初三小班數(shù)學(xué)暑假班講義

目錄

1.概率

2相似

3.一元二次方程

4.圓

初二暑假我要好好學(xué)，初

三我會很厲害的?。?！

24.（本小題滿分6

某商場搞摸獎促銷活動：商場在一只■祥明的箱子里放了三個相同的

小球，球上分別寫有“10元”、“20.”、“30元”的字樣.規(guī)定：顧

客在本商場同一日內(nèi)，每消費(fèi)滿100既，就可以在這只箱子里摸出一

個小球（顧客每次摸出小球看過后仍然放回箱內(nèi)攪勻），商場根據(jù)顧

客摸出小球上所標(biāo)金額就送上一份相應(yīng)的獎品.現(xiàn)有一顧客在該商場

一次性消費(fèi)了235元，按規(guī)定，該顧客可以摸獎兩次，求該顧客兩次

摸獎所獲獎品的價格之和超過40元的概率.

11.寫出生活中的一個隨機(jī)事件：.

11年無錫中考真題

8.100名學(xué)生進(jìn)行20秒鐘跳繩測試，測試成績統(tǒng)計如下表:

跳繩個20<x<30<x<40<xW50<x<60<x<x>70

數(shù)X3040506070

人數(shù)5213312326

則這次測試成績的中位數(shù)m滿足

A.40<m<50B.50<m<60C.60<m<70D.m>70

22.（本題滿分7分）一不透明的袋子中裝有4個球，它們除了上面分

別標(biāo)有的號碼1、2、3、4不同外，其余均相同.將小球攪勻，并從

袋中任意取出一球后放回；再將小球攪勻，并從袋中再任意取出一

球.求第二次取出球的號碼比第一次的大的概率.（請用“畫樹狀圖”

或“列表”的方法給出分析過程，并寫出結(jié)果）

在1,2,3,4,5這五個數(shù)中，先任意選出一個數(shù)a,然后在余下的

數(shù)中任意取出一個數(shù)6,組成一個點（a,b）,求組成的點（a,b）

恰好橫坐標(biāo)為偶數(shù)且縱坐標(biāo)為奇數(shù)的概率.（請用“畫樹狀圖”或

“列表”等方法寫出分析過程）

21.（2010江蘇無錫，21,6分）小剛參觀上海世博會，由于僅有一

天的時間，他上午從A—中國館、B—日本館、C—美國館中任意

選擇一處參觀，下午從D—韓國館、E一英國館、F—德國館中任

意選擇一處參觀.

（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，分析并寫出小剛所有可能的參

觀方式（用字母表示即可）；

（2）求小剛上午和下午恰好都參觀亞洲國家展館的概率.

22、（本題滿分8分）小明及甲、乙兩人一起玩“手心手背”的

游戲.他們約定：如果三人中僅有一人出“手心”或“手背則這

個人獲勝；如果三人都出“手心”或“手背則不分勝負(fù)，那么在

一個回合中，如果小明出“手心則他獲勝的概率是多少？（請

用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

24.（10分）（2014?無錫）三個小球分別標(biāo)有-2,0,1三個數(shù)，這

三個球除了標(biāo)的數(shù)不同外，其余均相同，將小球放入一個不透明的布

袋中攪勻.

（1）從布袋中任意摸出一個小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)記下，然后將

小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個小球，再記下小球上所標(biāo)之?dāng)?shù),

求兩次記下之?dāng)?shù)的和大于0的概率.（請用“畫樹狀圖”或“列表”

等方法給出分析過程，并求出結(jié)果）

（2）從布袋中任意摸出一個小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)記下，然后將

小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)再記

下，…，這樣一共摸了13次.若記下的13個數(shù)之和等于-4,平方

和等于14.求：這13次摸球中，摸到球上所標(biāo)之?dāng)?shù)是0的次數(shù).

24.（本題滿分8分）

（1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機(jī)傳給

乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將

球再隨機(jī)傳給其他三人中的某一人.求第二次傳球后球回到

甲手里的概率.（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方式給出

分析過程）

（2）如果甲跟另外〃（〃22）個人做（1）中同樣的游戲，那么，

第三次傳球后球回到甲手里的概率是（請直接寫出結(jié)

果）.

