3離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ).ppt

1、第四章 離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ),在連續(xù)系統(tǒng)中引入拉氏變換以后使得求解繁雜的微、積分 問題，變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算。在離散系統(tǒng)中，求解差分方程 時(shí)，引入Z變換后，使得求解差分方程變得十分簡(jiǎn)便。 Z域分析法是分析線性離散系統(tǒng)的重要方法之一。 利用Z域分析法可以方便地分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，穩(wěn) 態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。,一、Z變換,(一)、Z變換的定義 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，連續(xù)時(shí)間函數(shù) 的拉氏變換為 同樣在線性離散系統(tǒng)中，也可以對(duì)采樣信號(hào) 作拉氏變換 采樣信號(hào)的表達(dá)式為： 對(duì)采樣信號(hào)作 拉氏變換，得 式中， 是超越函數(shù)，計(jì)算很不方便，令 ，則有,上式把采樣函數(shù) 變換成 。稱為 的Z變換。 記作 由Z變換的定義得到

2、 由上式可以看出采樣函數(shù) 的Z變換 與采樣函數(shù)在采 樣點(diǎn)的值有關(guān)，所以當(dāng)知道 時(shí)，便可求得時(shí)間序列 或者相反，當(dāng)知道時(shí)間序列 ，K=0,1,2, 時(shí)，便可求得,例：試求單位階躍時(shí)間序列 的Z變換 解：,(二)、Z變換的性質(zhì)和定理,介紹幾種Z變換的性質(zhì)和定理 1、線性性質(zhì) 設(shè) ， ，且a，b為常數(shù)，則有 鑒于這個(gè)性質(zhì)，Z變換是一種線性變換。,2、平移定理 設(shè)kT0時(shí)， ， 滯后定理 代表滯后環(huán)節(jié)，表示把信號(hào)滯后n個(gè)采樣周期，如下 圖所示。當(dāng)n=1時(shí)，,超前定理 代表超前環(huán)節(jié)，表示信號(hào)超前幾個(gè)采樣周期。 在 運(yùn)算中是有用的，就是實(shí)際上是不存在超前環(huán)節(jié)的。 當(dāng)n=1時(shí),3、初值定理 設(shè) 則 4、終值

3、定理 設(shè) 則,二、Z反變換,由 求出相應(yīng)的脈沖序列 或數(shù)值序列 稱為z反 變換。記作 脈沖序列 數(shù)值序列 Z變換是對(duì)采樣序列的變換，所以Z反變換得不到采樣點(diǎn)之 間的函數(shù)值。Z反變換的求法通常有部分分式法，長(zhǎng)除法和留 數(shù)計(jì)算法。,(一)、部分分式法 部分分式法求取Z反變換的過程跟用部分分式法求取拉氏 反變換的過程十分相似。 設(shè)有 展開成,則Z反變換 例：求 的反變換 解：,部分分式法常用的Z變換對(duì)如下表 用部分分式法求Z反變換可以得到脈沖序列或數(shù)值序列的 數(shù)學(xué)解析式,(二)、長(zhǎng)除法 將 用長(zhǎng)除法展開成Z的降冪級(jí)數(shù)，再根據(jù)Z變換的定 義，可以得到 的前若干項(xiàng)。 設(shè) 用長(zhǎng)除法可得： 由Z變換定義：

4、可知,例：求 的Z反變換 解：用長(zhǎng)除法,可得： 則 長(zhǎng)除法只能求得時(shí)間序列或數(shù)值序列的前若干項(xiàng)，得不到 序列 或 的數(shù)學(xué)解析式。,三、差分方程和脈沖傳遞函數(shù),在連續(xù)系統(tǒng)中，描述控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程和傳遞函數(shù)。 在離散系統(tǒng)中，描述控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型則是差分方程和脈沖傳遞函數(shù)。,(一)、差分方程 差分方程是微分方程用于離散系統(tǒng)的一種形式 設(shè)有微分方程 對(duì)于離散系統(tǒng)（采樣周期為T），微分可用差分表示,構(gòu)成差分方程 差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其中 nm,在初始靜止條件下，也可以寫成 其Z變換形式 可以用Z變換求解差分方程，使得差分運(yùn)算變成了代數(shù)運(yùn) 算，大大簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的分析和綜合。 對(duì)差分方程進(jìn)行Z變

