高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(第4講)函數(shù)的概念與表示（通用）

1、題目 第二章函數(shù)函數(shù)的概念與表示高考要求 1了解映射的概念,在此基礎(chǔ)上加深對(duì)函數(shù)概念的理解；2能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)；3理解分段函數(shù)的意義通過(guò)對(duì)分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)4 克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問(wèn)題的指導(dǎo)5 函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部?jī)?nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會(huì)背誦定義，會(huì)做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對(duì)確定函數(shù)三要素的類

2、型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進(jìn)一步為綜合運(yùn)用打好基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是求得對(duì)這些問(wèn)題的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，而不是急于做過(guò)難的綜合題知識(shí)點(diǎn)歸納 函數(shù)是一種特殊的映射,而映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)；函數(shù)的三要素中對(duì)應(yīng)法則是核心，定義域是靈魂函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問(wèn)題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問(wèn)題中正確運(yùn)用1函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f

3、（x），xA，其中x叫做自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|xA叫做函數(shù)的值域2兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)3映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A

4、到集合B的映射，記作f:AB由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一個(gè)元素都有象;(2)B中每一個(gè)元素不一定都有原象，不一定只一個(gè)原象；(3)A中每一個(gè)元素的象唯一5分段函數(shù)：（舉一例）6復(fù)合函數(shù)：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域題型講解 例1設(shè)集合，如果從到的映射滿足條件：對(duì)中的每個(gè)元素與它在中的象的和都為奇數(shù)，則映射的個(gè)數(shù)是（ ）A8個(gè) B12個(gè) C16個(gè) D18個(gè)解：為奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)、時(shí)，它們?cè)谥械南笾荒転榕紨?shù)

5、、或，由分步計(jì)數(shù)原理和對(duì)應(yīng)方法有種；而當(dāng)時(shí)，它在中的象為奇數(shù)或，共有種對(duì)應(yīng)方法故映射的個(gè)數(shù)是故選D例2 集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是_，從B到A的映射個(gè)數(shù)是_解：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法（可對(duì)應(yīng)5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法由乘法原理，不同的映射種數(shù)N1339反之從B到A，道理相同，有N22228種不同映射答案：9 8例3 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8從集合A到B的映射中滿足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A27 B9 C21 D12解：（1）當(dāng)全是等號(hào)時(shí)，（即與B中的一個(gè)元素

6、對(duì)應(yīng)），則f有C個(gè); （2）有一個(gè)不等號(hào)時(shí)的映射（即與B中的兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)），f有CC=12個(gè); （3）有二個(gè)不等號(hào)的映射，f有CC=6個(gè)所以共有3+12+6=21個(gè)，答案選C另一種解釋法：將元素1，2，3，4，5按照從小到大的順序串成一串之間有4個(gè)節(jié)點(diǎn)若只有一個(gè)象就讓這一串整體對(duì)應(yīng)有C3種方法；若恰有兩個(gè)象就將這一串分為兩段，并按照大小順序?qū)?yīng)，有CC12種方法；若恰有三個(gè)象就將這一串分為三段，并按照大小順序?qū)?yīng)，有CC6種方法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有3+12+6=21個(gè)映射故選C例4 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=

7、，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1剖析：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），而g（x）=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)（3）由于當(dāng)nN*時(shí)，2n1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則

8、都相同，所以它們是同一函數(shù)（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閤|x0，而g（x）=的定義域?yàn)閤|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)評(píng)述：（1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù)（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)例5某種細(xì)胞分裂時(shí)，由

9、1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，一直分裂下去（） 用列表表示，1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)；（）用圖像表示1個(gè)細(xì)胞分裂的次數(shù)n(nN)與得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系；解：（） 利用正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可以算出1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)，列表如下分裂次數(shù)12345678細(xì)胞個(gè)數(shù)248163264128256（）細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式是y2n，nN變式：一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存KB，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的倍，那么開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò) _ 分鐘，該病毒占據(jù)MB內(nèi)存（MB=KB）例6試構(gòu)

10、造一個(gè)函數(shù)，使得對(duì)一切有恒成立，但是既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，則可以是 解：的圖像部分關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，部分關(guān)于軸對(duì)稱，如 點(diǎn)評(píng)本題是一道開(kāi)放題，你能給出其它的答案嗎？請(qǐng)不妨一試?yán)?某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率與日產(chǎn)量（件）之間大體滿足關(guān)系： （其中c為小于96的正常數(shù)）注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（1）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額（元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

11、解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，每天的盈利額;當(dāng)時(shí)，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件故，每天的盈利額綜上，日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）的函數(shù)關(guān)系為：（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0當(dāng)時(shí)，令，則故 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以（i）當(dāng)時(shí)，（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）（ii） 當(dāng)時(shí)，由得，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增（證明過(guò)程略）所以，所以，即（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得）綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若，則當(dāng)日產(chǎn)量為時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)點(diǎn)評(píng)分段函數(shù)是歷年高考的熱門話題，常考常新，值得我們?cè)趶?fù)課時(shí)認(rèn)真對(duì)待例8 矩形的長(zhǎng)，寬，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上，且，（1）將的面積表示為的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）