23.（本小題滿分6分）

小明所在學(xué)校初三學(xué)生綜合素質(zhì)評定分AB,C,。四個等第，為了了

解評定情況，小明隨機(jī)調(diào)查了初三30名學(xué)生的學(xué)號及他們的評定等

第，結(jié)果整理如下：

學(xué)300300301301302302304304306307

號3826482885

等

ACBCDBABBA

第

學(xué)307308309310311311312313314315

號9814682644

等

BBBCACBAAB

第

學(xué)315316317318319319320320321322

號6328391809

等

CABBABCCBB

第

注：等第A,B,C,D分別代表優(yōu)秀、良好、合格、不合格.

（1）請在下面給出的圖中畫出這30名學(xué)生綜合素質(zhì)評定等第的

頻數(shù)條形統(tǒng)計圖，并計算其中等第達(dá)到良好以上（含良好）的頻率.

（2）已知初三學(xué)生學(xué)號是從3001開始，按由小到大順序排列的

連續(xù)整數(shù)，請你計算這30名學(xué)人數(shù)

生學(xué)號的中位數(shù)，并運(yùn)用中位：：：

12-

數(shù)的知識來估計這次初三學(xué)生

評定等第達(dá)到良好以上（含良：?

2?

好）的人數(shù).奉第

22.（本小題滿分6分）

小晶和小紅玩擲骰子游戲，每人將一個各面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,

6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數(shù)相加，并約定：點數(shù)之和

等于6,小晶贏；點數(shù)之和等于7.小紅贏；點數(shù)之和是其它數(shù)，兩

人不分勝負(fù).問他們兩人誰獲勝的概率大？請你用“畫樹狀圖”或“列

表”的方法加以分析說明.

15.如圖，一個圓形轉(zhuǎn)盤被等分成五個扇形區(qū)域，上面分別標(biāo)有數(shù)字

1、2、3、4、5,轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自

由停止.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記指針指向匚

標(biāo)有偶數(shù)所在區(qū)域的概率為P（偶數(shù)），指針指向標(biāo)有奇數(shù)V/\

所在區(qū)域的概率為P（奇數(shù)），則P（偶數(shù)）P（奇°

（絡(luò)

數(shù)）（填“＞，，”＜，，或"=，，）.

21.（本題滿分8分）一家醫(yī)院某天出生了3個嬰兒，假設(shè)生男生女

的機(jī)會相同，那么這3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰的概率是

多少？

4.（3分）（2016?無錫）初三（1）班12名同學(xué)練習(xí)定點投籃，每人

各投10次，進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計如下：

進(jìn)球數(shù)（個）123457

人數(shù)（人）114231

這12名同學(xué)進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)是（）

A.3.75B.3C.3.5D.7

24.（8分）（2016?無錫）甲、乙兩隊進(jìn)行打乒乓球團(tuán)體賽，比賽規(guī)

則規(guī)定：兩隊之間進(jìn)行3局比賽，3局比賽必須全部打完，只要贏滿

2局的隊為獲勝隊，假如甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機(jī)會相同，

且甲隊已經(jīng)贏得了第1局比賽，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

相似（1）——實際問題

例1（05年山東濰坊）某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有8C,。三個食品

加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個

頂點上，它們之間有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米，

AE=15OO米.自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道4V,6C兩廠之

間的公路及自來水管道交于E處，￡C=5OO米.若修建自來水主管道

到各工廠的自來水管道的費(fèi)用由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價800元.

（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管

道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖形中畫出；

（2）求出各廠所修建自來水管道的最低造價各是多少元？

分析：要使修建自來水管道的造價最低，則每個廠鋪設(shè)的管道應(yīng)

最短，根據(jù)垂線段最短，可知三個廠家應(yīng)分別沿垂直于AN的方向鋪

設(shè).要計算各廠所修建自來水管道的最低造價，可以分別求出鋪設(shè)管

道的長度.

例2（05年佛山）如圖2,在水平的桌面上兩個“E”，當(dāng)點心P2,O

在一直線上時，在點。處用①號“E”測得的視力及用②號“E”測得

的視力相同.

（1）圖中4%/p4滿足怎樣的關(guān)系式?

（2）若偽=3.2cm,b2=2cm,①號“E”的測試距離4=8m,要使

測得的視力相同，則②號“E”的測試距離4應(yīng)為多少？

23.陽光明？1一棵樹的高度（這

棵樹底部同桌面」■靜耳；測量工具:皮尺，

D\L）2^---------/2------->

標(biāo)桿，一副圖2’則量工具中選出所

需工具，設(shè)計一種測量方案.

（1）所需的測量工具是：;

（2）請在下圖中畫出測量示意圖；

（3）設(shè)樹高AB的長度為x,請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出

X.

