲、乙、丙三隊合作，多少天可以完成這項工程？解：先分別求出甲、乙、丙三隊的工作效率，甲隊工作效率為$\frac{1}{20}$，乙隊工作效率為$\frac{1}{30}$，丙隊工作效率為$\frac{1}{40}$。三隊合作的工作效率和為$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}=\frac{6}{120}+\frac{4}{120}+\frac{3}{120}=\frac{13}{120}$。所以三隊合作完成這項工程需要的時間為$1\div\frac{13}{120}=\frac{120}{13}\approx9.23$（天）。2.例題2一項工程，甲、乙合作需要12天完成，乙、丙合作需要15天完成，甲、丙合作需要20天完成。甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？解：設(shè)甲、乙、丙的工作效率分別為$x$、$y$、$z$。根據(jù)已知可得方程組：$\begin{cases}12(x+y)=1\\15(y+z)=1\\20(x+z)=1\end{cases}$由$12(x+y)=1$可得$x+y=\frac{1}{12}$①由$15(y+z)=1$可得$y+z=\frac{1}{15}$②由$20(x+z)=1$可得$x+z=\frac{1}{20}$③①+②+③得：$2(x+y+z)=\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$先計算右邊：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{5}{60}+\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$所以$x+y+z=\frac{1}{10}$那么甲、乙、丙三人合作完成這項工程需要的時間為$1\div\frac{1}{10}=10$（天）。3.練習(xí)一項工程，甲單獨做18天完成，乙單獨做24天完成，丙單獨做30天完成。甲、乙、丙合作3天后，剩下的由乙、丙合作完成，還需要多少天？答案：甲的工作效率為$\frac{1}{18}$，乙的工作效率為$\frac{1}{24}$，丙的工作效率為$\frac{1}{30}$。甲、乙、丙合作3天完成的工作量為$3\times(\frac{1}{18}+\frac{1}{24}+\frac{1}{30})=3\times(\frac{20}{360}+\frac{15}{360}+\frac{12}{360})=3\times\frac{47}{360}=\frac{47}{120}$。剩下的工作量為$1\frac{47}{120}=\frac{73}{120}$。乙、丙合作的工作效率和為$\frac{1}{24}+\frac{1}{30}=\frac{5}{120}+\frac{4}{120}=\frac{3}{40}$。所以乙、丙合作完成剩下工作需要的時間為$\frac{73}{120}\div\frac{3}{40}=\frac{73}{120}\times\frac{40}{3}=\frac{73}{9}\approx8.11$（天）。

三、工程問題中的工作總量變化問題

（一）工作總量增加的情況1.例題1一項工程，原計劃10天完成，工作3天后，由于改進(jìn)技術(shù)，工作效率提高了25%，問完成這項工程可以提前幾天？解：原工作效率為$\frac{1}{10}$，工作3天完成的工作量為$\frac{1}{10}\times3=\frac{3}{10}$。剩下的工作量為$1\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。改進(jìn)技術(shù)后工作效率變?yōu)?\frac{1}{10}\times(1+25\%)=\frac{1}{10}\times\frac{5}{4}=\frac{1}{8}$。那么完成剩下工作需要的時間為$\frac{7}{10}\div\frac{1}{8}=\frac{7}{10}\times8=\frac{28}{5}=5.6$（天）。總共用的時間為$3+5.6=8.6$（天）。提前的天數(shù)為$108.6=1.4$（天）。2.例題2一個水池有甲、乙兩個進(jìn)水管，單開甲管6小時可以注滿水池，單開乙管8小時可以注滿水池?，F(xiàn)先開甲管3小時，然后兩管同時開，又經(jīng)過幾小時可以注滿水池？后來由于水池需要擴(kuò)建，注水量增加了20%，那么注滿擴(kuò)建后的水池需要多長時間？解：甲管的工作效率為$\frac{1}{6}$，乙管的工作效率為$\frac{1}{8}$。甲管先開3小時注入的水量為$\frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}$。剩下需要注入的水量為$1\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。甲乙兩管同時開的工作效率和為$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$。所以兩管同時開注滿剩下的水需要的時間為$\frac{1}{2}\div\frac{7}{24}=\frac{1}{2}\times\frac{24}{7}=\frac{12}{7}$（小時）。原來注滿水池需要的時間為$3+\frac{12}{7}=\frac{21+12}{7}=\frac{33}{7}$（小時）。注水量增加20%后，工作總量變?yōu)?1\times(1+20\%)=1.2$。甲乙合作的工作效率和不變，還是$\frac{7}{24}$。注滿擴(kuò)建后的水池需要的時間為$1.2\div\frac{7}{24}=1.2\times\frac{24}{7}=\frac{28.8}{7}\approx4.11$（小時）。3.練習(xí)一項工程，原計劃20天完成，施工5天后，每天的工作效率提高了20%，問完成這項工程實際用了多少天？答案：原工作效率為$\frac{1}{20}$，施工5天完成的工作量為$\frac{1}{20}\times5=\frac{1}{4}$。剩下的工作量為$1\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。提高效率后工作效率變?yōu)?\frac{1}{20}\times(1+20\%)=\frac{1}{20}\times\frac{6}{5}=\frac{3}{50}$。完成剩下工作需要的時間為$\frac{3}{4}\div\frac{3}{50}=\frac{3}{4}\times\frac{50}{3}=12.5$（天）?？偣灿玫臅r間為$5+12.5=17.5$（天）。

