整式的乘法復習

1、整式的乘法復習新課指南1.知識與技能：(1)掌握同底數冪的乘法；(2)冪的乘方；(3)積的乘方；(4)整式的乘法法則及運算規(guī)律.2.過程與方法：經歷探索同底數冪的乘法公式的過程，在乘法運算的基礎上理解同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的運算公式，從而熟練地掌握和應用整式的乘法.3.情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學習，全面體現轉化思想的應用，也使學生理解到數學知識來源于實際生活的需求，反過來又服務于實際生產、生活的需求.4.重點與難點：重點是同底數冪的乘法及冪的乘方、積的乘方運算.難點是整式的乘法.教材解讀 精華要義數學與生活著名諾貝爾獎獲得者法國科學家居里夫人發(fā)明了“鐳”，據測算：1千克鐳完全蛻

2、變后，放出的熱量相當于3.75105千克煤放出的熱量.估計地殼里含有11010千克鐳，試問這些鐳蛻變后放出的熱量相當于多少千克煤放出的熱量？思考討論 由題意可知，地殼里11010千克鐳完全蛻變后放出的熱量相當于（3.75105）（11010）千克煤放出的熱量，所以，如何計算這個算式呢？由乘法的交換律和結合律可實行如下計算：（3.75105）（11010）=3.751051010=(3.751)(1051010)=3.75(1051010)，那么如何計算1051010呢？知識詳解知識點1 同底數冪的乘法法則aman=am+n(m，n都是正整數).同底數冪相乘，底數不變，指數相加.例如：計算.(1

3、)2324； (2)105102；解：(1)2324=(222)(2222)=2222222=27.(2)105102=(1010101010)(1010)=10101010101010=107.由2324=27，105102=107能夠發(fā)現：2324=23+4，105102=105+2.猜測一下：aman=m+n(m，n為正整數),推導如下：aman=am+n知識點2 冪的乘方(am)n=amn(m，n都是正整數).冪的乘方，底數不變，指數相乘.【說明】 （1）冪的乘方法則是由同底數冪的乘法法則和乘方的意義推導的.（2）(am)n與的a區(qū)別.其中，(am)n表示n個am相乘，而a表示mn個a

4、相乘，例如：(52)3=523=56，5=58.所以，(am)na，要仔細區(qū)別.知識點3 積的乘方(ab)n=anbn(n為正整數).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.探究交流填空，看看運算過程用到哪些運算律？運算結果有什么規(guī)律？(1)(ab)2=(ab)(ab)=( aa)(bb)= a( )b( )(2)(ab)3= = =a( )b( )點撥 由積的乘方法則得知：(1)2 2 (2)(ab)(ab)(ab) ( aaa)(bbb) 3 3【說明】 在使用積的乘方計算時，要注意靈活，如果底數互為倒數時，可適當變形.如：()10210=(2)10=110=1；42(-

5、)5=24(-)5=24(-)4(-)=(-)24(-)=1(-)=-.知識點4 單項式的乘法法則單項式乘法是指單項式乘以單項式.單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.為了防止出現系數與指數的混淆，同底數冪的乘法性質與冪的乘方性質的混淆等錯誤，同學們在初學本節(jié)解題時，應該按法則把計算步驟寫全，逐步實行計算.如x2y4xy2=(4)x2+1y1+2=2x3y3.在很多單項式乘法的題目中，都包含有冪的乘方、積的乘方等，解題時要注意綜合使用所學的知識.【注意】 (1)運算順序是先乘方，后乘法，最后加減.(2)做每一步運算時

6、都要自覺地注意有理有據，也就是避免知識上的混淆及符號等錯誤.知識點5 單項式與多項式相乘的乘法法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.例如：a(m+n+p)=am+an+ap.【說明】 (1)單項式與多項式相乘，其實質就是乘法分配律的應用.(2)在應用乘法分配律時，要注意單項式分別與多項式的每一項相乘.探究交流下列三個計算中，哪個準確？哪個不準確？錯在什么地方？(1)3a(b-c+a)=3ab-c+a(2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x(3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m點撥 (1)(2)不準確，(3)準確.(1)題錯在沒有將

