高二數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性知識精講 蘇教版（通用）

1、高二數(shù)學(xué)函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性知識精講 蘇教版一. 本周教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性二. 教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。三. 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用四. 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的理解。學(xué)習(xí)過程一、知識歸納：1. 求函數(shù)的解析式（1）求函數(shù)解析式的常用方法：換元法（ 注意新元的取值范圍）待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）整體代換（配湊法）構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f（x）為奇函數(shù)且g（x）為偶函數(shù)等）（2）求函數(shù)的解析式應(yīng)指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義。（

2、3）理解軌跡思想在求對稱曲線中的應(yīng)用。2. 求函數(shù)的定義域求用解析式y(tǒng)f（x）表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：若f（x）是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；若f（x）是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集；若f（x）是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；若f（x）是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；若f（x）是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題.3. 求函數(shù)值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函數(shù)的值域；（2）配方法（二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)）；（3）不等式法（利用基本不等式，

3、尤其注意形如型的函數(shù)）（4）函數(shù)的單調(diào)性：特別關(guān)注的圖象及性質(zhì)（5）部分分式法、判別式法（分式函數(shù)）（6）換元法（無理函數(shù)）（7）導(dǎo)數(shù)法（高次函數(shù)）（8）反函數(shù)法（9）數(shù)形結(jié)合法4. 求函數(shù)的單調(diào)性（1）定義法：（2）導(dǎo)數(shù)法： （3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：（4）關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論：兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為_；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是_；奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有_的單調(diào)性； （5）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等（6）應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不

4、等式。5. 函數(shù)的奇偶性奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，比較f（x） 與f（x）的關(guān)系。f（x） f（x）0 f（x） f（x） f（x）為偶函數(shù)；f（x）+f（x）0 f（x） f（x） f（x）為奇函數(shù)。判別方法：定義法，圖象法，復(fù)合函數(shù)法應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。6. 周期性：定義：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+T）f（x），則T為函數(shù)f（x）的周期。其他：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+a）f（xa），則2a為函數(shù)f（x）的周期.應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。二、典型例題分析例1. 若集合Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求從集合A到集

5、合B的映射的個(gè)數(shù)。分析：解決這類問題，關(guān)鍵是要掌握映射的概念：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，對于集合A中的任何一個(gè)元素，按照某種對應(yīng)法則f，若集合B中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，這時(shí)對應(yīng)法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關(guān)鍵的兩個(gè)詞“任何”、“唯一”。對于本例，集合Aa1，a2，a3中的每一個(gè)元素的象都有b1或b2這兩種情形，由乘法原理可知，A到B的映射的個(gè)數(shù)共有N2228個(gè)。例2. 線段|BC|4，BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)的距離之和為6，設(shè)|AM|y，|AB|x，求yf（x）的函數(shù)表達(dá)式及這函數(shù)的定義域。解：1若A、B、C三點(diǎn)不共線，如圖所示，由余弦定理可知，x222+y24ycos

6、AMB （6x）222+y24ycos（180AMB） + x2+（6x）22y2+8 y2x26x+14又 x26x+14（x3）2+5恒正，又三點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形1x52若三點(diǎn)A、B、C共線，由題意可知，x+46x，x1 或4+6xx x5綜上所述： 說明：第一，首先要分析三點(diǎn)A、B、C是否在同一條直線上，因?yàn)橛深}意，A、B、C不一定能構(gòu)成三角形，它們也可在同一條直線上，所以要分兩種情形來討論。第二，實(shí)際問題在求解析式時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域。例3. 設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，yf（x）的圖象是經(jīng)過點(diǎn)（2，0），斜率為1的射線，又在yf（x）的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（

7、0，2），且過點(diǎn)（1，1）的一段拋物線，試寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象。 解：（1）當(dāng)x1時(shí)，設(shè)f（x）x+b射線過點(diǎn)（2，0） 02+b即b2，f（x）x+2 （2）當(dāng)1x1時(shí)，設(shè)f（x）ax2+2 拋物線過點(diǎn)（1，1），1a（1）2+2，即a1f（x）x2+2 （3）當(dāng)x1時(shí)，f（x）x+2綜上可知：f（x）作圖由讀者來完成。例4. 求下列函數(shù)的定義域（1） （2）解：（1）x4或x1且x3，即函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?）（3，1）4，+（2），則 00，b0）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x）2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號成立，于是22，a