（二）工作總量減少的情況1.例題1一項工程，預(yù)計30人15天可以完成任務(wù)。工作4天后，又增加3人。如果每人工作效率相同，問可以提前幾天完成任務(wù)？解：先求出工作總量，$30\times15=450$（人天）。30人工作4天完成的工作量為$30\times4=120$（人天）。剩下的工作量為$450120=330$（人天）。增加3人后人數(shù)變?yōu)?30+3=33$人。完成剩下工作需要的時間為$330\div33=10$天。原計劃15天完成，已經(jīng)工作4天，按原計劃還需$154=11$天。所以提前的天數(shù)為$1110=1$天。2.例題2有一項工程，原計劃用40人在規(guī)定時間內(nèi)完成。開工5天后，因為調(diào)走10人，于是每人每天的工作量要增加相同的百分比才能按時完成任務(wù)。問每人每天的工作量要增加百分之幾？解：設(shè)每人每天的工作量原來為1，工作總量為$40\timest$（$t$為規(guī)定時間）。40人工作5天完成的工作量為$40\times5=200$。剩下的工作量為$40\times(t5)$。調(diào)走10人后人數(shù)變?yōu)?4010=30$人。設(shè)每人每天工作量增加的百分比為$x$，則現(xiàn)在每人每天工作量為$1\times(1+x)$。可列方程：$200+30\times(1+x)\times(t5)=40t$化簡得：$200+30t(1+x)150(1+x)=40t$$200+30t+30tx150150x=40t$$50+30tx150x=10t$因為原計劃$40t$的工作量，40人工作，那么$t=\frac{40t}{40}$，代入上式得：$50+30x\times\frac{40t}{40}150x=10\times\frac{40t}{40}$$50+30tx150x=10t$由于$t$不為0，兩邊同時除以$t$得：$50/t+30x150x/t=10$又因為原計劃40人完成工作，那么$40\times1\timest=40t$，即$t=1$時，$40\times1\times1=40$。所以$50+30x150x=10$$120x=40$$x=\frac{1}{3}\approx33.3\%$3.練習(xí)一項工程，計劃25人工作若干天完成。工作5天后，調(diào)走5人，為了按時完成任務(wù)，每人的工作效率提高了25%，問原計劃多少天完成這項工程？答案：設(shè)原計劃$x$天完成，每人每天工作量為1，工作總量為$25x$。25人工作5天完成的工作量為$25\times5=125$。剩下的工作量為$25x125$。調(diào)走5人后人數(shù)變?yōu)?255=20$人，提高效率后每人每天工作量為$1\times(1+25\%)=1.25$?？闪蟹匠蹋?125+20\times1.25\t