人教A版數(shù)學(xué)必修五學(xué)案4等比數(shù)列

1、 學(xué)點(diǎn)一 學(xué)點(diǎn)二 學(xué)點(diǎn)三 學(xué)點(diǎn)四 返回目錄返回目錄 這個(gè)常數(shù)這個(gè)常數(shù) 1.1.一般地，如果一個(gè)數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列 . . ，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù) 列，列， 叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q q表示表示 ( (q q0).0). 2.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . . 3. 3.如果在如果在a a與與b b中間插入一個(gè)數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)G G，使，使a a, ,G G, ,b b成等比數(shù)列，成等比數(shù)列， 那么那么G G叫做叫做a a和和b b的的 ，且，且G G2 2= = . . a an n= =a a1

2、1q qn n-1 -1 等比中項(xiàng)等比中項(xiàng) 從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的 前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù) abab 返回目錄返回目錄 學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義 【分析分析】只需研究只需研究 的值是否為常數(shù)，而不管的值是否為常數(shù)，而不管 n n( (n nNN* *) )如何變化如何變化. . n n a a 1 試判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列試判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列. . （1 1）a an n=(-1)=(-1)n n-1 -1( ( ) )n n, ,n nNN* *; ; （2 2）a an n=(-2)=(-2)n n-3 -3,

3、,n nN N* *; ; （3 3）a an n= =n n2 2n n, ,n nNN* *; ; （4 4）a an n=-1,=-1,n nNN* *; ; 3 【解析解析】 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【評(píng)析評(píng)析】 返回目錄返回目錄 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列2 2log logo ob b,4 ,4 log loga ab b,8 ,8 log loga ab b, ,(2 ,(2n n) ) log loga ab b, ,( (a a, ,b b為大于 為大于0 0 的常數(shù)且的常數(shù)且a a1).1). （1 1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2 2）若數(shù)列又為等差

4、數(shù)列，求）若數(shù)列又為等差數(shù)列，求b b的值的值. . 解：解：（1 1）證明：設(shè)數(shù)列為）證明：設(shè)數(shù)列為 x xn n ，則，則x xn n =(2=(2n n) )log loga ab b. . , ,為常數(shù)為常數(shù), , x xn n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列. . （2 2）x xn n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列， b b n b n b n b n n n a a a a a x x log log log )1( log log1 1 2 2 2 )2( )2( x xn n+1 +1- - x xn n =(2 =(2n n+1 +1) )logloga ab b-(2 -(2n n) )

5、log loga ab b =2=2n nlog loga ab b (2 (2log loga ab b-1)= -1)=常數(shù)，常數(shù)， 22log loga ab b-1=0,2 -1=0,2log loga ab b=1, =1, logloga ab b=0,=0, b b=1.=1. 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)二 應(yīng)用公式求基本量應(yīng)用公式求基本量 【分析】【分析】由已知條件列出關(guān)于由已知條件列出關(guān)于a a1 1, ,q q的方程（或方程的方程（或方程 組），或有關(guān)量的方程（或方程組）組），或有關(guān)量的方程（或方程組）. . 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 a an n 中，中，

6、 （1 1）已知）已知a a3 3=9,=9,a a6 6=243,=243,求求a a5 5; ; （2 2）已知）已知a a1 1= = , ,a an n= = , ,q q= = , ,求求n n; ; （3 3）已知）已知a a3 3+ +a a6 6=36,=36,a a4 4+ +a a7 7=18,=18,a an n= = , ,求求n n. . 8 9 3 1 3 2 2 1 返回目錄返回目錄 【解析】【解析】 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【評(píng)析】【評(píng)析】 返回目錄返回目錄 已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, ,若第二個(gè)數(shù)加若第二個(gè)數(shù)加4 4就變成等差數(shù)列，

7、就變成等差數(shù)列， 再把這個(gè)等差數(shù)列的第再把這個(gè)等差數(shù)列的第3 3項(xiàng)加項(xiàng)加3232又成等比數(shù)列，求這三個(gè)又成等比數(shù)列，求這三個(gè) 數(shù)數(shù). . 解：解：解法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為解法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a a1, ,a a2, ,a a3，根據(jù)已知，根據(jù)已知 條件得條件得 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】【分析】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及等比本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及等比 中項(xiàng)的靈活運(yùn)用中項(xiàng)的靈活運(yùn)用. . 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 a an n 中，中， （1 1）若已知）若已知a a2 2=4,=4,a a5 5