8、b2，由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又bN，b1，a1，f（x）x+ （2）設(shè)存在一點(diǎn)（x0，y0）在yf（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點(diǎn)（2x0，y0）也在yf（x）的圖象上，則消去y0得x022x010，x01 yf（x）的圖象上存在兩點(diǎn)（1+，2），（1，2）關(guān)于（1，0）對稱 例10. 已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）在0，+）上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f（cos23）+f（4m2mcos）f（0）對所有0，都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由 解：f（x）是R上的奇函數(shù)，且在0，+）上是增函數(shù)，f（x）是R上的增函數(shù)

9、 于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f（cos23）f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m20 設(shè)tcos，則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）t2mt+2m2（t）2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）在0，1上的最小值為正 當(dāng)0，即m0m1與m042m4+2，421，即m2時(shí)，g（1）m10m1 m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42 另法（僅限當(dāng)m能夠解出的情況）cos2mcos+2m20對于0，恒成立，等價(jià)于m（2cos2）/（2cos） 對于0，恒成立當(dāng)0，時(shí)，（2cos2）/（2cos） 42，m42 例11. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f

10、（x）a的最大值為g（a）。（1）設(shè)t，求t的取值范圍并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；（2）求g（a）；（3）求滿足g（a）g（）的所有實(shí)數(shù)a.解：（1）t要使t有意義，必須有1+x0且1x0，即1x1.t22+22，4，t0 t的取值范圍是，2由得x21m（t）a（t2）tat2+ta， t，2 （2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）at2+ta， t，2的最大值.注意到直線t是拋物線m（t）at2+ta的對稱軸，分下列情況討論.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)ym（t）， t，2的圖像是開口向上的拋物線的一段，由t0知m（t）在，2上單調(diào)遞增，g（a）m（2）a+2.當(dāng)a0時(shí)，m（t）t， t，2， g

11、（a）2. 當(dāng)a時(shí)，g（a）a+2，當(dāng)時(shí)，a，所以，g（a）2.因此當(dāng)a時(shí)，g（a） .當(dāng)a0時(shí)，0，由g（a）g（）知a+2+2解得a1.當(dāng)a0時(shí)，1，因此a1或1，從而g（a）或g（）.要使g（a）g（），必須有a或，即a此時(shí)g（a）g（）.綜上知，滿足g（a）g（）的所有實(shí)數(shù)a為：a或a1.【模擬試題】（一）選擇題1. 設(shè)f（x）是（，+）上的奇函數(shù)，f（x+2）f（x），當(dāng)0x1時(shí)，f（x）x，則f（7 5）等于（ ）A. 0.5B. 0.5C. 1.5D. 1.52. 已知定義域?yàn)椋?，1）的奇函數(shù)yf（x）又是減函數(shù)，且f（a3）+f（9a2）1時(shí)f（x）等于（ ）A. f（x）（

12、x+3）21B. f（x）（x3）21C. f（x）（x3）2+1D. f（x）（x1）215. 函數(shù)的值域是 （ ）A. （，1） B. 1，+C. （0，1）D. 0，16. 的值域是 （ ）A. y2 B. y2 C. yR D. y0（二）填空題7. 若f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)，又f（3）0，則xf（x）0，b0）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x）2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號成立，于是22，ab2，由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又bN，b1，a1，f（x）x+。（2）設(shè)存在一點(diǎn)（x0，y0）在yf（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱點(diǎn)（2x0，y0）也在yf（x）圖象上，則消去y0得x022x010，x01。 yf（x）圖象上存在兩點(diǎn)（1+，2），（1，2）關(guān)于（1，0）對。14. （1）證明：yf（x）是以5為周期的周期函數(shù)，f（4）f（45）f（1），又yf（x）（1x1）是奇函數(shù)，f（1）f（1）f（4），f（1）+f（4）0 （2）解：當(dāng)x1，4時(shí)，由題意，可設(shè)f（x）a（x2）25（a0），由f（1）+f（4）0得a（12）25+a（42）250，解得a2，f（x）2