7、單項式分別與多項式的每一項相乘.(2)題錯在沒有將-2x中的負號乘進去.知識點6 多項式相乘的乘法法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.【說明】 多項式相乘的問題是通過把它轉化為單項式與多項式相乘的問題來解決的，滲透了轉化的數學思想.(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.計算時是首先把(a+b)看作一個整體，作為單項式，利用單項式與多項式相乘的乘法法則計算.典例剖析 師生互動基本概念題本節(jié)有關基本概念的題目包括以下幾個方面：(1)同底數冪的乘法；(2)冪的乘方與積的乘方；(3)整式的乘法.例1 計算.(1)1

8、03104；aa3；aa3a5；(m+n)2(m+n)3.(2)(103)5；(b3)4；(-4)3(-)3.(3)(2b)3；(2a3)2；(-a)3；(-3x)4.(分析) 本題主要考查三個公式：aman=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn，其中，m，n均為正整數.解：(1)103104=103+4=107.aa3=a1+3=a4.aa3a5=a1+3+5=a9.(m+n)2(m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5.(2)(103)5=1035=1015.(b3)4=b34=b12.(-4)3(-)3=(-4)(-)3=13=1.(3)(2b)3=23b3=8b3.(2

9、a3)2=22(a3)2=4a6.(-a)3=(-1)3a3=-a3.(-3x)4=(-3)4x4=81x4.小結 在應用這三個公式時要準確，尤其是公式(am)n=amn，不要寫成(am)n=a，這是不正確的.基本知識應用題本節(jié)的基礎知識應用包括：(1)經歷探索整式乘法運算法則的過程；(2)會進行簡單的整式乘法運算.例2 計算.(1)3x2y(-2xy3)； (2)(-5a2b3)(-4b2c).(分析) 單項式乘法，其實質就是同底數冪乘法與乘法交換律和結合律.解：(1)3x2y(-2xy3)=3(-2)(x2x)(yy3)=-6x3y4.(2)(-5a2b3)(-4b2c)=(-5)(-4)

10、a2(b3b2)c=20a2b5c.例3 計算.(1)2a2(3a2-5b)； (2)(-2a2)(3ab2-5ab3).(分析)單項式與多項式相乘，其實質就是乘法分配律的應用.解：(1)2a2(3a2-5b)=2a23a2-2a25b=6a4-10a2b.解法1：(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)=(-2a2)3ab2-(-2a2)5ab3=-6a3b2+10a3b3.解法2：(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)=-(2a23ab2-2a25ab3)=-(6a3b2-10a3b3)=-6a3b2+10a3b3.小結 單項式與多項式相乘時，要注意兩個問題：(1)要用單項式與多項式的每

11、一項相乘，避免漏乘；(2)單項式帶有負號時，如(2)小題，乘的時候容易弄錯符號，為了避免這一錯誤出現，可以用(2)小題的第二種解法，就能有效地解決.例4 計算.(1)(x-3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x-2y).(分析)先用多項式乘法法則計算，最后要合并同類項.解：(1)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy-3xy-21y2=x2+4xy-21y2.(2)(5x+2y)(3x-2y)=15x2-1Oxy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2.學生做一做 計算.(1)(x+2)(x-3)； (2)(3x-1)(2x+1).老師評一評 (1)(x+2)(x-3)=x2-3x

12、+2x-6=x2-x-6.(2)(3x-1)(2x+1)=6x2+3x-2x-1=6x2+x-1.綜合應用題本節(jié)知識的綜合應用包括：(1)整式乘法與方程的綜合應用；(2)整式乘法與不等式的綜合應用；(3)整式乘法與整式加減的綜合應用.例5 化簡.(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5).(分析) 整式加減與整式乘法的混合計算，要依照先乘法，后加減的順序計算.解：(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)=(a2-ab-2b2)-(a2+ab-2b2)=a2-ab-2b2-a2-ab+2b2=-2ab.(2)5x(x2+