24.問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻

在陽光下對校園中一些物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的

一些信息：

甲組:如圖1,測得一根直立于平地,長為80cm的竹竿的影長為60cm.

乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗

細(xì)忽略不計）的高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求：

（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；

（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH及。。相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組

得到的信息，求景燈燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長

等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）

22.如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的

底部（0點）20米的A點，沿0A所在的直線行走14米到B點時，身

影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？

25.陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖

所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m,窗口高AB=L8m,求

窗口底邊離地面的高BC.

26.如圖，李華晚上在路燈下散步.已知李華的身高AB=h,燈柱的

高0P=0'P'=1,兩燈柱之間的距離00,=m.

（1）若李華距燈柱0P的水平距離0A=a,求他影子AC的長；

（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和

（DA+AC）是否是定值請說明理由；

（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以vi勻速行走，試

求他影子的頂端在地面上移動的速度V2.

相似(2)——動點及證明題

2.如圖，梯形ABCD中，AB〃CD,點F在BC上，連DF及AB的延長

線交于點G.

(1)求證：△CDFs/XBGF；

(2)當(dāng)點F是BC的中點時，過F作EF〃CD交AD于點E,若AB=6cm,

EF=4cm,求CD的長.

5.已知：如圖①所示，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=

ZDAE,且點B,A,D在一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,

CD的中點.

(1)求證：①BE=CD；②4AMN是等腰三角形；

(2)在圖①的基礎(chǔ)上，將4ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,其

他條件不變，得到圖②所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論

是否仍然成立；

(3)在(2)的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P.求

證：△PBDSAAMN.

（1）填空：ZABC=°,BC=；

（2）判斷AABC及△口￡（：是否相似，并證明你的結(jié)論.

8.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻,動點M

從A點出發(fā)沿AB方向以lcm/s的速度向B點勻速運(yùn)動；同時，動點

N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運(yùn)動，問：

（1）經(jīng)過多少時間，AAMN的面積等于矩形ABCD面積的工？

9

（2）是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形及4ACD相似？

若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.

9.如圖，在梯形ABCD中，若AB〃DC,AD=BC,對角線BD、AC把梯

形分成了四個小三角形.

（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并

求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等

看成相似的特例）

（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明.

1。如圖AABC中，D為AC上一點，CD=2DA,NBAC=45°,ZBDC=60°,

CELBD于E,連接AE.

（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明;

(2)圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理

由；

(3)求aBEC及aBEA的面積之比.

11.如圖，在AABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上的任意一點，過點

M分別作AB、AC的平行線交AC于P,交AB于Q.

(1)求四邊形AQMP的周長；

(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明)；

(3)M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論.

12.已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC,M是CD的

中點，試說明：△ADMS/\MCP.

13.如圖,已知梯形ABCD中,AD〃BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.

(1)求梯形ABCD的面積S；

(2)動點P從點B出發(fā)，以Icm/s的速度，沿8=人今。今(3方向，向

點C運(yùn)動；動點Q從點C出發(fā)，以lcm/s的速度，沿CoDoA方向，

向點A運(yùn)動，過點Q作QEJ_BC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)其

中一點到達(dá)目的地時整個運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為t秒.問：

①當(dāng)點P在BoA上運(yùn)動時，是否存在這樣的t,使得直線PQ將梯形

ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

②在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、A、D為頂點的三角

形及4CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值;若不存在，

請說明理由；

③在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點的三角

形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件

的t的值；若不存在，請說明理由.

14.已知矩形ABCD,長BC=12cm,寬AB=8cm,P、Q分別是AB、BC±

運(yùn)動的兩點.若P自點A出發(fā)，以lcm/s的速度沿AB方向運(yùn)動，同

時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動，問經(jīng)過幾秒，以P、

B、Q為頂點的三角形及ABDC相似？

15.如圖，在AABC中，AB=10cm,BC=20cm,點P從點A開始沿AB

邊向B點以2cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s

的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，APEQ

及AABC相似.

16.如圖，ZACB=ZADC=90°,AC=&,AD=2.問當(dāng)AB的長為多少時,

這兩個直角三角形相似.

17.已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能

否在邊AB上找一點N（不含A、B）,使得ACDM及AMAN相似？若能，

請給出證明，若不能，請說明理由.

19.如圖所示，梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°，AB=7,AD=2,BC=3,

試在腰AB上確定點P的位置，使得以P,A,D為頂點的三角形‘以

P,B,C為頂點的三角形相似.

