初中數(shù)學(xué)競賽專題選講-一元二次方程的根(含答案) (1)

1、222222222222, 1 2=2222初中數(shù)學(xué)競賽專題選講(初三.1) 一元二次方程的根一 、內(nèi)容提要1. 一元二次方程ax+bx+c=0(a 0) 的實數(shù)根，是由它的系數(shù)a, b, c 的值確定的 .根公式是：x=2. 根的判別式b b 2 -4 ac2a. (b 4ac0) 實系數(shù)方程 ax2+bx+c=0(a0)有實數(shù)根的充分必要條件是：b24ac0. 有理系數(shù)方程 ax +bx+c=0(a0)有有理數(shù)根的判定是：b 4ac 是完全平方式 方程有有理數(shù)根.整系數(shù)方程 x +px+q=0 有兩個整數(shù)根 p24q 是整數(shù)的平方數(shù).3. 設(shè) x , x 是 ax +bx+c=0 的兩個實

2、數(shù)根，那么1 2 ax +bx +c=0 (a0，b 4ac0)， ax +bx +c=0 (a0， b 4ac0)； 1 1 2 2 x =1b b 2 -4 ac b b 2 -4 ac， x =2a 2 a(a0, b 4ac0)；韋達定理：x x 1+ 2=b cx xa a(a0, b 4ac0).4. 方程整數(shù)根的其他條件整系數(shù)方程 ax +bx+c=0 (a0)有一個整數(shù)根 x 的必要條件是：x 是 c 的因數(shù).1 1特殊的例子有：c=0 x =0 ，1a+b+c=0 x =1 ，1ab+c=0 x =1.1二、例題例1.已知：a, b, c 是實數(shù)，且 a=b+c+1.求證：兩

3、個方程 x +x+b=0 與 x +ax+c=0 中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根. 證明 （用反證法）設(shè) 兩個方程都沒有兩個不相等的實數(shù)根，那么0 和 0.2- 1 -2222 222 22 02222214b 0 即 a 2 -4c 0 a =b +c +11 5由得 b ，b+1 代入，得4 4ac=b+154， 4c4a5 ：a 4a+50，即（a2） +10，這是不能成立的.既然 0 和 0 不能成立的，那么必有一個是大于 0. 1 2方程 x2+x+b=0 與 x+ax+c=0 中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.例2.本題也可用直接證法：當(dāng) 0 時，則和中至少有一個是正

4、數(shù).2已知首項系數(shù)不相等的兩個方程：（a1）x (a +2)x+(a +2a)=0 和 (b1)x (b +2)x+(b +2b)=0 (其中 a,b 為正整數(shù)) 有一個公共根. 求 a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程的兩個根是 a 和a +2 b +2 ； 方程兩根是 b 和a -1 b -1.由已知 a1, b1 且 ab.公共根是 a=b +2 a +2 或 b=b -1 a -1.兩個等式去分母后的結(jié)果是一樣的.即 aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3.a,b 都是正整數(shù)， a11 a13 ； 或 b -1 =3 b -1 =1.a2解得 b =4；a =

5、4或 .b =2又解： 設(shè)公共根為 x 那么0(a-1)x 2 -( a 2 +2) x +( a 2 +2 a) =0 （b-1)x -(b 2 +2) x +(b 2 +2b ) =0 0先消去二次項：（b1）（a1） 得（a +2）(b1)+(b +2)(a1)x +(a +2a)(b1)(b +2b)(a1)=0.0- 2 -22222222222222整理得 （ab）(abab2)(x 1)=0.0abx 1； 或 (abab2)0.0當(dāng) x 1 時，由方程得 a=1,0a1=0，方程不是二次方程.x 不是公共根.0當(dāng)(abab2)0 時， 得(a1)(b1)=3 解法同上.例 3.

6、 已知：m, n 是不相等的實數(shù)，方程 x 差相等.求：m+n 的值.解：方程兩根差是+mx+n=0 的兩根差與方程 y+ny+m=0 的兩根x -x12（x -x ) 1 22( x +x ) 2 -4 x x 1 2 1 2m 2 -4 n同理方程兩根差是y -y n 1 22-4 m依題意，得m 2 -4 nn 2 -4 m.兩邊平方得：m4n=n4m.（mn）(m+n+4)=0 mn， m+n+40，m+n4.例 4. 若 a, b, c 都是奇數(shù)，則二次方程 ax +bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.m證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根 （m, n 是互質(zhì)的整數(shù)）.n那么 a(m m) +b

7、( )+c=0, 即 an +bmn+cm n n=0.把 m, n 按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，m, n 互質(zhì)，不可能同為偶數(shù).1 當(dāng) m, n 同為奇數(shù)時，則 an +bmn+cm 是奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；2 當(dāng) m 為奇數(shù), n 為偶數(shù)時，an +bmn+cm 是偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；3 當(dāng) m 為偶數(shù), n 為奇數(shù)時，an +bmn+cm 是奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)0.- 3 -2222222222 22222222 22綜上所述不論 m, n 取什么整數(shù)，方程 a(m m) +b( )+c=0 都不成立. n n即 假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.當(dāng) a, b, c 都是奇數(shù)時，方程 ax +bx+