8、=-=- , ,求求a an n; ; （2 2）若已知若已知a a3 3a a4 4a a5 5=8=8，求，求a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6的值的值. . 2 1 【解析】【解析】 返回目錄返回目錄 【評(píng)析】等比數(shù)列通項(xiàng)公式推廣結(jié)論【評(píng)析】等比數(shù)列通項(xiàng)公式推廣結(jié)論a an n= =a am mq qn n- -m m適用于適用于 m m, ,n nNN* *中任意值，可以中任意值，可以n n m m，也可以，也可以n nm m. . 返回目錄返回目錄 （1 1）若數(shù)列）若數(shù)列 a an n 是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，T Tn n表示其前表示其前n

9、 n項(xiàng)的項(xiàng)的 積積, ,且且T T8 8= =T T4 4, ,則當(dāng)則當(dāng)T Tn n取最小值時(shí)取最小值時(shí), ,n n的值等于（的值等于（ ） A.5A.5 B.6B.6 C.7C.7 D.8D.8 （2 2）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 a an n 中，中，a a4 4a a8 8=4,=4,a a6 6a a10 10+ + a a3 3a a5 5=41,=41,則則a a4 4+ +a a8 8= = . . 解：解：（1 1）由由T T8 8= =T T4 4，a a5 5a a6 6a a7 7a a8 8=1,=1,又又a a5 5a a8 8= =a a6

10、6a a7 7=1,=1,且數(shù)列且數(shù)列 a an n 是正項(xiàng)遞增數(shù)列，是正項(xiàng)遞增數(shù)列，a a5 5 a a6 611a a7 7 00且且q q11時(shí)，時(shí)， 是一個(gè)不為是一個(gè)不為0 0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，所以等比數(shù)列的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，所以等比數(shù)列 的圖象是橫坐標(biāo)為自然數(shù)的同一條指數(shù)函數(shù)上的一些離散的的圖象是橫坐標(biāo)為自然數(shù)的同一條指數(shù)函數(shù)上的一些離散的 點(diǎn)點(diǎn). . n n q q a a 1 q a qy x 返回目錄返回目錄 3.3.如何理解等比中項(xiàng)的定義？如何理解等比中項(xiàng)的定義？ 如果如果a a，G G，b b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么G G叫作叫作a a和和b b的等比中項(xiàng)，的

11、等比中項(xiàng)， 其中其中G G2 2= =abab( (或或 ).). 三個(gè)數(shù)三個(gè)數(shù)a a, ,G G, ,b b成等比數(shù)列的一個(gè)必要不充分條件是成等比數(shù)列的一個(gè)必要不充分條件是 G G2 2= =abab. . 若求兩個(gè)數(shù)若求兩個(gè)數(shù)a a, ,b b的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)G G，則，則G G一定有兩個(gè)值一定有兩個(gè)值. .如如, , 求求2,82,8的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)G G，則，則G G= =4.4. 在解決實(shí)際的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的問(wèn)題中，我們經(jīng)常在解決實(shí)際的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的問(wèn)題中，我們經(jīng)常 把這三個(gè)數(shù)設(shè)為把這三個(gè)數(shù)設(shè)為 , ,a a1 1, ,a a1 1q q. . abG q a1 返回目

12、錄返回目錄 4.4.等比數(shù)列有等比數(shù)列有什么樣的什么樣的性質(zhì)？性質(zhì)？ （1 1）在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)的三項(xiàng)以上）在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)的三項(xiàng)以上 的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)列的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)列. . （2 2）在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳。┰诘缺葦?shù)列中，我們?nèi)稳　伴g隔相同間隔相同”的三項(xiàng)的三項(xiàng) 以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù) 列列. .如：等比數(shù)列如：等比數(shù)列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3, , ,a an n, ,. .那么那么 a a2 2,

13、 ,a a5 5, ,a a8 8, ,a a11 11, ,a a1414, ,; ; a a3 3, ,a a5 5, ,a a7 7, ,a a9 9, ,a a11 11, ,各自仍構(gòu)成等比數(shù)列 各自仍構(gòu)成等比數(shù)列. . （3 3）如果數(shù)列）如果數(shù)列 a an n 是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，c c是不等于是不等于0 0的常數(shù)，的常數(shù)， 那么數(shù)列那么數(shù)列 c c a an n 仍是等比數(shù)列仍是等比數(shù)列. . （4 4）如果）如果 a an n,b bn n 是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù) 列列 a an nb bn n ， 仍是等比數(shù)列仍是等比數(shù)列. . （5 5

14、）在等比數(shù)列）在等比數(shù)列 a an n 中的任何兩項(xiàng)可以互相表示為：中的任何兩項(xiàng)可以互相表示為： a an n= =a am mq qn-m n-m. . （6 6）在等比數(shù)列）在等比數(shù)列 a an n 中，若中，若m m+ +n n= =p p+ +q q，則，則a am ma an n= =a ap pa aq q. . n n b a 返回目錄返回目錄 1.1.必須準(zhǔn)確的理解和掌握等比數(shù)列的概念，掌握通項(xiàng)必須準(zhǔn)確的理解和掌握等比數(shù)列的概念，掌握通項(xiàng) 公式，通項(xiàng)公式公式，通項(xiàng)公式a an n= =a a1 1q qn n-1 -1的四個(gè)基本量 的四個(gè)基本量a a1 1, ,n n, ,q