你丫就是不會做

20.ZXABC和aDEF是兩個等腰直角三角形，

的頂點E位于邊BC的中點上.

(1)如圖1,設(shè)DE及AB交于點M,EF及AC交于點N,求證：

^△CNE；

(2)如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE及BA的延長線交于點M,

EF及AC交于點N,于是，除(1)中的一對相似三角形外，能否再找

出一對相似三角形并證明你的結(jié)論.

21.如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,點P沿AB邊從點A

開始向B以2cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向點A以lcm/s

的速度移如果P、Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間，那

么當(dāng)t為何值時;Q、A、P為頂點的三角形及AABC相似.

相似別看你家嘀哥琴真題

28.(10分)(2014?無錫)如圖1,已知點A(2,0),B(0,4),ZAOB

的平分線交AB于C,一動點P從。點出發(fā)，以每秒2個單位長度的

速度，沿y軸向點B作勻速運(yùn)動，過點P且平行于AB的直線交x軸

于Q,作P、Q關(guān)于直線0C的對稱點M、N.設(shè)P運(yùn)動的時間為t(0

<t<2)秒.

(1)求C點的坐標(biāo)，并直接寫出點M、N的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表

示)；

(2)設(shè)△MNC及AOAB重疊部分的面積為S.

①試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②在圖2的直角坐標(biāo)系中，畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象，并回答：S是

否有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請說明理由.

28.(本題滿分10分)如圖，C為/力/的邊小上一點，3=6,N

為邊勿上異于點。的一動點，〃是線段沖上一點，過點〃分別

作園〃》交加于點0,PM〃0B交(M于點M.

(1)若/月5=60°,0M=4,0Q=\,求證：CNV0B.

(2)當(dāng)點兒在邊加上運(yùn)動時，四邊形勿附始終保持為菱形.

①問：奈奈的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；

如果不變，請說明理由.

s

②設(shè)菱形切附的面積為S,△及%的面積為必求？的取值范

32

圍.

B

AB1C1D

(1)若m=3,試求四邊形CCBB面積S的最大值;

(2)若點&恰好落在y軸上，試求工的值.

ID

25.(本題滿分8分)如圖，已知函數(shù)產(chǎn)工(x>0)的圖像經(jīng)過點4

X

夕，點夕的坐標(biāo)為(2,2).過點4作/此x軸，垂足為C,過點夕

作劭，y軸，垂足為〃/C及劭交于點足一次函數(shù)y=ax+5的圖

像經(jīng)過點4、D,及x軸的負(fù)半軸交于點反

(1)若/作3勿，求a、8的值；

2

(2)若BC〃AE,求夕C的長.

28.(本題滿分9分)劉衛(wèi)同學(xué)在一

次課外活動中，用硬紙片做了

兩個直角三角形，見圖①、

②.圖①中，ZB=90°,Z

A=30°,BC=6cm；圖②中，Z

D=90°,ZE=45°,DE=4cm.圖

③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗:他將ADEF的直角邊DE及4ABC

的斜邊AC重合在一起，并將ADEF沿AC方向移動.在移動過程

中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D及點A重合）.

（1）在ADEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點

間的距離逐漸—.

（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當(dāng)aDEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C

的連線及AB平行？

問題②：當(dāng)4DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線

段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在4DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得N

FCD=15°?如果存在，

求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

27.（9分）如圖①,IPA.PB、PC,在△⑸反

APBC和叢PAC中，項Klk用形雙a1相似，那么就稱P

為△力回的自相似點.

⑴如圖②，已知上△/夕。中，//廬90。，ZACB>ZA,CD

是初上的中線，過點夕作夕EL",垂足為反試說明￡是△然C

的自相似點.

⑵在△力夕。中，/AV/BV/C.

①如圖③，利用尺規(guī)作出△/回的自相似點P（寫出作法并保

留作圖痕跡）；

②若△力夕C的內(nèi)心〃是該三角形的自相似點，求該三角形三個

內(nèi)角的度數(shù).

（第27題）

28.（8分）如圖，正方形ABCD的邊長是2,M是AD的中點，點E從

點A出發(fā)，沿AB運(yùn)動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F,

過M作EF的垂線交射線BC于點G,連結(jié)EG、FG。

（1）設(shè)AE=x時，4EGF的面積為力求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運(yùn)動路線

（第28盤）

的長。

6.如圖，夜晚，小亮從點A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點B,他

的影長y隨他及點A之間的距離x的變化而變化，那么表示y及x之間

的函數(shù)關(guān)系的圖像大致為（）

12.（2分）（2015?鎮(zhèn)江）如圖，AABC和aDBC是兩個具有公共邊的

全等三角形，AB=AC=3cm.BC=2cm,將ADBC沿射線BC平移一定的距

離得到△DBG,連接AG,BDi.如果四邊形ABDC是矩形,那么平移

的距離為cm.