13、2x+1)-(2x+3)(x-5)=(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15)=5x3+10x2+5x-2x2+7x+15=5x3+8x2+12x+15.學生做一做 化簡.(1)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；(2)(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+31x2-7x-13.老師評一評 (1)原式=5y-26.(2)原式=32x2-20x+53.例6 解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1).(分析) 解方程時，有括號的先去括號.解：(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)，6x2-13x+6=6x2-x-5，6x2-13x-6x2+x=

14、-5-6，-12x=-11，x=.學生做一做 解下列方程.(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)； (2)x(x+2)=1-x(3-x).老師評一評 (1)x=3；(2)x=.小結 在解存在整式乘法的方程時，依照先乘法，后加減的順序，其他步驟沒有變化.例7 解不等式(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3).解：(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3)，9x2-169(x2+x-6)，9x2-169x2+9x-54，9x2-9x2-9x16-54，-9x38,x.學生做一做 解不等式(x+3)(x-7)+8(x+5)(x-1).老師評一評 x-1.探索與創(chuàng)新題主要考查靈活解決問

15、題和創(chuàng)新的能力.例8 已知mm=m12，求a的值.(分析)由同底數冪乘法法則可把原式變形為m=m12，由此得到(a+b)+(a-b)=12，進而求出a的值.解：mm=m12，m=m12.(a+b)+(a-b)=12，2a=12.a=6.學生做一做 (1)若64483=2x，則x= ；(2)若x2n=4，x6n= ，(3x3n)2= ；(3)已知am=2，an=3，則am+n= .老師評一評 (1)33 (2)64 576 (3)6小結 在應用同底數冪乘法、冪的乘方及積的乘方運算解決問題時，貴在靈活，尤其是公式：aman=am+n，(am)n=amn,(ab)m= ambm(m，n為正整數)，它

16、們的逆應用非常廣泛，大家要引起充分的重視.例9 計算(-3)2004()2005.(分析)按照本題的運算級別，應先乘方后乘法，但是我們看到，要計算出(-3)2004()2005的具體值是相當困難的，也是不必要的.因此我們不妨仔細觀察本題的特點，雖然兩個乘方運算的指數都很大，但是它們兩者卻只相差1，而且它們的底數互為負倒數，而且互為負倒數的乘積是-1，因此考慮公式(ab)m=ambm的逆應用，即把指數大的乘方運算中的指數進行變化.解：(-3)2004()2005=(-3)2004()2004+1=(-3)2004()2004=(-3)2004=(-1)2004=1=.學生做一做 (1)()599

17、3252996= ；(2)(-)2001(2)1000= ；(3)(1)2001(-1)2002(-)2003= .老師評一評 (1)()5993252996=()5993(52)2996=()599355992=()599255992=.(2)(-)2001(2)1000=(-)2001()1000=(-)(-)2000()21000=(-)(-)2000()2000=(-)(-)2000=(-)(-1)2000=(-)1=-.(3)原式=()2001(-)2002(-)2003=(-)(-)2001(-)(-)2=12001(-)=-.例10 已知2x=3，2y=5，2z=15.求證x+y

18、=z.(分析)要說明x+y=z，只需說明2x+y=2z即可.證明：2x=3，2y=5，2x+y=2x2y=35=15.又2z=15，2x+y=2z.x+y=z.例11 比較大小.(1)1625與290；(2)2100與375.(分析) 比較兩個正數冪的大小，一種是指數相同，比較底數大小，另一種是底數相同，比較指數大小.解：(1)1625=(24)25=2100，290=290，又21，2902100，即1625290.(2)2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且1627，16252725，即2100375.學生做一做 比較355，444，533的大小.老師評一評

19、355=(35)11=24311，444=(44)11=25611，533=(53)11=12511，且256243125，256112431112511，即444355533.例12 如果(x+q)(x+)的積中不含x項，那么q= .(分析) 欲求q的值，則需化簡(x+q)(x+)=x2+(+q)x+q,因為積中不含x項，即x項的系數是0，所以+q=0，所以q=-.小結 欲求多項式中不含某項，即某項的系數為0.例13 若n為自然數，試說明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍數.解：n(2n+1)-2n(n-1)=2n2+n-(2n2-2n)=2n2+n-2n2+2n=3n，且n為自