5、換，并代入初始條件 求得 的表達(dá)式 做 解的反變換,例：求解差分方程,(二)、脈沖傳遞函數(shù) 1、脈沖傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出離散信號(hào)的Z變換式 和系統(tǒng)輸入離散信號(hào)的Z變換式 之比 2、從差分方程求脈沖傳遞函數(shù)（或從脈沖傳遞函數(shù)求差 分方程）,例 3、從連續(xù)部分的傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù),4、在拉氏變換中，沖擊函數(shù)定義為 t0 t0 沖擊響應(yīng)就是系統(tǒng)傳遞函數(shù) 在Z變換中，脈沖函數(shù)定義為寬度為T，幅值為1的脈沖激勵(lì),脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)傳遞函數(shù),四、離散系統(tǒng)框圖分析和穿的函數(shù)求取,(一)、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) (1)、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 采樣開關(guān)的位置對(duì)離散系統(tǒng)的性能有很大的影響,設(shè)

6、 b和c相同 a.,(2)、并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z變換 分以下三種情況， 都一樣,其中,(3)、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 離散系統(tǒng)通常由連續(xù)環(huán)節(jié)加上同步動(dòng)作的采樣開關(guān)組成,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性,(一)、離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) 離散系統(tǒng)的Z平面和連續(xù)系統(tǒng)S平面對(duì)應(yīng)關(guān)系, 為序列幅值 的包絡(luò)線 S平面中0的右半平面，對(duì)應(yīng)于 部分 即 的 單位圓外 因此線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的主要條件為： 閉環(huán)系統(tǒng)的特征的所有的根（即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所有的極點(diǎn)）都在Z平面的單位圓內(nèi)。單位圓是穩(wěn)定邊界。,也可以用勞斯判據(jù)，在不求出極點(diǎn)的情況下，判斷穩(wěn)定性 用 作ZW變換，得到w域的特征方程 1、特征方程的系數(shù) 的符號(hào)不相同，則系統(tǒng)

7、不 穩(wěn)定 2、勞斯行列表第一列元素均為正，則特征根均在左半平 面，系統(tǒng)穩(wěn)定。,勞斯行列表如下：,例： 開環(huán)傳遞函數(shù) 查表得,設(shè)K=1 T=1 閉環(huán)傳遞函數(shù) Z域特征方程 在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定 或用 代入特征方程，得,建立勞斯行列表： 第一列元素為正，系統(tǒng)穩(wěn)定 若T=1 K=10 系統(tǒng)特征方程為 特征根 系統(tǒng)不穩(wěn)定,令 代入特征方程 系數(shù)符號(hào)不相同，系統(tǒng)不穩(wěn)定 建立勞斯表 可以試求臨界穩(wěn)定值K 系統(tǒng)特征方程 用 代入特征方程，并建立勞斯表,若T=0.5 K的臨界值 特征方程 作 變換,可見： 1、減小系統(tǒng)增益可提高系統(tǒng)穩(wěn)定性 2、提高采樣頻率，也可提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,(二)、離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和特征

8、根關(guān)系 系統(tǒng)發(fā)散 等幅 衰減 為實(shí)數(shù)，為非振蕩序列 為復(fù)數(shù)，為振蕩序列，共軛成對(duì)出現(xiàn),六、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法,(一)、離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程 連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 與線性連續(xù)系統(tǒng)相類似,其中F為nn維矩陣 系統(tǒng)矩陣 G為nm維矩陣 輸入矩陣或驅(qū)動(dòng)矩陣 C為pn維矩陣 輸出矩陣 D為pm維矩陣 直傳矩陣 X為n1狀態(tài)向量，Y為p1輸出向量，U為m1 輸 入向量,(二)、狀態(tài)方程的建立 由Z傳遞函數(shù)求出狀態(tài)方程（直接法） 1、直接法 設(shè)線性離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù) 設(shè),作Z變換,形成狀態(tài)方程：,例： 則：,(三)、狀態(tài)方程的求解 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的Z變換求解 作Z變換,例： 已知： 行列式,(四)、線性離散系統(tǒng)的Z特征方程 特征方程