17.（3分）（2015?鎮(zhèn)江）如圖，坐標(biāo)原點0為矩形ABCD的對稱中心，

頂點A的坐標(biāo)為（1,t）,AB〃x軸，矩形A'B'C'D’及矩形ABCD

是位似圖形，點0為位似中心，點A，,B，分別是點A,B的對應(yīng)點，

A'B'=憶已知關(guān)于x,y的二元一次方程，1tm+k3"1/，n是實數(shù)）

AB13x+y=4

無解，在以m,n為坐標(biāo)（記為（m,n）的所有的點中，若有且只有

一個點落在矩形A，B，C'”的邊上，則k?t的值等于（）

B.1C.WD.2

A避

1.一元二次方程的定義及一般形式:

（1）等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的

最高次數(shù)式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式：加+法+0=0(分0)。其中a為二次

項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。

注意：三個要點，①只含有一個未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)是

2；③是整式方程。

2.一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：

形如(x+a)2=貼>0)的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平

方得x+a=A/F或者x+a=-揚(yáng)，x=-a±sfba

注意：若b<0,方程無解

(2)因式分解法：

一般步驟如下：

①將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0；

②將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；

③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解。

(3)配方法:

用配方法解一元二次方程以2+法+C=0(。w0)的一般步驟

①二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；

②移項：使方程左邊為二次項及一次項，右邊為常數(shù)項；

③配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為

(x+ni)2=n(n>G)的形式；

④用直接開平方法解變形后的方程。

注意：當(dāng)〃<0時，方程無解

(4)公式法：

一*兀二次方程ax?+6x+c=0(a。0)根的判別式：A=Z?2-4ac

A〉0o方程有兩個不相等的實根：x=l士八2二%4acN0)o

2a

f(x)的圖像及X軸有兩個交點

A=0o方程有兩個相等的實根of(x)的圖像及x軸有一個交點

A<0o方程無實根o于(x)的圖像及％軸沒有交點

3.韋達(dá)定理(根及系數(shù)關(guān)系)

我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0之后，設(shè)它的兩個根是

再和%2，則不和馬及方程的系數(shù)a，b,c之間有如下關(guān)系：

1、下列方程中，是一元二次方程的是：()

A、x2+3x+y=0；B、x+y+l=O；

2x~+1x+191

X2+-+5=0

C、3=??；D、x

2、關(guān)于x的方程（4+a—2）%2+ax+b=0是一元二次方程的條件是（）

A、aWO；B、aW—2；

C、aW—2且aWl；D、aWl

3、一元二次方程必一3x=4的一般形式是,一

次項系數(shù)為。

4、方程/=225的根是o

方程3/—5x=0的根是o

（x2—24x+）=（X—）2o

5、一元二次方程ax2+bx+c-0（aWO）有一個根為1,則a+b

+c-o

關(guān)于X的一元二次方程m/—2x+1=0有兩個相等實數(shù)根，則

m=o

9、已知七，馬是方程2必+3x—4=0的兩個根，那么花+%2

_,/X%2_o

10、若三角形其中一邊為5cm,另兩邊長是--7x+12=。兩根，則三

角形面積為0

n、用適當(dāng)?shù)姆椒ń酉铝蟹匠獭?/p>

(1)、(x+3)(x—1)=5(2)、(3x—2)2=(2x—3)

(2x-l)2=3(2x+1)(4)、3x2-10x+6=0

12、若兩個連續(xù)偶數(shù)的積是288,求這兩個偶數(shù)。

從一塊長80cll1,寬60cm的長方形鐵片中間截去一個小長方形，使剩

下的長方形四周寬度一樣，并且小長方形的面積是原來鐵片面積的一

半，求這個寬度？

14、已知關(guān)于x的方程2-+5》+。-3=°的一個根是—4,求方程的另

一個根和P的值.