20、然數，n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍數.學生做一做 用你所學的知識，說明523-521能被120整除.老師評一評 523-521=521+2-521=52152-521=521(52-1)=24521=245520=120520，是120的整數倍，523-521能被120整除.例14 設m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.(分析) 欲求代數式的值，從m2+m-1=0中求m的值是比較困難的，也是不必要的，只需利用單項式與多項式的積的逆運算即可.解：m2+m-1=0，m2+m=1.m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m1+m2+2004=m2+m+200

21、4=1+2004=2005.m3+2m2+2004=2005.學生做一做 若2x+5y-3=0，則4x32y= .老師評一評 2x+5y-3=0，2x+5y=3，4x32y=(22)x(25)y-22x25y=22x+5y=23=8.中考展望 點擊中考中考命題總結與展望歷年中考多為填空題、選擇題或化簡求值題，經常與函數、方程等知識綜合出題.中考試題預測例1 化簡(-x)3(-x)2的結果正確的是( )A.-x6B.x6C.x5D.-x5(分析) 本題主要考查冪的乘方與單項式的乘法，解法有兩種：原式=(-x3)x2=-x5；原式=(-x)5=-x5.故正確答案為D項.例2 下列運算中，正確的是(

22、 )A.x2x3=x6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.(a-1)2=a2-1(分析) 本題主要考查整式的乘法與合并同類項.其中A項不正確，x2x3=x5，主要考查同底數冪的乘法公式；B項正確，主要考查積的乘方；C項不正確，主要考查合并同類項；D項不正確，主要考查多項式相乘，故選擇B項.例3 下列運算正確的是( )A.x2x3=x6B.x2+x2=2x4C.(-2x)2=-4x2D.(-2x2)(-3x3)=6x5(分析) 本題主要考查整式的加減和乘法.答案:D例4 計算：4x2(-2xy)= .(分析) 本題旨在檢測單項式乘法法則.4x2(-2xy)=-8x3y.例5 計算：

23、(-x3y)2= .(分析) 本題旨在考查積的乘方與冪的乘方.(-x3y)2=(-)2(x3)2y2=x6y2.例6 下列各式正確的是( )A.(-a)2=a2B.(-a)3=a3C.=-a2D.=a3答案:A例7 化簡：a3a2b= .答案：a5b例8 計算：9xy(-x2y)= .答案：-3x3y2課堂小結 本節(jié)歸納1.本節(jié)主要學習了同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方公式.整式的乘法，包括單項式乘法、單項式乘以多項式及多項式乘法.2.必須掌握每種情況的運算法則，計算時一定要正確運用法則和有關知識.自我評價 知識鞏固1.如果xm-3xn=x2，那么n等于( )A.m-1B.m+5C.4-mD

24、.5-m2.下列計算錯誤的是( )A.(- a)(-a)2=a3B.(- a)2(-a)2=a4C.(- a)3(-a)2=-a5D.(- a)3(-a)3=a63.計算(a3)2+a2a4的結果為( )A.2a9B.2a6C.a6+a8D.a124.計算()20031.52002(-1)2004的結果是( )A.B.C.-D.-5.方程x(x-3)+2(x-3)=x2-8的解為( )A.x=2B.x=-2C.x=4D.x=46.若3x(xn+5)=3xn+1-7，則x= .7.若(anbmb)3=a9b15，則m= ，n= .8.計算：(-x2y)3(-3xy2)2= .9.計算：(4106)(8103)= .10.當x=2時，代數式ax3+bx-7的值為5，則x=-2時，這個代數式的值為 .11.計算.(1)(-x)3(-y)2-(-x3y2)；(2)890()90()180；(3)2445(-0.125)4；(4)(x-6)(x2+x+1)-x(2x+1)(3x-1)；(5)2(a-4)(a