8、c=0(a0)沒有有理數(shù)根.例 5. 求證：對于任意一個矩形 a，總存在一個矩形 b，使得矩形 b 與矩形 a 的周長比和 面積比都等于 k (k1).證明：設(shè)矩形 a 的長為 a, 寬為 b，矩形 b 的長為 c, 寬為 d.根據(jù)題意，得c +d cd= =ka +b ab.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韋達定理的逆定理，得c, d 是方程 z (a+b)kz+abk=0 的兩個根. （a+b）k 4abk（a +2ab+b ）k4abk=k(a +2ab+b )k4abk1，a +b 2ab,a +2ab+b 4ab，(a +2ab+b )k4ab.0.一定有 c, d 值滿足

9、題設(shè)的條件.即總存在一個矩形 b，使得矩形 b 與矩形 a 的周長比和面積比都等于 k 例 6. k 取什么整數(shù)值時，下列方程有兩個整數(shù)解？（k 1）x 6(3k1)x+72=0 ； kx +(k 2)x(k+2)=0.(k1).解：用因式分解法求得兩個根是：x =112k +16， x = .k1由 x 是整數(shù)，得 k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 1由 x 是整數(shù)，得 k1=1, 2, 3, 6.2它們的公共解是：得 k=0, 2, 2, 3, 5.答：當(dāng) k=0, 2, 2, 3, 5 時，方程有兩個整數(shù)解. 根據(jù)韋達定理- 4 -1 222222222222222222 k

10、 2 -2 2x +x =- =-k + 1 2 k kk +2 2x x =- =-k - k kx , x , k 都是整數(shù)，1 2k=1，2. （這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進行檢驗.）把 k=1,1, 2, 2， 分別代入原方程檢驗，只有當(dāng) k=2 和 k=2 時適合. 答：當(dāng) k 取 2 和2 時，方程有兩個整數(shù)解.三、練習(xí)1. 寫出下列方程的整數(shù)解： 5x 3x=0 的一個整數(shù)根是. 3x +( 2 3)x 2 =0 的一個整數(shù)根是. x2+(5+1)x+5=0 的一個整數(shù)根是.2. 方程（1m）x x1=0 有兩個不相等的實數(shù)根，那么整數(shù) m 的最大值是. 3.

11、已知方程 x (2m1)x4m+2=0 的兩個實數(shù)根的平方和等于 5，則 m=.4. 若 x y ，且滿足等式 x +2x5=0 和 y +2y5=0.那么1 1+x y.（提示：x, y 是方程 z+5z5=0 的兩個根.）5. 如果方程 x +px+q=0 的一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的 2 倍，那么 p, q 應(yīng)滿足的關(guān)系 是：.6. 若方程 ax +bx+c=0 中 a0, b0, c0. 那么兩實數(shù)根的符號必是.7. 如果方程 mx2(m+2)x+m+5=0 沒有實數(shù)根，那么方程（m5）x22mx+m=0 實數(shù)根的個數(shù)是（ ）.(a)2 （b）1 （ c）0（d）不能確定8. 當(dāng) a,

12、 b 為何值時，方程 x +2(1+a)x+(3a +4ab+4b +2)=0 有實數(shù)根？9. 兩個方程 x +kx1=0 和 x xk=0 有一個相同的實數(shù)根，則這個根是（ ）(a)2 （b）2（c）1（d）110. 已知：方程 x +ax+b=0 與 x +bx+a=0 僅有一個公共根，那么 a, b 應(yīng)滿足的關(guān)系是： .- 5 -2222 22222222211. 已知：方程 x +bx+1=0 與 x xb=0 有一個公共根為 m，求：m，b 的值.12. 已知：方程 x +ax+b=0 的兩個實數(shù)根各加上 1，就是方程 x a x+ab=0 的兩個實數(shù)根. 試求 a, b 的值或取值

13、范圍.13. 已知：方程 ax +bx+c=0(a0)的兩根和等于 s ，兩根的平方和等于 s , 兩根的立方和等1 2于 s 求證：as +bs +cs =0.3. 3 2 114. 求證：方程 x 2(m+1)x+2(m1)=0 的兩個實數(shù)根，不能同時為負.（可用反證法） 15. 已知：a, b 是方程 x +mx+p=0 的兩個實數(shù)根；c, d 是方程 x +nx+q=0的兩個實數(shù)根.求證：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq) .16. 如果一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和等于 5，兩實數(shù)根的積是 2，那么這個方程是： .17. 如果方程（x1）(x 2x+m)=0 的三個根，可作為一個三角形的三邊長，那么實數(shù) m 的取值范圍是 （ ）（a） 0m1 （b）m3 3 3 （c） m1 （d）4 4 4m118.方程 7x (k+13)x+k k2=0 (k 是整數(shù))的兩個實數(shù)根為 ， 且 0 1， 1 2，那么 k 的取值范圍是( )（a）3k4 (b)-2k-1 (c) 3k4 或-2k-1（d）無解- 6 -24