1.一元二次方程(l+3x)(x-3)=2/+l化為一般形式

為：，二次項系數(shù)為：,一次項系數(shù)

為：，常數(shù)項為：O

2.關(guān)于X的方程⑴-l)x2+(m+l)x+3m+2-0,當(dāng)m時為一■兀一1次

方程；當(dāng)機(jī)時為一元二次方程。

3.若a是方程——x-2=0的一個根，則代數(shù)式a=

4.+3x+=(x+尸；x~~+2=(X)-o

5.已知方程x2+kx+3=0的一個根是-1,則卜=,另一根

為_____

6.若方程/+px+q=0的兩個根是-2和3,則p,q的值分別

為o

7.若代數(shù)式4——2X-5及2/+1的值互為相反數(shù)，則x的值

是O

8.方程9/=4及3/=々的解相同，貝o

9.當(dāng)/時，關(guān)于x的方程必一3%+-0可用公式法求解。

10.若實數(shù)a/滿足=o,貝|]3=____。

b

11.若（Q+Z?）（Q+/?+2）=8,貝Ua+b=o

12.已知2/+3x+l的值是10,則代數(shù)式4-+6x+l的值是o

13.若方程/+8x-4=0的兩根為七、4則,+‘二

/X2

14.若〃z是關(guān)于x的一元二次方程必+“％+m=0的根，且加W0,則

“7+"的值為______________________

15.關(guān)于X的一元二次方程/+左=0有實數(shù)根，則K的取值范圍為

-、選擇（每小題3分，共15分）

1.要使分式二一5-：+4的值為0,則x應(yīng)該等于（）

x-4

(A)4或1(B)4(C)1(D)

-4或-1

2.關(guān)于x的一元二次方程必+招+機(jī)=。的兩根中只有一個等于0,

則下列條件正確的是()

(A)m=Q,n=O(B)m=O,n^Q(C)m^Q,n—O(D)

加w0,〃w0

3.下列方程中，無論。取何值，總是關(guān)于的一元二次方程的是()

(A)ax2+bx+c=O(B)ax2+1=x2-x

(C)(a2+l)x2-(?2-l)x=0(D)%2=-^—-a=0

x+3

4.若方程QX?+fcr+c=0(〃w0)中，。也c滿足a+b+c=0和Q—b+c=0，

則方程的根是()

(A)L0(01,-1(D)

無法確定

5.方程/=o的解的個數(shù)為()

(A)0(B)l(02(D)

1或2

1.選用合適的方法解下列方程

(1)(x+4)2=5(x+4)(2)

(x+1)2=4x

(3)(x+3)2=(1—2x)

2x2—10x=3

(1)x2+2ax+a2=1

x+px+q=Q

二解答（共25分）

1.一個一元二次方程，其兩根之和是5,兩根之積是T4,求出

這兩個根。（5分）

已知等腰三角形底邊長為8,腰長是方程必-9x+20=0的一個根，求

這個三角形的面積。（5分）

2,已知一'兀二次方程（m-1）/+++3祖-4=0有一'個根為零,

求加的值。（7分）

3.如圖，在正方形ABCD中,AB是4cm,ABEC的面積是

△DEF面積的4倍，則DE的長是多少？（8分）

1、若方程（aT）x“*+5x=4是一元二次方程，則a=

2、已知方程3x2-9x+m=0的一個根是1,則m=

3、方程x（x-3）=3（3-x）的根是

4、若a-b+c=O則方程a%2+bx+c=0必有一個根是

5、若a是方程--x-2=0的一個根，則代數(shù)式標(biāo)-a=

我及肥豬王孰美

6、若方程％2+8x-4=0的兩根為元1、%則=

%!X2

7、一個三角形的兩邊長為2和4,第三邊長是方程2x2-10x+12=0的

解，則三角形的周長為

8、已知/+3X+5=9則3/+9x-2=

9、若一元二次方程3/-2x=0的兩根是修、馬那么看?％2二

10、兩個連續(xù)的正偶數(shù)的平方差為36,則兩個數(shù)為

11、已知a、b滿足a+b=5且ab=6以a、b為根的一元二次方程為_

12、一元二次方程5--7x+5=0的根的情況

13、已知/+儼=25x+y=7且x>y則x-y=

14,若兩數(shù)和為7,積為12,則這兩個數(shù)是o

15、若關(guān)于x的方程/+依+6=0的根是整數(shù)，則K的值可以是

（寫出一個）

二選擇題（每小題3分，共12分）

1、若%］、/是一兀二次方程2--3x+l=0的根,則）

A：-B：-C：—D：7

444

2、下列方程不是一元二次方程的是（）

A:V3x2+2x+l=0B:0.lx2-0.5x+l.8=0

D:x2+x~l=x2

3、一個多邊形有9條對角線，則這個多邊形有條（）

A:6條B:7條C:8條D:9條

4、方程x(xT)=x的根是()

