《勾股定理》典型練習(xí)題

1、勾股定理典型例題分析一、知識(shí)要點(diǎn)：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說(shuō)：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c ，那么 a2 + b2= c2。公式的變形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且滿足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)： 已知的條件：某三角形的三條邊的長(zhǎng)度.滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對(duì)角是直角.如

2、果不滿足條件，就說(shuō)明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2 + b2= c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見(jiàn)勾股數(shù)有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、 最短距離問(wèn)題：主要5、 運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短。 二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長(zhǎng)方形；（3）陰影部分是半圓2. 如圖，以RtABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系3、如圖所示

3、，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31），那么它的斜邊長(zhǎng)是（） A、2n B、n+1 C、n21 D、7、在RtABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能8、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A、24B、36 C、48D、609、 已知x、y為正數(shù)，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形

4、的面積為（ ）A、5B、25 C、7D、1510、 已知在ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，求ABC的周長(zhǎng)。（提示：兩種情況） 考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，是底邊上的高，若，求 AD的長(zhǎng)；ABC的面積考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問(wèn)題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，172、若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（） A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面

5、的三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8，15，17其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4、若三角形的三邊之比為，則這個(gè)三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等邊三角形5、已知a，b，c為ABC三邊，且滿足(a2b2)(a2+b2c2)0，則它的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù), 得到的三角形是( )A 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C. 直角三角形 D.

6、等腰三角形7、若ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足試判斷ABC的形狀。8、ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為 ，此三角形為 。例3：求（1）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是 度。（2）已知三角形三邊的比為1：2，則其最小角為 ?？键c(diǎn)五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯?jiǎn)栴}某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為 考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長(zhǎng)（方程思想）ABC、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他

7、算出來(lái)嗎？ 2、一架長(zhǎng)2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動(dòng) 米3、如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”） 4、在一棵樹(shù)10 m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處；另外一只爬到樹(shù)頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？60120140B60AC第5題圖75、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸

8、（單位：mm）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為 .6、如圖：有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了 米xzx7、如圖18-15所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問(wèn)：登陸點(diǎn)（A處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B處）的直線距離是多少？ 圖18-15考點(diǎn)七：折疊問(wèn)題（較難的一類）1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CE等于（ ）A. B. C. D. 2、如圖所示，已知

9、ABC中，C=90，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的長(zhǎng)3、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。ABCEFD4、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把ABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ABF的面積為30，求折疊的AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AD=9，寬AB=3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)是多少？6、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，將ABC沿AC對(duì)折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說(shuō)明：AF=FC；（2）如

10、果AB=3，BC=4，求AF的長(zhǎng)7、如圖2所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D正好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為_(kāi)8、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_(kāi)9、（難）如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：4：5。 10、如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為（ ）A3.74

11、 B3.75 C3.76 D3.772-511、（稍難）如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD，長(zhǎng)為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí) AP 的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH 始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由.（提示：根據(jù)勾股定理，列出一元二次方程，超初二范圍）12、（難）如圖

12、所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長(zhǎng)。 （提示：連接AD，證AEDCFD, 可得AE=CF=5，AF=BE=12，即可求） 13、（好）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹(shù)問(wèn)題1、 如圖所示，所有的四邊形都是正方

13、形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為 2、（好，稍難）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰RtADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 （ ）n 考點(diǎn)九、圖形問(wèn)題1、如圖1，求該四邊形的面積 2、已知，在ABC中，A = 45，AC = ，AB = +1，則邊BC的長(zhǎng)為 3、（好，稍難）某公司的大門如圖所示,其中四邊形是長(zhǎng)方形,上部是以為直徑的半圓,其中=2.3，=2,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5,寬為1.6,問(wèn)這輛卡車

14、能否通過(guò)公司的大門?并說(shuō)明你的理由. 4、將一根長(zhǎng)24的筷子置于地面直徑為5，高為12的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h，則h的取值范圍 。5、如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處？考點(diǎn)十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求這塊地的面積?？键c(diǎn)十一：與展開(kāi)圖有關(guān)的計(jì)算1、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD的表面上，求從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)

15、C的最短距離2、如圖一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行 cm3、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 3 3 +1考點(diǎn)十二、航海問(wèn)題1、一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)后，它們相距_海里2、（不難，考一元二次方程，超初二范圍）如圖，某貨船以24海里時(shí)

16、的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由。 3、如圖，某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？考點(diǎn)十三、網(wǎng)格問(wèn)題1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A