15、q, ,a an n以及各個(gè)以及各個(gè) 量的作用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠熟練地找到基本量，量的作用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠熟練地找到基本量， 用它們表示出用它們表示出a an n, ,或者用或者用a an n含含代代基本量基本量a a1 1, ,q q構(gòu)造方程、方程構(gòu)造方程、方程 組組, ,最后求得最后求得a a1 1及及q q，也正是高考中要考查的函數(shù)思想、方，也正是高考中要考查的函數(shù)思想、方 程思想和公式的靈活運(yùn)用程思想和公式的靈活運(yùn)用. . 2.2.在等比數(shù)列中，除基本公式外，還要注意公式的變?cè)诘缺葦?shù)列中，除基本公式外，還要注意公式的變 換換. .如如a an n= =a am mq qn

16、 n- -m m( (n n, ,m mNN* *, ,m m 00時(shí)，時(shí)，a a, ,b b才存在等比中項(xiàng)，且是兩個(gè)：才存在等比中項(xiàng)，且是兩個(gè)： , ,是一是一 對(duì)非零的相反數(shù)對(duì)非零的相反數(shù). . ab 一樣的軟件一樣的軟件 不一樣的感覺(jué)不一樣的感覺(jué) 一樣的教室一樣的教室 不一樣的心情不一樣的心情 一樣的知識(shí)一樣的知識(shí) 不一樣的收獲不一樣的收獲 學(xué)點(diǎn)一 學(xué)點(diǎn)二 學(xué)點(diǎn)三 學(xué)點(diǎn)四 返回目錄返回目錄 學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義 【分析分析】只需研究只需研究 的值是否為常數(shù)，而不管的值是否為常數(shù)，而不管 n n( (n nNN* *) )如何變化如何變化. . n n a a 1 試判

17、別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列試判別下列數(shù)列是否為等比數(shù)列. . （1 1）a an n=(-1)=(-1)n n-1 -1( ( ) )n n, ,n nNN* *; ; （2 2）a an n=(-2)=(-2)n n-3 -3, ,n nN N* *; ; （3 3）a an n= =n n2 2n n, ,n nNN* *; ; （4 4）a an n=-1,=-1,n nNN* *; ; 3 返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】【分析】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及等比本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及等比 中項(xiàng)的靈活運(yùn)用中項(xiàng)的靈活運(yùn)

18、用. . 在等比數(shù)列在等比數(shù)列 a an n 中，中， （1 1）若已知）若已知a a2 2=4,=4,a a5 5=-=- , ,求求a an n; ; （2 2）若已知若已知a a3 3a a4 4a a5 5=8=8，求，求a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6的值的值. . 2 1 【解析】【解析】 返回目錄返回目錄 2. 2.如何理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？如何理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？ 對(duì)于公式對(duì)于公式a an n= =a a1 1q qn n-1 -1( (n nN N* *):): （1 1）此公式成立的條件是）此公式成立的條件是n nNN* *, ,q q00

19、，也就是，也就是n n取取 1,2,3,1,2,3,. . （2 2）此公式是按定義推導(dǎo)出來(lái)的：）此公式是按定義推導(dǎo)出來(lái)的： ,a an n+1 +1= =a an nq q. .這是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的一種遞 這是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的一種遞 推關(guān)系的表現(xiàn)形式推關(guān)系的表現(xiàn)形式. .運(yùn)用這一遞推關(guān)系，在教科書中用觀察運(yùn)用這一遞推關(guān)系，在教科書中用觀察 法（或不完全歸納法）推導(dǎo)得出法（或不完全歸納法）推導(dǎo)得出a an n= =a a1 1q qn n-1 -1. .此公式還可以用其 此公式還可以用其 他方法得到，如依等比數(shù)列定義得他方法得到，如依等比數(shù)列定義得 , , , ，將這，將這n n-1-1個(gè)式子兩邊分別相乘即得個(gè)式子兩邊分別相乘即得a an n= =a a1 1q qn n-1 -1. . q a a n n 1 q a a q a a q a a 3 4 2 3 1 2 , q a a n n 1 返回目錄返回目錄 4.4.等比數(shù)列有等比數(shù)列有什么樣的什么樣的性質(zhì)？性質(zhì)？ （1 1）在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)的三項(xiàng)以上）在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)的三項(xiàng)以上 的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)列的數(shù)，把它們重