A:x=2C:x1=-2,x2=0

B:x=-2D:x=2,x2=0

六.（7分）在AABC中，AB=AC=8cm,ZA=36°,BD平分NABC交AC

于點D,求AD、CD的長。

七.（7分）閱讀下面的例題：解方程/一區(qū)一2=0

解：當(dāng)x20時，原方程化為x?-x-2=0,解得：Xi=2,X2=-l（不

合題意，舍去）

當(dāng)x<0時，原方程化為x?+x-2=0,解得：XFI,（不合題意，

舍去）x2=-2.二原方程的根是Xi=2,x2=-2

請參照例題解方程x2-|x-l|-l=0

有一根直尺的短邊長2cm,長邊長10cm,還有一塊銳角為45°的

直角三角形紙板，它的斜邊長12cm..如圖12,將直尺的短邊DE放置

及直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D及點A重合.將直尺沿AB

方向平移（如圖13）,設(shè)平移的長度為xcm（OWxWlO）,直尺和三角形

紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm2.

⑴當(dāng)x=0時（如圖12）,S=____________；當(dāng)x=10時，H

S=-------------./

A

（2）當(dāng)0<xW4時（如圖13）,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式小口，囪

S=；

（3）當(dāng)4Vx<6時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，S=

（4）當(dāng)6<xW10時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，S=

（同學(xué)可在圖14、圖15中畫草圖）.

（5）求出當(dāng)x為何值時，陰影部分S的面積為Hcm??

不妨用直尺和

二面術(shù)行/士斤一

A

囪

L一元二次方程（1—3分（田3）=2*+1化為一般形式為:,||

二次項系數(shù)為:，一次項系數(shù)為:，常數(shù)項為:-

A/閔D

2.若m是方程x?+x—1=0的一個根，試求代數(shù)式行+21112+2013的

值為。

3.方程?+2）%同+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m

的值為。

4.關(guān)于x的一元二次方程（。-29+x+a--4=0的一個根為0,

則a的值為□

5.若代數(shù)式4——2%-5及2/+1的值互為相反數(shù)，則x的值

是O

6.已知2y2+y—3的值為2,貝IJ4/+2y+1的值為.0

7.若方程（加-1）/+而?％=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的

取值范圍是o

8.已知關(guān)于x的一元二次方程a/+云+。=0（。，0）的系數(shù)滿足

a+c=b,則此方程必有一根為o

9.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b-1-0有兩個相等的實數(shù)

根，則b的值是一。

10.設(shè)X1,X2是方程x2-x-2013=0的兩實數(shù)根，貝h；+2014x2-2013

11.已知X=-2是方程x2+mx-6=0的一個根，則方程的另一個根

是—O

12.若|b-11+仃7=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個實數(shù)

根，則k的取值范圍是O

13.設(shè)m、n是一元二次方程*+3才一7=0的兩個根，則

+7?=。

14.一元二次方程(a+DxZ-ax+a?-1=0的一個根為0,則a=.

15.若關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，則

a=o

16.關(guān)于x的兩個方程x2-x-2=0及」有一個解相同，則

x+1x+a

a=o

17.已知關(guān)于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,Xi、x?是此方程的

兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①X1WX2；②XiX2<ab；③

2222

X1+X2<a+b.則正確結(jié)論的序號是—?(填上你認(rèn)為正確結(jié)論

的所有序號)

18.a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項，且滿足而I

+(b-2)2+1a+b+c|=0,滿足條件的一元二次方程

是O

19.巳知a、b是一元二次方程x2-2x-l=0的兩個實數(shù)根，則代

數(shù)式(a—b)(a+b—2)+ab的值等于.

20.已知關(guān)于x的方程*+(24+1)廣好一2=0的兩實根的平方和

等于11,則A的值為—.

X-3

21.已知分式丁7------，當(dāng)尸2時，分式無意義，則a=_;當(dāng)

x-5x+a

a<6時，使分式無意義的x的值共有個.