12、求的最大值解：（1），函數(shù)的解析式：；（2）在上單調(diào)遞增，即的最大值為例9 函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有成立，且，（1）求的值；（2）對(duì)任意的，都有成立時(shí)，求的取值范圍解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上單調(diào)遞增，要使任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，,顯然不成立當(dāng)時(shí)，解得的取值范圍是學(xué)生練習(xí) 題組一：1設(shè)集合A=R，集合B=正實(shí)數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是Af:xy=|x|Bf:xy=Cf:xy=3xDf:xy=log2（1+|x|）解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+），所以f是xy=3x答案：C2設(shè)M=x|2x2，N=y|0y2，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镸，值域

13、為N，則f（x）的圖象可以是解析：A項(xiàng)定義域?yàn)?，0，D項(xiàng)值域不是0，2，C項(xiàng)對(duì)任一x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，都不符故選B答案：B3已知函數(shù)f（x）=lg，若f（a）=b，則f（a）等于Ab Bb C D 解析：f（a）=lg=lg=f（a）=b答案： B4函數(shù)y=的定義域是A，1）（1，B（，1）（1，）C2，1）（1，2D（2，1）（1，2）解析：x1或1xy=的定義域?yàn)椋?）（1，答案：A5若函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定義域和值域都是0，1，則a等于A B C D2解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是0，1，0x1，則1x+12當(dāng)a1時(shí)，0=loga1loga（

14、x+1）loga2=1，a=2；當(dāng)0a1時(shí)，loga2loga（x+1）loga1=0，與值域是0，1矛盾綜上，a=2答案：D6設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，則在映射f下，象20的原象是A2 B3 C4 D5解析：由2nn20求n，用代入法可知選C答案：C7某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場(chǎng)以來(lái)，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，單價(jià)由原來(lái)的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是A10%B15%C18%D20%解析：設(shè)降價(jià)百分率為x%，2000（1x%）2=1280解得x=20答案：D8設(shè)函數(shù)f（x）=則使得f（x）1的自變量x的取值范圍為A（，

15、20，10B（，20，1C（，21，10D2，01，10解析：f（x）是分段函數(shù)，故f（x）1應(yīng)分段求解當(dāng)x1時(shí)，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1當(dāng)x1時(shí)，f（x）1413x10，1x10綜上所述，x2或0x10答案：A9已知f（x）=則不等式xf（x）+x2的解集是_解析：x0時(shí)，f（x）=1，xf（x）+x2x1，0x1；當(dāng)x0時(shí)，f（x）=0，xf（x）+x2x2，x0綜上x(chóng)1答案：x|x110已知函數(shù)y=logx與y=kx的圖象有公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值等于ABCD解析：由點(diǎn)A在y=logx的圖象上可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=log2=又A（2，）在y=kx圖象上

16、，=k2，k=答案：A11如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)（起點(diǎn)）向A點(diǎn)（終點(diǎn)）移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y=f（x） （1）求ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；（2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值解：（1）這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，12）當(dāng)0x4時(shí)，S=f（x）=4x=2x；當(dāng)4x8時(shí)，S=f（x）=8；當(dāng)8x12時(shí)，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x這個(gè)函數(shù)的解析式為f（x）= （2）其圖形如右， 由圖知，f（x）max=812若f :y=3x+1是從集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一

17、個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B解：f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） aN，方程組（1）無(wú)解解方程組（2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5A=1，2，3，5，B=4，7，10，1613如果函數(shù)f（x）=（x+a）3對(duì)任意xR都有f（1+x）=f（1x），試求f（2）+ f（2）的值解：對(duì)任意xR，總有f（1+x）=f（1x），當(dāng)x=0時(shí)應(yīng)有f（1+0）=f（10），即f（1）=f（1）f（1）=0又f（x）=（x+a）3，f（1）=（1+a）3故有（1+a）30a=1f（

18、x）=（x1）3f（2）+f（2）=（21）3（21）313（3）32614集合M=a，b，c，N=1，0，1，映射f:MN滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:MN的個(gè)數(shù)是多少？解：f（a）N，f（b）N，f（c）N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，有0+0+0=0+1+（1）=0當(dāng)f（a）=f（b）=f（c）=0時(shí)，只有一個(gè)映射；當(dāng)f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，1時(shí)，有CA=6個(gè)映射因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1+6=7題組二：1設(shè)f：AB是從A到B的一個(gè)映射，其中A=B=(x,y)|xR,yR,f：(x,y)(x+y,xy),則A中(1,-2)的象是 ，B中(1,-2)的原象是 2設(shè)集合A=-1，0，