22.設(shè)xi、X2是一元二次方程X2+5X-3=0的兩個實根，

2xi(x介6x2-3)+a=4，貝1a=。

23.方程(1999x)2—1998x2000x—1=0的較大根為r,方程

2007/一2008%+1=0的較小根為s,貝ijs-r的值為。

24.若2x+5y-3=0,媯4*?32,=。

25.已知。泊是方程——4%+m=0的兩個根，b,c是方程

丁―8y+5機(jī)=0的兩個根，則m的值為。

25.下列方程中有實數(shù)根的是()

(A)/+2x+3=0.(B)/+l=0.(C)/+3x+l=0.(D)^=—

x—1x—1

26.已知勿，〃是關(guān)于x的方程(4+1)*-矛+1=0的兩個實數(shù)根，且

滿足A+l=(加1)5+1),則實數(shù)4的值是.

27.已知關(guān)于x的一元二次方程⑴-2>/+(2加+l)x+l=0有兩個不相

等的實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m>—B.m>—

44

C."，〉3且m。2D.—

44

第1題.（2007甘肅蘭州課改，4分）下列方程中是一元二次方程

的是（）

A.2x+l=0B.V+x=iC.d+i=oD.-2=1

X+x

第2題.（2007甘肅白銀3市非課改，4分）已知x=—1是方

程/+3+1=0的一■個根，則爐.

第3題.（2007海南課改，3分）已知關(guān)于x的方程/+3mx+*=0的

一"個根是x=l,那么加=.

第4題.（2007黑龍江哈爾濱課改，3分）下列說法中，正確的說

法有（）

①對角線互相平分且相等的四邊形是菱形；

②一元二次方程％2一3%-4=0的根是占=4,%=T；

③依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形；

④一元一次不等式2x+5<H的正整數(shù)解有3個；

⑤在數(shù)據(jù)1,3,3,0,2中，眾數(shù)是3,中位數(shù)是3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

第5題.（2007湖北武漢課改，3分）如果2是一元二次方程V=c

的一個根，那么常數(shù)C是（）

A.2B.-2C.4D.-4

第6題.（2007湖北襄樊非課改，3分）已知關(guān)于x的方程3x+2a=2

的解是a-1,則。的值為（）

A1B.-C.-D.-1

55

第7題.（2007湖南株洲課改，6分）已知x=l是一元二次方程

2_72

ax。+辰_40=0的——個角軋且a/Z?,求9----的值.

2a-2b

第8題.（2007山西課改2分）若關(guān)于x的方程%2+2%+左=0的一個根

是0,則另一個根是.

8.某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共

1000萬元，如果平均每月增長率為x,則由題意列方程應(yīng)為（）

A.200（l+x）2=1000B.200+200X2x=1000

C.200+200X3x=1000D.200[l+（l+x）+（l+x）2]=1000

16.某種型號的微機(jī),原售價7200元/臺，經(jīng)連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)售價

為3528元/臺，則平均每次降價的百分率為.

20.某電視機(jī)廠計劃用兩年的時間把某種型號的電視機(jī)的成本降低

36%,若每年下降的百分?jǐn)?shù)相同，求這個百分?jǐn)?shù)

21.某商場今年1月份銷售額為100萬元,2月份銷售額下降了10%,

該商場馬上采取措施,改進(jìn)經(jīng)營管理，使月銷售額大幅上升,4月份的

銷售額達(dá)到129.6萬元,求3,4月份平均每月銷售額增長的百分率.

24.如圖所示，在寬為20m,長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的

三條道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊試驗田，要使試

驗田的面積為570nl2,道路應(yīng)為多寬？

25.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40

元，為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)?/p>

降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可

多售出2件。求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)

降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？

7、某商品的進(jìn)價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣

出210件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上

漲1元，則每月少賣1件；如果售價超過80元后，若再漲價，則每

漲1元每月少賣3件，設(shè)每件商品的售價為x元，每月的銷售量為y

件.

（1）求y及x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)每月的銷售利潤為W,請寫出W及x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大

的月利潤是多少元？

8、有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天.如果放

養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去.假設(shè)

放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購

這種活蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，

此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各

種費(fèi)用為400元，且平均每天還有10kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天

全部銷售出，售價都是每千克20元.

⑴設(shè)x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式；

⑵如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000kg蟹的銷售總額

為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

⑶該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=Q—收

購總額）？

16、為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太

陽能路燈.已知太陽能路燈售價為5000元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)

品.甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；

若一次購買100個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10

元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個.乙店一律按原價的

80%銷售.現(xiàn)購買太陽能路燈x個，如果全部在甲商家購買，則所需

金額為r元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為丫2元.

（1）分別求出力、丫2及x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個太陽能路燈?

18、一家計算機(jī)專買店A型計算器每只進(jìn)價12元，售價20元，多買

優(yōu)惠：凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每

只就降低0